Wykład 1
Logika – nauka o języku jako systemie znaków.
Trzy działy logiki:
•
semiotyka – nauka o znakach, w szczególności znakach słownych;
•
metodologia nauk – zajmuje się badaniem metod poznawania świata, a zwłaszcza uzasadnianiem
twierdzeń;
•
logika formalna – nauka o związkach między wartościami logicznymi zdań, zachodzącymi ze względu na
ich budowę.
Zdanie w sensie logicznym:
tylko wypowiedź oznajmująca
wyrażenie prawdziwe (1) albo fałszywe (2)
1.
Prawdziwość to zgodność myśli i bytu – rzeczy i intelektu.
2.
Prawdziwe bądź fałszywe może być tylko zdanie w sensie logicznym.
3.
Wartość logiczna zdania jest obiektywna.
4.
Wyróżniamy:
a.
stałe logiczne(
⊥
→
∼
≡
∨
∧
/
↓
↔
)
b.
zmienne logiczne (p q r s)
c.
nawiasy (…), […], {…}
Wykład 2
Semiotyka – nauka o znakach słownych; dzieli się na:
a)
Semantykę, która traktuje o relacjach między znakiem a tym do czego znak się odnosi
b)
Pragmatykę, która traktuje o relacjach między znakiem a jego odbiorcą bądź nadawcą
c)
Syntaktykę, która traktuje o regułach wiązania znaków w wyrażenia złożone
Podział kategorii syntaktycznych:
1.
Podstawowe: zdania (z), nazwy (n)
2.
Pochodne: funktory (- kreska ułamkowa), występują w 3 różnych odmianach: zdaniotwórczy,
nazwotwórczy i funktorotwórczy)
Nazwa – wyraz bądź wyrażenie, który nadaje się na podmiot bądź orzecznik orzeczenia imiennego w zdaniu.
wg K. Twardowskiego
Przykłady:
•
Edek jest intelektualistą
•
Jest Edek
•
Pijak pod sklepem
•
Dobry człowiek
•
Edek pisze książkę
•
Edek żyje
•
Jeżeli Ania jest Polką to lubi Włochów
•
Stefan i Barbara piją wódkę
•
Stefan i Barbara są małżeństwem
Zad. 1. Orientując się wg końcówek słów użytych w dziecinnym języku spróbuj określić kategorie syntaktyczne
następującego zdania:
Livo-głoka kuzdra kornęła bokra u kornuje bokrzątko.
1.
Jeżeli Ania jest Polką to lubi Włochów
semiotyka - syntaktyka
2.
Jeżeli Ania jest Polką to lubi Włochów
p
→
q
logika formalna KRZ
Funktor prawidłowości – funktory zdaniotwórcze od argumentów zdaniowych, które przy zmiennych
wartościach logicznych argumentów pozwalają na określenie wartości logicznej całego zdania
p
q
∼∼∼∼
p
p
∧∧∧∧
q
p
∨∨∨∨
q
p
⊥
⊥⊥
⊥
q
p
≡≡≡≡
q
p / q
p
→
→
→
→
q
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
∼
p
nie jest tak, że p; nieprawda, że, nie
funktor negacji –p – negacja zdania fałszywego jest prawdą, negacja zdanie prawdziwego jest fałszem
p
∧
q
i, oraz, także, zarówno, lecz, ale, a
funktor koniunkcji – prawda, gdy dwa zdania składowe są prawdziwe
p
∨
q
lub
funktor alternatywy nierozłącznej – prawda gdy przynajmniej jedno ze zdań składowych jest prawdziwe
p
⊥
q
albo
funktor alternatywy rozłącznej – prawdziwe gdy jedno i tylko jedno jest fałszywe, albo gdy jedno i tylko jedno
jest prawdziwe
p
≡
q
wtedy i tylko wtedy
funktor równoważności – prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy oba zdania składowe mają taką samą wartość
logiczną
p / q
bądź
funktor dysjunkcji – prawdziwe gdy przynajmniej jedno ze zdań składowych jest fałszywe
p
→
q
jeżeli… to…, jeśli… to…, o ile… to,
funktor implikacji – fałszywa jest tylko wtedy gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy
Zad. 2. Zbuduj schematy podanych niżej zdań:
a)
Przyjąłeś fałszywe założenie lub popełniłeś błąd w rozumowaniu.
p
∨
q
b)
Rozumiesz treść mojej wypowiedzi zawsze i tylko wtedy gdy potrafisz wysnuć ją własnymi słowami.
p
≡
q
c)
Jeżeli myślisz jasno to nieprawda, że nie potrafisz jasno wyrażać swojej myśli.
p
→
∼∼
q
d)
Jeżeli nieprawda, że twierdzenie matematyki mogą okazać się fałszywe, to nieprawda, że twierdzenia
logiki mogą okazać się fałszywe.
