Microsoft Word - 05 Wytrzymałość materiałów.doc

05 Wytrzymałość materiałów

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

MECHANIKA CIAŁA ODKSZTAŁCALNEGO

Podstawą wytrzymałości materiałów są prawa statyki

oraz wnioski wypływające z doświadczenia.

Pomostem łączącym mechanikę ciał sztywnych z wytrzyma-

łością jest wspomniana już zasada zesztywnienia.

ojęcie „wytrzymałość materiałów” m ożna traktować jako

chę, właściwość ciał stałych, polegającą na przeciwstawianiu

się niszczącemu działaniu sił.

Zadania

„wytrzymałość materiałów” jako przedmiotu opisują-

cego zachowanie się ciał odkształcalnych:
 określanie nośności konstrukcji (odpowiedniej wytrzymałości),
 wyznaczanie przemieszczeń konstrukcji wywołanych obcią-

żeniami (określanie sztywności konstrukcji).

Wytrzymałość  materiałów  jest  częścią  mechaniki  o  praktycz-
nym,  inżynierskim  charakterze.  W  rozwiązywaniu  konkretnych
zadań  wykorzystuje  się  pewne  uogólnienia  i  uproszczenia.
Uproszczenia  dotyczą  opisu  właściwości  materiału  i  opisu
kształtu  elementu  konstrukcyjnego.  Dzięki  uproszczeniom  rze-
czywisty  obiekt  zostaje  przekszta

łcony w pewien model, który

umożliwia rozwiązanie problemu za pomocą określonego
schematu obliczeniowego. Model (schemat obliczeniowy)
musi zachowywać istotne dla rozwiązywanego problemu cechy
i właściwości rzeczywistego obiektu.

UPROSZCZ

ENIA W WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW:

 modelu ciała  ciało jednorodne,

 właściwości materiału  ciało izotropowe, którego właści-

wości we wszystkich kierunkach są identyczne (ciało ani-
zotropowe –

różne właściwości), ciało sprężyste

 sposobu rozwiązywania  uproszczenia inżynierskie.

05 Wytrzymałość materiałów

Wytrzymałość materiałów posługuje się modelem cia-
ła jednorodnego, izotropowego, idealnie sprężystego
i charakteryzuje się praktycznym, inżynierskim podej-
ściem do rozwiązywanych problemów.

Wytrzymałość materiałów bada przede wszystkim siły

wewnętrzne, będące wynikiem oddziaływania między po-
szczególnymi cząstkami ciała jednorodnego.

Jednym z głównych zadań wytrzymałości materiałów jest roz-

wiązywanie zadań statycznie niewyznaczalnych, w których
liczba niewiadomych jest większa od liczby równań równowagi.
W

praktyce inżynierskiej spotyka się przede wszystkim zadania

statycznie niewyznaczalne.

PODSTAWOWYMI MODELAMI NOMINALNYMI W WY-

TRZY

MAŁOŚCI MATERIAŁÓW SĄ PRĘTY, WAŁY I BELKI.

Model nominalny (fizyczny) w sposób uproszczony powinien

wiernie  przedstawiać  badany  fragment  rzeczywistości  (muszą
być  spełnione  prawa  podobieństwa  modelowego).  Korzysta  on
ze zbioru pojęć właściwych dla badanej rzeczywistości. Uprosz-
czenia, będące istotnym elementem wytrzymałości materiałów,
muszą  być  w  modelu  nominalnym  odpowiednio  uzasadnione  i
doświadczalnie zweryfikowane.

PRĘTY – ROZCIĄGANIE

WAŁY – SKRĘCANIE

BELKI –ZGINANIE

05 Wytrzymałość materiałów

Podstawowe modele konstrukcji pro

stych w wytrzymałości materiałów

SIŁY WEWNĘTRZNE

W wytrzymałości materiałów siły zewnętrzne czynne są siłami
ob

ciążającymi konstrukcję. Siły zewnętrzne bierne ujawniają się

po uwolnieniu konstrukcji od więzów. Dla ujawnienia sił we-
wnętrznych korzysta się z tzw. zasady myślowych przekro-
jów.

Zasada myślowych przekrojów polega na dokonaniu my-
ślowego (wirtualnego) przekroju konstrukcji i myślowego
(wirtualnego)

rozdzielenia ciała na dwie części. Dzięki te-

mu rozdzieleniu ujaw

niają się siły wewnętrzne, które muszą

być w równowadze z siłami zewnętrznymi, działającymi na
rozpatrywaną część ciała.

