Niwelacja astronomiczna  

i astronomiczno-grawimetryczna 

2 

Odstępy geoidy/quasi-geoidy od elipsoidy są niezbędne do: 

- wyznaczenia kształtu bryły Ziemi, 

- redukcji obserwacji geodezyjnych na powierzchnię odniesienia (elipsoidę), 

- integracji niwelacji klasycznej i satelitarnej. 

Wyznaczenie przyrostów odstępów geoidy/quasi-geoidy od elipsoidy jest możliwe 
za pomocą odpowiedniego opracowania pomiarów astronomicznych, geodezyjnych 
(w tym satelitarnych) i grawimetrycznych 

Zastosowanie informacji o przebiegu geoidy/quasi-geoidy 

3 

lp

0 

= 

n

0

 

Niwelacja astronomiczna (astronomiczno-geodezyjna) 

Polega na wyznaczaniu przyrostów odstępów (dN) na podstawie znanych 
składowych (



,



) względnego odchylenia linii pionu (



) w punktach wybranego 

profilu i w kierunku (



). 

ds

dN









- dla odchylenia linii pionu na geoidzie 

















































cos

)

(

sin

cos

P

0

 

P

1

 

P

2

 



12

 



23

 

P

3

 

dN

1

 

dN

2

 

lp

1

 

n

1

 

n

2

 

lp

2

 

ds

01

 

ds

12

 











k

i

k

ds

N

1



G 

E 

wyznaczonego metodą astro-geodezyjną: 



,



-astronomiczne, 



,



- geodezyjne 

4 

k

k

N

N

N

N











...

2

1

1

Dla odchyleń pionu znanych na fizycznej powierzchni Ziemi należy uwzględnić zmianę 
krzywizny powierzchni ekwipotencjalnych geopa z f.p.Z. (



fpZ

 



 



geoida 

= 



0

) 

Przy założeniu liniowej zmiany odchylenia na kolejnych 
odcinkach (i;i+1) 

 

S < 20km na obszarach nizinnych  

 

S < 3-5km na obszarach górskich 

]

)

(

...

)

(

)

[(

2

1

1

1

2

3

2

1

2

1























k

k

k

k

s

s

s

N





























AB

AB

A

B

ds

ds

N

N

)

(

0

0







A

sr

A

sr

B

sr

B

sr

AB

sr

sr

AB

H

g

g

g

H

g

g

g

dh

g

g

g

ds



















)

(

0





- odstęp geoidy od elipsoidy na odcinku między punktami 1 i k 

- gdzie 



 jest odchyleniem na geoidzie. 

Geop  –  powierzchnia  ekwipotencjalna 
potencjału  siły  ciężkości  na  poziomie 
dowolnego 

punktu. 

Geopem 

na 

poziomie morza jest geoida 

5 

Niwelacja astronomiczno-grawimetryczna 



B

,



A

 – undulacja quasi-geoidy w punktach A i B, 



B

,



A

 – astronomiczne odchylenie linii pionu, 

N

A

,N

B

 – undulacja geoidy w punktach A i B wyznaczona wzorem Stokesa, 



B

gr

,



A

gr

 – grawimetryczne odchylenie linii pionu z map anomalii graw. 

]

)

(

[

)

(

s

N

N

s

gr

A

gr

B

A

B

A

B

A

B





























Metoda  niwelacji  astronomiczno-grawimetrycznej  umożliwia  ograniczenie  liczby 
punktów,  w  których  wykonuje  się  obserwacje  astronomiczne  do  wyznaczenia 
astronomicznego odchylenia linii pionu 

- dla undulacji quasi-geoidy