Wydział InŜynierii Środowiska; kierunek: InŜynieria Środowiska.
Lista zadań nr 2 do kursu Fizyka 1. Rok. ak. 2011/12
Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne na stronie
http://www.if.pwr.wroc.pl/index.php?menu=studia&left_menu=jkf
. Student jest zobowiązany do wydrukowania
ww. tabel i przynoszenia na zajęcia. Lista nr 2 ma za zadanie zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-
fizycznej i nabycie umiejętności rozwiązywania prostych równań ruchu w oparciu o II zasadę dynamiki.
10.
Dynamika rzutu ukośnego. Ciało o masie m wyrzucono przy powierzchni ziemi pod kątem
ostrym
α
do poziomo nadając mu prędkość początkową v
0
.
A) Wyznaczyć składowe wektora prędkości początkowej ciała.
B) Przyjmując, Ŝe:
•
ciało wyrzucono z początku prostokątnego układu współrzędnych OXYZ,
•
ciało porusza się w płaszczyźnie OXY, przy czym oś OX jest pozioma a OY pionowa,
•
jedyną siłą działającą na ciało jest stała siła cięŜkości (siła grawitacyjna) Q
1
,
i korzystając z II zasady dynamiki (
wypadkowa
d
d
V
m
F
t
=
)
2
oraz wzoru
d
d
R
V
t
=
:
a)
wyznaczyć współrzędne wektorów: siły cięŜkości Q = [Q
x
, Q
y
] i przyspieszenia chwilowego
ciała a = (a
x
, a
y
) w przyjętym układzie współrzędnych,
b)
podać wektorową postać równania ruchu ciała (zastosować II zas. dynamiki) a następnie
sformułować matematyczne skalarne postacie równań ruchu w kierunku osi OX i OY,
c)
całkując równanie ruchu z punktu b) i korzystając z podanych warunków początkowych
wyznaczyć
zaleŜności
od
czasu
składowych
wektora
prędkości
chwilowej
V(t) = [V
x
(t), V
y
(t)] = V
x
(t) i + V
y
(t) j,
d)
wyznaczyć zaleŜność od czasu t długości |V(t)| = V(t) wektora prędkości chwilowej,
e)
całkując równanie ruchu z punktu c) i korzystając z podanych warunków początkowych
wyznaczyć
zaleŜności
od
czasu
składowych
wektora
(promienia)
wodzącego
3
R(t) = [X
(t), Y(t)] = X(t) i + Y
(t) j,
f)
wyprowadzić równanie toru (trajektorii) ruchu ciała, tj. zaleŜność Y(X),
g)
wyznaczyć zasięg ruchu, czas t
w
wznoszenia się na największą wysokość Y
max
, wartość Y
max
,
czas t
s
spadku z wysokości Y
max
, całkowity czas t
c
ruchu; czy prawdą jest, Ŝe t
w
= t
s
?
h)
wyznaczyć zaleŜność przyspieszenia stycznego a
s
(t) od czasu
4
,
1
Na oznaczenia wielkości fizycznych wektorowych będą używane zamiennie symbole:
,
F
f
(duża/mała litera ze strzałką
nad nią) lub
F, f
(duża/mała litera pisane czcionką pogrubioną (bold)). Długości wektorów będą oznaczane symbolami
F, f.
2
Wyrażenie typu
d
d
A
m
B
t
=
jest równowaŜne układowi 3 równań skalarnych:
d
d
x
x
A
m
B
t
=
,
d
d
y
y
A
m
B
t
=
,
d
d
z
z
A
m
B
t
=
.
3
Wektor wodzący – dla danego punktu A to wektor zaczepiony w początku prostokątnego układu współrzędnych i o końcu w
punkcie A. W fizyce wektor wodzący jest wektorem położenia ciała względem początku układu współrzędnych. Długość
wektora wodzącego, czyli promienia wodzącego, jest odległością punktu od początku układu współrzędnych.