PŁASZCZYZNA MYŚLOWEGO PRZEKROJU

- siły zewnętrzne
czynne i bierne

i ,

Idea myślowych przekrojów

05 Wytrzymałość materiałów

PROSTE PRZY

PADKI OBCIĄŻEŃ:

 rozciąganie (ściskanie), gdy działa tylko siła N; siła N skie-

rowana na zewnątrz rozpatrywanego przekroju jest siłą do-
datnią, powodującą rozciąganie (znak „+”); siła N skierowana
do wewnątrz powoduje ściskanie (znak „–”);

 ścinanie, gdy działa jedna z sił poprzecznych T

lub T

;

 skręcanie, gdy działa moment skręcający M

;

 zginanie, gdy działa jeden z momentów zginających; mo-

ment M

powoduje zginanie przekroju w płaszczyźnie XY

(pionowej), natomiast moment M

zginanie w płaszczyźnie

XZ (poziomej).

W praktyce inżynierskiej najczęściej spotyka się złożone

przypadki obciążenia, będące kombinacją wymienionych wy-
żej prostych przypadków. Złożone przypadki obciążeń są ko-
lejną charakterystyczną cechą wytrzymałości materiałów.

NAP

RĘŻENIA

Statycznie równo

ważne układy sił

STATYKA CIAŁA SZTYWNEGO – analiza sił zewnętrznych.
WYTRZYMAŁOŚC MATERIAŁÓW – analiza „wytrzymałości”
konstrukcji.

05 Wytrzymałość materiałów

Do oceny wytrzymałości danego przekroju

wprowadzono po

jęcie naprężenia.

Def

inicja naprężenia

Naprężeniem w punkcie C nazywa się wektor zdefiniowa-
ny

zależnością:

lim













Jednostką naprężenia jest paskal [Pa]:

 

niuton





PRAKTYKA INŻYNIERSKA: megapaskal, 1 MPa = 10

Pa.

Związki między siłami wewnętrznymi i naprężeniami

Równania statyki dla przestrzennego układu sił (6 równań):

UWAGA:

równania statyki można formułować tylko dla sił.















05 Wytrzymałość materiałów

























ydA

ODKSZTAŁCENIA I PRZEMIESZCZENIA

Działanie sił – odkształcenia i przemieszczenia.

Odkształcenia i przemieszczenia

RODZAJE ODKSZTAŁCEŃ:

–

liniowe

, które są określane jako wektor o początku w pew-

nym punkcie ciała nieodkształconego i końcu w tym samym
punkcie ciała odkształconego,

–

kątowe, które są określane za pomocą kąta zawartego
po

między dowolnie krótkim odcinkiem związanym z rozpa-

try

wanym ciałem przed odkształceniem i po jego odkształ-

ceniu.

Przemieszczenia ciała są wynikiem odkształceń.

Wydłużenie liniowe (odkształcenie wzdłużne, wydłużenie
względne, jednostkowe, właściwe) określa się z zależności

lim





































05 Wytrzymałość materiałów

Odkształcenia postaciowe (odkształcenie poprzeczne, kąt
od

kształcenia postaciowego) są określone:



















DOŚWIADCZALNE PODSTAWY

WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA.

– określa związek pomiędzy naprężeniami i odkształceniami,
– dostarcza podstawowych informacji o właściwościach wy-

trzymałościowych materiałów,

– umożliwia prowadzenie obliczeń wytrzymałościowych wyko-

rzystujących warunek wytrzymałościowy.

Wykres

rozciągania dla materiału z wyraźną granicą plastyczności

Odcinek OA – liniowa

zależność między obciążeniem i wy-

dłużeniem. Jest to więc zakres ważności prawa Hooke'a. Pra-
wo

Hooke’a to związek fizyczny:









 = F/A

, –

naprężenie, A

–

początkowy przekrój próbki;

05 Wytrzymałość materiałów

 = L/L

, –

wydłużenie względne próbki,

– początkowa długość próbki;

E –

współczynnik proporcjonalności, charakteryzujący od-

kszta

łcalność materiału, moduł (współczynnik) sprężystości

wzdłużnej, moduł Younga [MPa].

Punkt A

– granica

proporcjonalności.

Punkt B

– granica

sprężystości.

Punkt C, D – granica plastycz

ności.

Punkt E

–

wytrzymałość na rozciąganie

(wytrzymałość doraźną).

