Granice funkcji
mgr Zofia Matusiewicz
18 sierpnia 2004
1
Granice funkcji
1.1
Granica funkcji w punkcie według Heinego
Definicja 1 (wg Heinego)
lim
x→c
f (x) = g ⇔ ∀
(x
n
),{x
n
}⊂(c−r,c)∪(c,c+r)
[ lim
n→∞
x
n
= c ⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
Definicja granicy lewostronnej:
Definicja 2 (wg Heinego)
lim
x→c
−
f (x) = g ⇔ ∀
(x
n
),{x
n
}⊂(c−r,c)
[ lim
n→∞
x
n
= c ⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
Definicja granicy prawostronnej:
Definicja 3 (wg Heinego)
lim
x→c
+
f (x) = g ⇔ ∀
(x
n
),{x
n
}⊂(c,c+r)
[ lim
n→∞
x
n
= c ⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
Granica funkcji niewłaściwej funkcji w punkcie:
Definicja 4 (wg Heinego)
lim
x→c
f (x) = ∞ ⇔ ∀
(x
n
),{x
n
}⊂(c−r,c)∪(c,c+r)
[ lim
n→∞
x
n
= c ⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
Definicja granicy właściwej w nieskończoności:
Definicja 5 (wg Heinego)
lim
x→∞
f (x) = g ⇔ ∀
(x
n
),{x
n
}⊂(r,∞)
[ lim
n→∞
x
n
= c ⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
1
Definicja granicy niewłaściwej w nieskończoności:
Definicja 6 (wg Heinego)
lim
x→∞
f (x) = ∞ ⇔ ∀
(x
n
),{x
n
}⊂(r,∞)
[ lim
n→∞
x
n
= c ⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
1.2
Granica funkcji w punkcie według Cauchy’ego
Definicja 7 (wg Cauchy’ego)
lim
x→c
f (x) = g ⇔ ∀
>0
∃
δ>0
∀
x∈(c−r,c)∪(c,c+r)
[(|x − c| < δ) ⇒ (|f (x) − g| < )]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
Definicja granicy lewostronnej:
Definicja 8 (wg Cauchy’ego)
lim
x→c
−
f (x) = g ⇔ ∀
>0
∃
δ>0
∀
x∈(c−r,c)
[(0 < c − x < δ) ⇒ (|f (x) − g| < )]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
Definicja granicy prawostronnej:
Definicja 9 (wg Cauchy’ego)
lim
x→c
+
f (x) = g ⇔ ∀
>0
∃
δ>0
∀
x∈(c,c+r)
[(0 < x − c < δ) ⇒ (|f (x) − g| < )]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
Granica funkcji niewłaściwej funkcji w punkcie:
Definicja 10 (wg Cauchy’ego)
lim
x→c
f (x) = ∞ ⇔ ∀
>0
∃
δ>0
∀
x∈(c−r,c)∪(c,c+r)
[(|c − x| < δ) ⇒ (|f (x) − g| > )]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
Definicja granicy właściwej w nieskończoności:
Definicja 11 (wg Cauchyego)
lim
x→∞
f (x) = g ⇔ ∀
>0
∃
δ∈R
∀
x∈(r,∞)
[(x > δ) ⇒ (|f (x) − g| < )]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
Definicja granicy niewłaściwej w nieskończoności:
Definicja 12 (wg Cauchy’ego)
lim
x→∞
f (x) = ∞ ⇔ ∀
>0
∃
δ∈R
∀
x∈(r,∞)
[(x > δ) ⇒ (f (x) > )]
dla dowolnego r ∈ R
+
.
2
1.3
Twierdzenia dotyczące granic
Twierdzenie 1 Niech W (x) będzie wielomianem stopnia n, P (x) będzie
wielomianem stopnia m i jeśli m > n, to:
lim
c→∞
W (x)
P (x)
= 0,
oraz jeśli współczynnik przy x w największej potędze w P (x) jest dodatni:
lim
c→∞
P (x)
W (x)
= +∞,
zaś jeśli współczynnik przy x w największej potędze w P (x) jest ujemny:
lim
c→∞
P (x)
W (x)
= −∞,
Twierdzenie 2 Niech W (x) i P (x) będą wielomianami stopnia nto:
lim
c→∞
P (x)
W (x)
=
a
b
,
gdzie a jest współczynnikiem przy x w największej potędze w P (x), zaś b
gdzie a jest współczynnikiem przy x w największej potędze w W (x).
