1 
 

doc. dr Beata Pułaska-Turyna 
Zakład Badań Operacyjnych 
Zarządzania – B 506.  
 
Tel.: (22)55 34 144  
 
Mail: 

turynab@mail.wz.uw.edu.pl

 

 
 
Literatura: 
Wspomaganie procesów decyzyjnych, 
Marianna Lipiec-Zajchowska (red.), 
tom III, Badania operacyjne, C.H.Beck, 
2003 
 
 
Badania operacyjne w przykładach i 
zadaniach , Karol Kukuła (red.), 
Wydawnictwo Naukowe PWN, dowolne 
wydanie 
 

 

2 
 

BADANIA OPERACYJNE 

 

 

„Badanie operacji” - operations research   

II wojna światowa. 

 

 

 

„Badania operacyjne”

 

- operational research 

-  naukowa  metoda  rozwiązywania  problemów 

z zakresu podejmowania decyzji. 

 
 

Zastosowania:

 

 sporządzanie 

matematycznych, 

ekonomicznych 

i 

statystycznych  opisów  lub  modeli  decyzji  oraz  problemów 

sterowania  w  celu  analizy  sytuacji  charakteryzujących  się 

dużą złożonością i niepewnością, 

 analiza 

zależności 

determinujących 

prawdopodobne 

konsekwencje 

wyboru 

decyzji 

oraz 

formułowanie 

odpowiednich mierników efektywności w celu oszacowania 

względnej wartości alternatywnych działań. 

3 
 

 

Cechy charakterystyczne: 

 

 ukierunkowanie na podejmowanie decyzji, 

 możliwość  oceny  działania  na  podstawie  kryteriów 

ekonomicznej efektywności,  

 zaufanie do modelu matematycznego;  

 konieczność stosowania oprogramowania komputerowego. 

 

Sposoby osiągania celu: 

 

 poprawa jakości podejmowanych decyzji, 

 poprawa jakości koordynacji działań wewnątrz organizacji, 

 polepszenie jakości kontroli, 

 doskonalenie systemów. 

 

 

4 
 

Procedura badań operacyjnych 

 

 

 

 
 

Sytuacja  decyzyjna,  problem  zarządzania

  - 

wspomaganie  decydentów 

w  poszukiwaniu  najlepszej 

odpowiedzi na pytanie „Co - jeżeli?” 

 

 

Sytuacja decyzyjna

Problem

zarządzania

Model

problemu

Decyzje

Rozwiązanie

problemu

Rozpoznanie
Wartościowanie
Modelowanie

Analiza
 i ocena

Im

p

le

m

en

ta

cj

a

A

lg

o

ry

tm

y

P

ro

g

ra

m

y

 

k

o

m

p

u

te

ro

w

e

5 
 

Rozpoznanie, wartościowanie, modelowanie: 

 

rozpoznanie

  -  zebranie  danych  liczbowych  o 

problemie decyzyjnym, 

 

wartościowanie

 

(ewaluacja) 

zebranych 

materiałów  liczbowych  -  stwierdzenie  problemu 

zarządzania  i  jego  określenie  merytoryczne  i 

formalne (matematyczne), 

 

modelowanie.

  

 

Model problemu 

 

Algorytmy,  programy  komputerowe

 

- 

metody 

programowania 

matematycznego 

(programowanie 

liniowe, 

algorytm 

transportowy), 

regresja  liniowa  i  wieloraka,  drzewo  decyzyjne, 

programowanie sieciowe, programowanie dynamiczne. 

 

6 
 

Rozwiązanie problemu

  

 

Analiza, ocena

 - analiza poprawności: 

  założeń, 

  rozpoznania, wartościowania i modelowania, 

wybranego modelu, 

  zastosowanego algorytmu, 

  zastosowanego programu komputerowego, 

  uzyskanego rozwiązania matematycznego. 

 

 

Decyzje

  -  zbiór  rozwiązań  o  akceptowanym  wstępnie 

stopniu  dobroci  każdego  rozwiązania  oraz  zbiór  rozwiązań 

suboptymalnych. 

 

 

Implementacja

 - rozwiązanie problemu wybrane przez 

decydenta zostaje zastosowane. 