i)
wyznaczyć zaleŜność przyspieszenia normalnego a
n
(t) od czasu,
j)
promień krzywizny
ρ
(t) toru w danym punkcie trajektorii określa wzór
( )
( )
2
( ) =
;
n
V
t
t
a t
ρ
wyznaczyć
ρ
(t) toru ciała wykonującego rzut ukośny,
k)
pokazać, Ŝe w trakcie ruchu wartość sumy
( )
( )
2
2
V
t
gY t
+
jest stała, tj. nie zaleŜy od czasu t;
korzystając z tego wyniku obliczyć wartość prędkości z jaką ciało uderzy o powierzchnię,
l)
obliczyć pochodne względem czasu wyznaczonych zaleŜności V
x
(t), V
y
(t), X
(t) i Y(t),
m)
obliczyć wybrane wartości wyznaczonych wcześniej wielkości kinematycznych dla m = 0,2
kg,
v
0
= (3, 4) = 3
i +4j; wartości prędkości podano w jednostkach SI.
11.
Dynamika rzutu poziomego. Ciało o masie m rzucono poziomo z wysokości y
0
przy powierzchni
ziemi nadając mu prędkość początkową
v
0
= (v
x0
≠
0, v
y0
= 0) = v
x0
i. Wykonać samodzielnie
polecenia pkt. A) i B) z zadania 10 wzorując się na rozwiązaniu poprzedniego zadania. Obliczyć
wybrane wartości wyznaczonych wcześniej wielkości kinematycznych dla m = 0,3 kg,
v
0
= (5, 0) =
5
i; wartości prędkości w SI. Jak zmienią się wyniki zadania, jeśli opisane ciało wyrzucimy
z prędkością
v
0
= (v
x0
≠
0, v
y0
≠
0) = v
x0
i + v
y0
j dla v
y0
> 0 lub v
y0
< 0?
12.
Dynamika ruchu ciała po równi pochyłej. Ciało o masie m spoczywające (v
0
= 0) początkowo na
równi o wysokości H zaczyna zsuwać się wzdłuŜ równi. Współczynnik tarcia wynosi
µ
. W
prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY
jest do niej prostopadła:
a)
wyznaczyć współrzędne wektorów sił przyłoŜonych do ciała: cięŜkości
Q = [Q
x
, Q
y
], tarcia
T = [T
x
, T
y
] i siły reakcji równi
R = [R
x
, R
y
] oraz wektora przyspieszenia chwilowego ciała
a =
(a
x
, a
y
) w przyjętym układzie współrzędnych,
b)
podać wektorową postać równania ruchu ciała (zastosować II zas. dynamiki) a następnie
sformułować matematyczne postacie skalarnych równań ruchu w kierunku osi OX i OY,
c)
całkując równanie ruchu z punktu b) i korzystając z podanych warunków początkowych
wyznaczyć zaleŜności od czasu składowych wektora prędkości chwilowej
V(t) = [V
x
(t), V
y
(t)],
d)
wyznaczyć zaleŜność od czasu t długości |
V(t)| = V(t) wektora prędkości chwilowej,
e)
całkując równanie ruchu z punktu c) i korzystając z podanych warunków początkowych
wyznaczyć zaleŜności od czasu składowych wektora (promienia) wodzącego
R(t) = [X
(t), Y(t)],
f)
wyznaczyć czas ruchu ciała po równi oraz wartość prędkości końcowej ciała,
g)
ile wynosi
ρ
(t) toru ciała zsuwającego się po równi
5
,
h)
wyznaczyć zaleŜność przyspieszenia stycznego a
s
(t) i przyspieszenia normalnego a
n
(t) od czasu,
i)
jak zmienią się wyniki zadania, jeśli ciało ruszy z prędkością
v
0
≠
0 w dół lub w górę równi?
Wrocław, 26 września 2011
W. Salejda
4
Wskazówka:
s
d
( ) =
d
V
a t
t
.
5
Wskazówka: Wektor prędkości chwilowej dowolnego ruchu płaskiego można zawsze przedstawić w postaci
,
V
V
V
V
V
τ
= ⋅ = ⋅
gdzie
τ
jest wersorem (V > 0) w każdym punkcie toru stycznym do trajektorii o zwrocie i kierunku
V
;
wektor przyspieszenia całkowitego
,
s
n
a
a
a
= +
gdzie
s
a
jest wektorem prostopadłym do
n
a
i
d
d
n
a
t
τ
=
. Czy w
rozpatrywanym ruchu zmienia się wartość i kierunek wersora
τ
?