Twierdzenie 3
lim
x→c
(f (x) + g(x)) = lim
x→c
f (x) + lim
x→c
g(x)
Twierdzenie 4
lim
x→c
(f (x) − g(x)) = lim
x→c
f (x) − lim
x→c
g(x)
Twierdzenie 5
lim
x→c
(s · g(x)) = s · lim
x→c
f (x)
Twierdzenie 6
lim
x→c
(f (x) · g(x)) = (lim
x→c
f (x)) · (lim
x→c
g(x))
Twierdzenie 7
lim
x→c
(
f (x)
g(x)
=
lim
x→c
f (x)
lim
x→c
g(x)
jeśli lim
x→c
6= 0.
3
Twierdzenie 8
lim
x→c
(f (x))
g(x)
= lim
x→c
f (x)
lim
x→c
g(x)
Twierdzenie 9
lim
x→c
(g(f (x)) = (lim
x→c
f (x)).
Twierdzenie 10 Niech będą dane funkcje f , g, h spełniające warunki:
f (x) ¬ g(x) ¬ h(x)
dla każdego x ∈ (c − r, c) ∪ (c, c + r) dla dowolnego r ∈ R
+
oraz
lim
x→c
f (x) = lim
x→c
h(x) = q
to
lim
x→c
g(x) = q
Analogiczne twierdzenia zachodzą dla granic jednostronnych oraz granic w
nieskończoności.
Twierdzenie 11
lim
x→∞
f (x) = lim
y→0
+
f (
1
u
)
Twierdzenie 12
lim
x→−∞
f (x) = lim
y→0
−
f (
1
u
)
2
Podstawowe granice wyrażeń nieoznaczonych
2.1
Symbole nieoznaczone
Wyrażenia, które ”przyjmują wartości”:
• ∞ − ∞
• 0 · ∞
•
∞
∞
• 1
∞
• ∞
0
• 0
0
•
0
0
nazywa się SYMBOLAMI NIEOZNACZONYMI.
4
2.2
Podstawowe granice wyrażeń nieoznaczonych
1.
lim
x→0
sin x
x
= 1
2.
lim
x→0
tg x
x
= 1
3.
lim
x→0
x
sin x
= 1
4.
lim
x→0
x
tg x
= 1
5.
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e
6.
lim
x→0
(1 + x)
a
x
= e
a
7.
lim
x→+/−∞
(1 +
1
x
)
x
= e
8.
lim
x→+/−∞
(1 +
a
x
)
x
= e
a
9.
lim
x→0
e
x
− 1
x
= ln e = 1
10.
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a
11.
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1
12.
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
5
2.3
Granice funkcji niewłaściwych
Niech p będzie dowolną liczbą (stałą) lub p = lim
x→c
f (x), ∞ = lim
x→c
g(x),
zaś jeśli lim
x→c
h(x) = 0 i dla x → c i prawie zawsze h(x) 0 wówczas
zapisuje się ten fakt symbpolicznie 0
+
:
Twierdzenie 13
p + ∞ = ∞
p ∈ R ∪ {∞}.
Twierdzenie 14
p − ∞ = −∞
p ∈ R ∪ {−∞}.
Twierdzenie 15
p · ∞ = ∞
p ∈ R
+
∪ {∞}.
Twierdzenie 16
p · ∞ = −∞
p ∈ R
−
∪ {−∞}.
Twierdzenie 17
p
∞
= 0
p ∈ R.
Twierdzenie 18
p
0
+
= ∞
p ∈ R
+
∪ {∞}.
Twierdzenie 19
p
0
+
= −∞
p ∈ R
−
∪ {−∞}.
6
Twierdzenie 20
p
+∞
= ∞
p ∈ (1, ∞),
p
+∞
= 0
p ∈ (0, 1),
Twierdzenie 21
∞
p
= ∞
dla p ∈ R
+
∪ {+∞},
∞
p
= 0
dla p ∈ R
−
∪ {−∞},
Twierdzenie 22 Jeśli dwie funkcje f i g spełniają warunki:
f (x) ¬ g(x)
dla każdego x ∈ (c − r, c) ∪ (c, c + r) dla dowolnego r ∈ R
+
oraz
lim
x→c
f (x) = ∞
to
lim
x→c
g(x) = ∞.