Za pomocą statycznej próby rozciągania określa się podsta-
wowe

właściwości mechaniczne (wytrzymałościowe) stosowa-

nych w praktyce inżynierskiej materiałów konstrukcyjnych:

– moduł Younga E [MPa,

– współczynnik Poissona, wyrażona jako stosunek wydłużenia

poprzecznego do wzdłużnego, oznaczona symbolem 







 – wydłużenie wzdłużne, ' – wydłużenie po-
przeczne; liczba Poissona mieści się w prze-
dziale 0 <  < 0,5 ( = 0 – korek, beton,  = 0,5
– kauczuk);

– granica plastyczności R

[MPa];

– wytrzymałość na rozciąganie R

[MPa],

– wydłużenie, zdefiniowane zależnością

100





gdzie: L

–

długość początkowa próbki, L

–

długość próbki

po zerwaniu;

– przewężenie, zdefiniowane zależnością

100





gdzie: A

–

początkowy przekrój próbki, A

– przekrój próbki

po zerwaniu.

PRAWO HOOKE’A:







05 Wytrzymałość materiałów

Naprężenie:





wydłużenie:







uga postać prawa Hooke’a:

L 



EA – sztywno

ść przekroju na rozciąganie.

WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCIOWY

Miarą wytężenia materiału (zdolności do przenoszenia obcią-

żeń) są naprężenia . Graniczną miarą wytężenia są naprę-
żenia dopuszczalne.

nieb

dop







gdzie: 

nieb

–

naprężenie przyjęte za niebezpieczne (granica

plastyczności),

–

współczynnik bezpieczeństwa.

Współczynnik bezpieczeństwa n musi być większy od 1.

Dobór

współczynnika bezpieczeństwa – znaczenie ekono-

miczne.

WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCIOWY:

dop

max







Warunek wytrzymałościowy stanowi podstawę obliczeń wy-

trzymałościowych na naprężenia dopuszczalne. Korzystanie
z niego umożliwia zrealizowanie obu zadań wytrzymałości ma-
teriałów, czyli:
– określenie dopuszczalnych obciążeń konstrukcji o zna-

nych wymiarach,

– określenie koniecznych wymiarów konstrukcji dla zada-

nego ob

ciążenia.

05 Wytrzymałość materiałów

Jest oczywiste, że postawą obliczeń wytrzymałościowych na

napr

ężenia dopuszczalne są właściwości materiału uzyskane

za pomocą statycznej próby rozciągania.

WARUNEK SZTYWNOŚCI

dop







ZASADA SUPERPOZYCJI

Podstawa: prawo Hooke’a

(liniowy związek między obciąże-

niem i odkształceniem).

Rezultaty działania kilku sił są równe sumie

(algebraicznej lub geometrycznej) rezultatów,

otrzymywanych w wyniku działania każdej siły oddzielnie.

ZADANIA STATYCZNIE WYZNACZALNE

I STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

W wytrzymałości materiałów przeważają zagadnienia sta-

tycznie niewyznaczalne, tzn. takie, gdzie liczba niewiadomych
p

rzekracza liczbę równań równowagi, które mogą być napisane

dla  tego  zagadnienia.  Różnica  między  liczbą  niewiadomych  a
liczbą  równań  równowagi określa tzw. stopień statycznej nie-
wyznaczalności zadania.

Rozwiązanie zadania statycznie niewyznaczalnego:
– określenie stopnia statycznej niewyznaczalności zadania

wielkości statycznie niewyznaczalnych,

– utworzenie odpowiedniej liczby tzw. równań geometrycz-

nych

z wykorzystaniem warunków nierozdzielności (łączno-

ści) konstrukcji.

05 Wytrzymałość materiałów

Zadania statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne

Schemat kon-

strukcji

Schemat sił

Liczba

rów

nań

statyki

Liczba

niewia-

domych

Stopień sta-

tycznej niewy-

znaczalno

ści

X = n – RS

05 Wytrzymałość materiałów

RACHUNEK JEDNOSTEK

Wielokrotno

ści i podwielokrotności jednostek podstawowych:

mega (M)  10

 1000000

kilo (K)  10

 1000

centy (c)  10

–2

 0,01

mili (m)  10

–3

 0,001

mikro ()  10

–6

 0,000001

nano (n)  10

–9

 0,000000001

PRZELICZNIK JEDNOSTEK

KONTROLA POPRAWNOŚCI WZORÓW

RZYKŁAD

Za pomocą prawa Hooke'a obliczyć przelicznik jednostek, je-

żeli P jest wyrażone w kiloniutonach [kN], L w metrach [m], E w
megapaskalach [MPa], A w centymetrach kwadratowych [cm





 















































RZYKŁAD

Określić związek pomiędzy momentem skręcającym, mocą i

liczbą obrotów wału przenoszącego tę moc.

Z dynamiki znany jest wzór: N = M , gdzie N [kW] – moc,

[Nm] – moment skręcający,  [rad/s] – prędkość kątowa.

Po podstawieniu:  = 2, gdzie  [1/s] – częstość kątowa, n =
60 [obr/min], otrzymuje się:

 

min

obr

min

obr















































9550

9549