∼
p
→
∼
q
Wykład 3
Zdania są względem siebie sprzeczne, gdy jedne jest negacją drugiego.
p
∼
p
Trzy zasady wg Arystotelesa:
1.
Zasada sprzeczności – zdania względem siebie sprzeczne nie mogą być oba prawdziwe
∼
(p
∧∼
p)
2.
Zasada wyłączonego środka – dwa zdania względem siebie sprzeczne nie mogą być oba fałszywe p
∨∼
p
3.
Zasada podwójnego przeczenia – negacja negacji jakiegokolwiek zdania ma tę samą wartość logiczną
jak to zdanie, które zostało podwójnie zanegowane p
↔∼∼
p
Schemat zdania, który przy wszystkich możliwych podstawieniach redukuje się do 1 jest tautologią K.R.Z.
Schemat zdanie, który przy wszystkich możliwych podstawieniach redukuje się do 0 jest kontrtautologia K.R.Z.
Schemat zdania, który dla różnych podstawień raz daję 0 raz 1 jest schematem niezdeterminowanym.
Przykłady:
Sprawdź czy podany schemat jest tautologią
a)
(p
→
q)
→
(q
→
p)
Schemat nie jest tautologią K.R.Z.
b)
∼
(p
∨
q)(
∼
p
∧∼
q)
Schemat jest tautologią K.R.Z.
c)
∼
(p
∨
q)(
∼
p
∨∼
q)
Schemat jest tautologią K.R.Z.
d)
(p
→
q)
→
[(q
∧
r)
→
(
∼
p
∧
r)]
Schemat jest tautologią K.R.Z.
Sprawdź czy podany schemat jest kontrtautologią
e)
p
∧
(p
→
r)
∧
(r
→
s)
∧
(q
→
s)
Schemat nie jest kontrtautologią K.R.Z.
Zdanie reprezentowane przez schemat tautologiczny jest prawdą logiczną
Przykład: Pada deszcz lub nie pada deszcz
p
∨∼
p
tautologia
Zdanie reprezentowane przez schemat kontrtautologiczny jest fałszem logicznym
Nieprawda, że pada deszcz lub nie pada deszcz
∼
(p
∨∼
p)
kontrtautologia
Sprawdź czy to jest prawda logiczna:
f)
∼
[(p
→
q)
∧∼
(p
→
q)]
Nie jest to prawda logiczna – brak zdania
g)
Jeżeli Tadeusz jest starszy od Danuty a Danuta jest starsza od Adama to Tadeusz jest starszy od Adama.
– zdanie prawdziwe
(p
∧
q)
→
r
Zdanie reprezentowane przez ten schemat nie jest prawdą logiczną.
h)
Jeżeli świeci słońce i nie świeci słońce to jest ciemno. – zdanie fałszywe
(p
∧∼
p)
→
q
Zdanie reprezentowane przez ten schemat tautologiczny jest prawdą
logiczną.
Które z podanych niżej informacji pozwala stwierdzić, że schemat S jest tautologią bądź kontrtautologią:
i)
S
∨
T
S=?
j)
S
∨
?
S=T
k)
∼
(S
∨
T)
S=KT
l)
∼
S
S=KT
m)
∼
S
S=T
n)
S
∧
T
S=T
o)
∼
(S
∧
?)
S=?
Wykład 4
Temat: Podział nazw, stosunki między zakresami nazw.
Nazwa – znak słowny, który wskazuje na swoje przedmioty. Te przedmioty, do których odsyła nazwa to
desygnaty nazwy. Nazwy coś znaczą (treść) i coś oznaczają (desygnaty).
Zakres nazwy to klasa wszystkich desygnatów danej nazwy.
A B
A
B
A B
Klasa uniwersalna to klasa wszystkiego co jest.
Podział nazw:
I.
Kryterium – liczba wyrazów składowych danej nazwy
a.
Proste – jednowyrazowe
b.
Złożone – wielowyrazowe
II.
Kryterium – liczba desygnatów
a.
Puste – nie można wskazać desygnatu danej nazwy
b.
Jednostkowe – gdy można wskazać jeden desygnat danej nazwy
c.
Ogólne – gdy można wskazać więcej niż jeden desygnat danej nazwy
III.
Kryterium – to do czego dane nazwy się odnoszą
a.
Konkretne – są zawsze znakami osób lub rzeczy
b.
Abstrakcyjne – nigdy nie są znakami osób bądź rzeczy
IV.
Kryterium –
a.
Indywidualne – nie wyraża się ze względu na cechę lub zespół cech
b.
Generalne – ze względu na pewną cechę wspólną lub zespół cech wspólnych dla wielu różnych
przedmiotów
V.
Kryterium – struktura desygnatu
a.