Stąd łatwo także wykazać:
Twierdzenie 23 Jeśli dwie funkcje f i g spełniają warunki:
f (x) ¬ g(x)
dla każdego x ∈ (c − r, c) ∪ (c, c + r) dla dowolnego r ∈ R
+
oraz
lim
x→c
g(x) = −∞
to
lim
x→c
f (x) = −∞.
Analogiczne twierdzenia zachodzą dla granic jednostronnych oraz granic w
nieskończoności.
7
3
Zadania
Oblicz granice funkcji (jeśli istnieją)
1.
lim
x→1
x
2
x + 1
2.
lim
x→1
x − 1
x + 1
3.
lim
x→−1
x + 2
x − 1
4.
lim
x→3
x
2
− 9
x − 3
5.
lim
x→1
x
2
+ x − 2
x
2
− 6x + 5
6.
lim
x→1
x
2
+ 2x − 3
x
2
− 6x + 5
7.
lim
x→−3
x
2
+ 4x + 3
x
2
+ 5x + 6
8.
lim
x→−1
x
2
− x − 2
x
2
+ 3x + 2
9.
lim
x→5
x
2
− 6x + 5
x
2
− 3x − 10
10.
lim
x→2
x
2
− 6x + 5
x
2
− 3x − 10
8
11.
lim
x→1
2
√
x + 1 − 2
√
x
12.
lim
x→2
x
2
− 1
√
2x − 1 −
√
x + 2
13.
lim
x→2
x
2
− x − 2
√
x + 1 − 2
14.
lim
x→2
x
2
− 2x
√
x − 1 − 1
15.
lim
x→0
sin x
3x
16.
lim
x→0
sin (−2x)
6x
17.
lim
x→0
tg (2x)
−x
18.
lim
x→0
sin x
tg x
19.
lim
x→0
x
x
2
+ 1
20.
lim
x→0
x
3
x
2
+ 1
9
21.
lim
x→−1
x
3
− 1
x
2
− 1
22.
lim
x→2
+
ln(x − 2)
23.
lim
x→0
ln(x
2
+ x + 1)
24.
lim
x→∞
ln x − 5
25.
lim
x→
Π
3
cos x −
1
2
x −
Π
3
26.
lim
x→∞
p
x
2
+ 1 −
p
x
2
− 1
27.
lim
x→∞
−2
√
x
2
+ 1 −
√
x
2
− 1
28.
lim
x→∞
3x − 2
√
x
2
+ 3x − 2
29.
lim
x→∞
2x
2
+ 1
√
x
2
+ x
30.
lim
x→∞
x
3
− 2
3
√
x
2
+ 3x − 2
31.
lim
x→∞
x
3
− 2
3
√
x
3
+ 3x
2
+ 3
10
32.
lim
x→∞
x
3
+ 1
√
x
3
+ 3x
2
+ 3
33.
lim
x→∞
(x
2
− x + 1)
34.
lim
x→−∞
(x
2
− 2x + 15)
35.
lim
x→−∞
(x
3
− 2x + 15)
36.
lim
x→−∞
x
2
x
2
− 3x + 5
− 2x + 1
37.
lim
x→−∞
x
2
x
2
− 3x + 5
+ 11
38.
lim
x→−∞
x + 2
x + 4
− 12x + 2
39.
lim
x→−∞
x + 2
x + 4
−
1
x
+
3
3 − x
40.
lim
x→0
1 − cos x
x
2
41.
lim
x→0
√
2 −
√
1 + cos x
sin
2
x
Sprawdź, ile wynoszą granice jednostronne. Czy istnieją granice podanych
funkcji w punkcie a:
11
1.
f (x) = x
2
− 9, a = 3.
2.
f (x) = sin x − 12, a = Π.
3.
f (x) = ln x, a = 1.
4.
f (x) = ln (x − 3), a = 3.
5.
f (x) =
−x, x < 0
0, x = 0
x, x > 0
, a = 0.
6.
f (x) =
−1, x < 0
0, x = 0
1, x > 0
, a = 0.
7.
f (x) =
(
x
2
+ x + 3, x 6= 3
14, x = 3
, a = 3.
8.
f (x) =
(
x
2
+ x + 1, x ¬ 2
x
4
−2
2
, x > 2
, a = 2.
9.
f (x) =
(
x
2
− 2x + 1, x ¬ 0
√
x
2
+ 1, x > 0
, a = 2.
12