7 
 

PROGRAMOWANIE LINIOWE 

Postać klasyczna (standardowa) 

 
Funkcja celu (kryterium): 
 
1) maksymalizacja 
z = c

1

x

1

 + c

2

x

2

 + ... + c

n

x

n

  MAX  

lub  z = 

j

n





1

c

j

x

j

  MAX 

Ograniczenia: 
a

11

x

1

 + a

12

x

1

 + ... + a

1n

x

1

 < b

1 

a

21

x

1

 + a

22

x

1

 + ... + a

2n

x

1

 < b

2 

............................................... 
a

m1

x

1

 + a

m2

x

1

 + ... + a

mn

x

1

 < b

m

 

 

Warunki brzegowe: 
x

1

, x

2

, ... x

n

  > 0 

 
 
cx  MAX 
Ax < b 
x > 0 
 
 

 

8 
 

gdzie: 
x

j

 - zmienna decyzyjna dla j = 1,2, ..., n, 

c

j

 - współczynniki funkcji celu j = 1,2, ..., n, 

a

ij

 - współczynniki nakładów j = 1,2, ..., n oraz 

i= 1,2, ..., m, 
b

j

 - zasoby czynników produkcji (zakłada się, że są 

nieujemne). 

 
2) minimalizacja 
z = c

1

x

1

 + c

2

x

2

 + ... + c

n

x

n

  MIN  

lub z = 

j

n





1

c

j

x

j

  MIN 

Ograniczenia: 
a

11

x

1

 + a

12

x

1

 + ... + a

1n

x

1

 > b

1 

a

21

x

1

 + a

22

x

1

 + ... + a

2n

x

1

 > b

2 

............................................... 
a

m1

x

1

 + a

m2

x

1

 + ... + a

mn

x

1

 > b

m

 

 
Warunki brzegowe: 
x

1

, x

2

, ... x

n

  > 0 

 
 
cx  MIN 
Ax > b 
x > 0 
 

9 
 

Wektor zmiennych decyzyjnych: 

X = [x

1

, x

2

, ..., x

n

]  

spełniający warunki ograniczające i brzegowe 
nazywamy  rozwiązaniem  dopuszczalnym 
zagadnienia programowania liniowego. 
 
Takie  rozwiązanie  dopuszczalne,  dla  którego 
funkcja  celu  osiąga  wartość  ekstremalną 
(MAX, 

MIN) 

nazywamy 

rozwiązaniem 

optymalnym.

 

 

Graficzna interpretacja programowania 

liniowego 

Przykład: 
Firma 

specjalizująca 

się 

w 

produkcji 

mrożonych 

półfabrykatów 

spożywczych 

produkuje  frytki  (1)  oraz  puree  (2).  Firma 
może kupować ziemniaki u dwóch dostawców. 
Z  1t  zakupionych  ziemniaków  u  dostawcy 
pierwszego  (I)  można  wyprodukować  0,2t 
frytek i 0,6t puree (0,2t stanowią odpady), zaś 
u dostawcy drugiego (II) odpowiednio - 0,3t i 
0,6t.  Przy  zakupie  ziemniaków  od  I  dostawcy 
zysk względny wynosi 5 j.p., natomiast od II – 
6  j.p.  Frytki  mogą  być  produkowane  w  ilości 

10 
 

nie  większej  niż  18t/miesiąc,  natomiast  puree 
w ilości nie większej niż 48t/miesiąc. 
 
Problem:  ile  ziemniaków  należy  zakupić  od 
każdego  dostawcy,  aby  zmaksymalizować 
zysk całkowity? 
 

