EGZAMIN 2 z ALGEBRY
12 luty 2013
Imię i nazwisko
grupa
(CZYTELNIE !)
Zad 1
Zad 2
Zad 3
Zad 4
Zad 5
Zad 6
∑ z egz
Ćwicz
Razem
Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1.
Niech
(
)
{
}
0
2
0
2
3
:
,
,
3
2
1
3
2
1
3
3
2
1
=
−
−
∧
=
+
−
∈
=
x
x
x
x
x
x
R
x
x
x
U
. Uzasadnić, Ŝe U jest
podprzestrzenią wektorową przestrzeni
3
R
V
=
i określić jej wymiar. Znaleźć rzut prostokątny
wektora
(
)
1
,
2
,
6
−
−
=
w
na .
U
Określić odwzorowanie
3
3
:
R
R
F
→
takie, Ŝe
( )
v
F
jest rzutem prostokątnym dowolnego wektora
3
R
v
∈
na zbiór U . Wyznaczyć jądro
F
Ker
tego odwzorowania.
2.
Co to są macierze podobne? Uzasadnić dlaczego macierze podobne maja te same wartości własne. Do
jakiej macierzy jest podobna macierz
−
−
=
1
2
2
2
1
2
2
2
1
A
?
Wyznaczyć
10
A . Uzasadnić metodę postępowania powołując się na własności działań na macierzach.
(
Przytoczyć wszystkie te własności.)
3.
Wyprowadzić wzór na odległość punktu od prostej danej parametrycznie. Wyznaczyć równanie
sfery o środku w punkcie
(
)
1
,
7
,
5
−
−
stycznej do prostej
=
+
+
+
=
−
+
+
0
5
2
3
0
9
3
2
:
z
y
x
z
y
x
l
4.
Liczba
i
z
−
=
2
jest pierwiastkiem równania
0
20
6
2
2
3
4
=
+
−
+
−
z
z
z
z
. Wyznaczyć argument
główny 14 potęgi pierwiastka tego równania zawartego w zbiorze
<
+
<
∈
2
1
arg
3
:
π
π
i
z
C
z
.
5.
Wektory
)
0
,
2
,
1
,
3
,
1
(
),
5
,
1
,
2
,
4
,
3
(
),
2
,
0
,
1
,
1
,
1
(
),
1
,
1
,
0
,
2
,
1
(
4
3
2
1
−
−
=
−
=
−
=
−
=
v
v
v
v
naleŜą do
podprzestrzeni wektorowej
5
R
U
⊂
. Wybrać z pośród nich wektory tworzące bazę tej podprzestrzeni.
Wyznaczyć pozostałe wektory (wektor) w zaleŜności od wektorów wybranych do bazy. Czy wybór
wektorów bazy jest jednoznaczny? Czy wektor
)
0
,
0
,
1
,
0
,
0
(
=
w
naleŜy do podprzestrzeni U ?
Odpowiedzi uzasadnij.
6.
Dane są punkty
(
)
1
,
2
,
1
−
A
,
(
)
8
,
1
,
7
−
B
,
(
)
0
,
3
,
7
−
C
. Znaleźć płaszczyznę, na której leŜy trójkąt ABC
oraz prostą zawierającą wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C .
W jakiej proporcji ta wysokość dzieli bok AB ?