Zbiorowe – desygnat jest agregatem obiektów
b.
Niezbiorowe – desygnat jest pojedynczym obiektem
Nazwy indywidualne z założenia są jednostkowe, którym przypisywany jest tylko jeden desygnat.
Nazwy generalne mogą występować jako nazwy jednostkowe, ale również jako nazwy puste.
Stosunki między zakresami nazw:
1.
Stosunek zamienności zakresów
A
B
2.
Stosunek podrzędności
A
B
3.
Stosunek nadrzędności
B
A
4.
Stosunek krzyżowania się zakresów
a.
Niezależności
A
B
b.
Podprzeciwieństwa
AB
A
B
A
B
5.
Stosunek wykluczania się zakresów
a.
Przeciwieństwa
A
B
b.
Sprzeczności
A
B
Zadanie:
Jaki zachodzi stosunek między zakresami nazw?
1.
Linia kolejowa Warszawa – Berlin
Linia kolejowa Wrocław – Gdynia
Wykluczania się zakresów, przeciwieństwa
2.
Makówka
Ziarnko maku
Wykluczania się zakresów, przeciwieństwa
3.
Płaszcz oddany do szatni
Numerek na płaszcz oddany do szatni
Wykluczania się zakresów, przeciwieństwa
4.
Porucznik Wojska Polskiego
Kapitan Wojsko Polskiego
Wykluczania się zakresów, przeciwieństwa
5.
Oficer Wojska Polskiego
Kapitan Wojska Polskiego
Nadrzędności
6.
Osoba, która ukończyła 18 lat
Osoba, która nie przekroczyła 50 lat
Krzyżowania się, niezależności
Wykład 5
SaP – wyrażenie ogólne, twierdzące – każde S jest P
SeP – wyrażenie ogólne, przeczące – żadne S nie jest P
SiP – wyrażenie szczegółowe, twierdzące – niektóre S są P
SoP – wyrażenie szczegółowe, przeczące – niektóre S nie są P
SaP, SeP, SiP, SoP – wyrażenia kwadratu logicznego
Wnioskowanie – zawsze czyjś proces myślowy, w którym ktoś na podstawie zdania lub zdań, które on uznaje
za prawdziwe dochodzi do przeświadczenia o prawdziwości jeszcze jakiegoś innego zdania
Przesłanki – pewne zdania, od których wychodzimy w procesach myślowych
Wnioski – zdania, do których dochodzimy w wyniku procesu myślowego
Wnioskowanie:
a)
Zawodne – nie zawsze wychodząc od prawdziwych przesłanek dochodzimy do prawdziwych wniosków;
występuje gdy opieramy się na prawach logiki – wnioskowanie dedukcyjne (wniosek wynika logicznie z
przesłanek – racji)
b)
Niezawodne – wychodząc od prawdziwych przesłanek dochodzimy do prawdziwych wniosków
Poprzednik
Następnik
Implikacja
Przesłanka
Wniosek
Wnioskowanie
Racja
Następstwo
Wynikanie logiczne
Schemat jest tautologią T
Wynikanie logiczne
Prawda logiczna
Przykład:
1.
Czy ze zdania: Nieprawda, że Jan jest nieudacznikiem i jeleniem. Wynika logicznie zdanie: Nieprawda,
że Jan jest nieudacznikiem lub że jest jeleniem.
0
1//0 0
sprzeczność
Schemat jest tautologią. Zdanie reprezentowane przez ten schemat jest prawdą logiczną.
2.
Czy ze zdania każdy człowiek jest ssakiem. Wynika logicznie zdanie: Niektórzy ludzie są ssakami.
SaP
→
SiP
konstrukcja tautologia
prawo rachunku nazw
Tezy sylogistyki Arystotelesa
Tautologia
∼
Prawda logiczna
Tautologia
Prawda logiczna
∼
(p
∧
q)
(
∼
p
∨∼
q)
Wykluczanie logiczne
Równoważność logiczna
Tautologia
∼
Prawda logiczna
Tautologia
∼
Prawda logiczna
Kwadrat logiczny
SaP
SeP
SiP
SoP
SaP – każdy człowiek jest alkoholikiem
SeP – Żaden człowiek nie jest alkoholikiem
SiP – Niektórzy ludzie są alkoholikami
SoP – Niektórzy ludzie nie są alkoholikami
SaP
SoP
SiP
SeP
R- racja
N - następstwo
R
N
SaP SiP
→
wynikanie logiczne
R
N
SeP SoP
→
wynikanie logiczne
R
N
1
1
0
0
Sprzeczność logiczna
Dopełniania logiczne
Mogą mieć taką samą wartość logiczną
Nie są względem siebie sprzeczne, mogą przyjmować
takie same wartości logiczne
Są względem siebie sprzeczne (10 01)
Są względem siebie sprzeczne (01 10)