Produkt 

Dostawca I  Dostawca II  Wielkość 

produkcji 

Frytki 

0,2 

0,3 

18 

Puree 

0,6 

0,6 

48 

Zysk względny 

5 

6 

 

 
x

1

 

 - ilość ziemniaków kupowana u I dostawcy, 

x

2

 

 - ilość ziemniaków kupowana u II dostawcy, 

 
Funkcja celu: 

z = 5 x

1

 + 6 x

2

  MAX 

Ograniczenia: 

0,2 x

1

 + 0,3 x

2

  <  18 

0,6 x

1

 + 0,6 x

2

  <  48 

Warunki brzegowe: 

x

1

 > 0

 

x

2

 > 0 

 
 

11 
 

1.Zamieniamy nierówności na równania: 

 

I linia prosta: 

0,2 x

1

 + 0,3 x

2

 = 18 

x

1 

= 0

    

 

   0,3 x

2

 = 18    

 

    

x

2 

= 60

 

x

2 

= 0 

   

 

   0,2 x

1

 = 18    

 

    

x

1 

= 90

 

 

II linia prosta: 

0,6 x

1

 + 0,6 x

2

 = 48 

x

1 

= 0

    

 

   0,6 x

2

 = 48    

 

    

x

2 

= 80

 

x

2 

= 0    

 

   0,6 x

1

 = 48    

 

    

x

1 

= 80

 

 

 

12 
 

0,2 x

1

 + 0,3 x

2

  <  18 

0,6 x

1

 + 0,6 x

2

  <  48 

 
A(0, 0):   0,20+0,30=0 
 

 

 

0,60+0,60=0 

B(80,0):  0,280+0,30=16 
 

 

 

0,680+0,60=48 

 
C(90,0):  0,290+0,30=18 
 

 

 

0,690+0,60=

54 

rozw. sprz. 

 
D(?,?):

 

0,2 x

1

 + 0,3 x

2

 = 18 

0,6 x

1

 + 0,6  x

2

 = 48 

 

x

1 

=60,

 

x

2 

=20

 

 

 

D(60,20):  0,260 + 0,320 = 18 
 

 

 

0,660 +0,620 = 48 

 
E(0,80):  0,20 + 0,380 = 

24 

rozw. sprz. 

 

 

 

0,60 + 0,680 = 48 

 
F(0,60):  0,20 + 0,360 = 18 
 

 

 

0,60 + 0,660 = 36 

13 
 

 

2. Wyznaczamy 

zbiór rozwiązań 

dopuszczalnych

 

 

 

 
 

 

 
 
 

 

14 
 

3. Poszukujemy 

rozwiązania 

optymalnego

: 

 

 

 Metoda 

podstawiania

: 

 

z = 5 x

1

 + 6 x

2

 



 MAX

 

 
A(0,0): 

 

50 + 60 = 0 

B(80,0):   

580 + 60 = 400 

D(60,20):   

560 + 620 = 

420

 

MAX

 

F(0,60):   

50 + 660 = 36 

15 
 

 Metoda 

warstwicy funkcji celu

: 

z = 5 x

1

 + 6 x

2

 



 MAX

 

Zakładamy dowolną wartość funkcji celu: 

 

5 x

1

 + 6 x

2

 = 250

 

x

1 

= 0    

 

   6 x

2

 = 250      

 

 

    x

2 

= 41 2/3 

x

2 

= 0    

 

   5 x

1

 = 250 

     

 

    x

1 

= 50 

 

5 x

1

 + 6 x

2

 = 300

 

x

1 

= 0    

 

     6 x

2

 = 300    

 

    x

2 

= 50 

x

2 

= 0    

 

     5 x

1

 = 300    

 

    x

1 

= 60

 

 

16 
 

Rozwiązanie: 

 
Należy zakupić od I dostawcy 60t ziemniaków 
(

x

1

  =  60

)  natomiast  od  II  dostawcy  20t 

ziemniaków  (

x

2

 

= 

20

),  aby  osiągnąć 

maksymalny  zysk  związany  z  zakupem  na 
poziomie 

z

MAX

 = 420 j.p.

 

 
Możliwe zbiory rozwiązań dopuszczalnych 
 
1. Zbiór ograniczony (wielokąt wypukły). 
 
 
 
 
 
 
2.  Zbiór  rozwiązań  dopuszczalnych  jest 
zbiorem nieograniczonym (od góry). 
 
 
 
 
 
 

17 
 

3.  Zbiór  rozwiązań  dopuszczalnych  jest 
zbiorem pustym. 
 
 
 
 
 
 
4.  Zbiór  rozwiązań  dopuszczalnych  jest 
punktem. 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Rozwiązanie optymalne 

 

1.  Zbiór  rozwiązań  dopuszczalnych  jest 
wielokątem wypukłym: 
 

18 
 

 funkcja  celu  osiąga  ekstremum  (MAX  lub 

MIN) w jednym punkcie wierzchołkowym 

 
 
 
 
 
 

 
 

 funkcja  celu  osiąga  ekstremum  (MAX  lub 
MIN)  w  dwóch  wierzchołkach  wielokąta 
wypukłego 

 
 
 
 
 
 
 
2.  Zbiór  rozwiązań  dopuszczalnych  jest 
zbiorem nieograniczonym: 
 
 funkcja  celu  osiąga  ekstremum  (MIN)  w 

jednym wierzchołku tego obszaru 

19 
 

 
 
 
 
 
 
 

 funkcja  celu  osiąga  ekstremum  (MIN)  w 

dwóch wierzchołkach tego obszaru 

 
 
 
 
 
 
 
 funkcja  celu  nie  osiąga  skończonej  wartości 

ekstremalnej (MAX) 

 
 
 
 
 
 
 

20 
 

Dualizm w programowaniu liniowym 

1.  Dla  każdego  zadania  programowania 
liniowego  można  zbudować  inne  zagadnienie 
programowania 

liniowego, 

zwane 

zagadnieniem 

(zadaniem) 

dualnym 

do 

zagadnienia wyjściowego - prymalnego. 
Zadanie prymalne: 
z = c

1

x

1

 + c

2

x

2

 + ... + c

n

x

n

  MAX  

 
a

11

x

1

 + a

12

x

1

 + ... + a

1n

x

1

 < b

1 

a

21

x

1

 + a

22

x

1

 + ... + a

2n

x

1

 < b

2 

............................................... 
a

m1

x

1

 + a

m2

x

1

 + ... + a

mn

x

1

 < b

m

 

 

x

1

, x

2

, ... x

n

  > 0 

 
Zadanie dualne: 
w = b

1

y

1

 + b

2

y

2

 + ... + b

n

y

m

  MIN  

 
a

11

y

1

 + a

21

y

2

 + ... + a

m1

y

m

 > c

1 

a

12

y

1

 + a

22

y

2

 + ... + a

m2

y

m

 > c

2 

............................................... 
a

1n

y

1

 + a

2n

y

2

 + ... + a

mn

y

m

 > c

n

 

 

y

1

, y

2

, ... y

m

  > 0 

21 
 

2.  W  zadaniu  dualnym  występuje  tyle 
zmiennych  decyzyjnych  (y

m

)  ile  warunków 

ograniczających  zawiera  zadanie  prymalne 
(b

m

).  Zmienne  decyzyjne  w  zadaniu  dualnym 

są nazywane cenami dualnymi. 
 
3. 

W 

zadaniu 

dualnym 

macierz 

współczynników  warunków  ograniczających 
jest 

macierzą 

transponowaną 

względem 

macierzy 

współczynników 

warunków 

ograniczających zadania prymalnego. 
 
 
 

 

a

11

 

a

12

 ..... a

1n   

 

 

a

11 

a

21

 ..... a

m1

 

 

 

a

21

 

a

22

 ..... a

2n

   

 

 

a

12 

a

22

 ..... a

m2

 

A =  

.....

.................   

A

T

 =  ...................... 

 

 

a

m1

 

a

m2

 ..... a

mn

  

 

 

a

1n 

a

2n

 ..... a

mn

 

 
 
4.  Warunki  ograniczające  w  zadaniu  dualnym 
mają  nierówności  o  przeciwnym  kierunku  do 
nierówności  warunków  ograniczających  w 
zadaniu prymalnym. 

22 
 

5.  W  zadaniu  dualnym  wyrazy  wolne 
warunków 

ograniczających 

są 

równe 

współczynnikom 

funkcji 

celu 

zadania 

prymalnego. 
 
6.  Współczynniki  funkcji  celu  zadania 
dualnego 

są 

równe 

wyrazom 

wolnym 

warunków 

ograniczających 

zadania 

prymalnego. 
 
7. 

Kryterium 

optymalizacyjne 

zadania 

dualnego 

jest 

przeciwne 

do 

kryterium 

optymalizacyjnego zadania prymalnego. 
 
8.  Jeśli  jedno  z  zagadnień  dualnych  ma 
rozwiązanie 

optymalne, 

to 

rozwiązanie 

optymalne  ma  również  drugie  z  tych 
zagadnień, przy czym zachodzi równość: 
 

z

MIN

 = w

MAX 

 
9.  Jeśli  w  jednym  z  zagadnień  dualnych 
optimum  funkcji  celu  jest  nieograniczone,  to 
jego zagadnienie dualne jest sprzeczne. 
 

23 
 

10.  Jeżeli  j-ty    warunek  zadania  dualnego  jest 
(chociaż  w  jednym)  optymalnym  rozwiązaniu 
tego  programu  spełniony  z  nierównością 
(ostro), to odpowiadająca mu j-ta zmienna x

j

 w 

(dowolnym) optymalnym rozwiązaniu zadania 
prymalnego przyjmuje wartość 0 i odwrotnie. 
Jest  to  tzw.  twierdzenie  o  równowadze 
wykorzystywane 

do 

sprawdzania 

optymalności 

danego 

rozwiązania 

dopuszczalnego. 
 
Przykład: 
Zadanie prymalne: 
x

1

 

 - ilość ziemniaków kupowana u I dostawcy, 

x

2

 

 - ilość ziemniaków kupowana u II dostawcy, 

 
Funkcja celu: 

z = 

5

 x

1

 + 

6

 x

2

  

MAX

 

Ograniczenia: 

0,2 

x

1

 + 

0,3 

x

2

  

<

  

18

 

0,6 

x

1

 + 

0,6 

x

2

  

<

  

48

 

Warunki brzegowe: 

x

1

 > 0

 

x

2

 > 0 

Rozwiązanie: x

1

 =60, x

2

 =20, z

MAX

 = 420

24 
 

Zadanie dualne: 
y

1

 

  -  cena  dualna  I  ograniczenia  (moce 

produkcyjne przy produkcji frytek), 

y

2

 

  -  cena  dualna  II  ograniczenia  (moce 

produkcyjne przy produkcji puree), 

 

Funkcja celu: 

w = 

18 

y

1

 + 

48 

y

2

  

MIN

 

Ograniczenia: 

0,2 

y

1

 + 

0,6

 y

2

  

>

  

5 

0,3 

y

1

 + 

0,6 

y

2

  

>

  

6

 

Warunki brzegowe: 

y

1

 > 0

 

y

2

 > 0 

 

 

25 
 

Rozwiązanie: y

1

 =10, y

2

 =5, w

MIN

 = 420 

 
Interpretacja: 

 
y

1

=10 

zwiększenie 

I 

zasobu 

(mocy 

produkcyjnych  przy  produkcji  frytek)  o 
jednostkę 

(1t) 

spowoduje 

taką 

zmianę 

rozwiązania 

optymalnego 

w 

zadaniu 

prymalnym  w  efekcie,  której  wartość  funkcji 
celu wzrośnie o 10 j.p: 
 

0,2 x

1

 + 0,3 x

2

  < 

19 (18+1)

 

0,6 x

1

 + 0,6 x

2

  <  48 

 

 

x

1 

=50,

 

x

2 

=30

  

 

 

z

MAX

= 550 + 630 = 430 

 

z = 430 - 420 = 10  y

1 

 

 

26 
 

y

2

=5 

zwiększenie 

II 

zasobu 

(mocy 

produkcyjnych  przy  produkcji  puree)  o 
jednostkę 

(1t) 

spowoduje 

taką 

zmianę 

rozwiązania 

optymalnego 

w 

zadaniu 

prymalnym  w  efekcie,  której  wartość  funkcji 
celu wzrośnie o 5 j.p: 
 

0,2 x

1

 + 0,3 x

2

  < 18 

0,6 x

1

 + 0,6 x

2

  <  

49 (48+1) 

 

 

x

1 

=65,

 

x

2 

=16 2/3

  

 

 

z

MAX

 = 565 + 616 2/3 = 425 

 

z = 425 - 420 = 5  y

2