1
Wykład VII
Powierzchnie drugiego stopnia
Kula
Elipsoida
Hiperboloida jednopowłokowa i dwupowłokowa
Paraboloida eliptyczna i hiperboliczna
Stożek i walec
1
Wykład VII
Powierzchnie drugiego stopnia
Kula
Elipsoida
Hiperboloida jednopowłokowa i dwupowłokowa
Paraboloida eliptyczna i hiperboliczna
Stożek i walec
2
Kula
Kula o środku w punkcie S(a,b,c) i promieniu r (r>0) jest
opisana równaniem:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
r
c
z
b
y
a
x
=
−
+
−
+
−
S(a,b,c)
r
P(x,y,z)
x
y
z
3
Elipsoida
Elipsoida
opisana jest równaniem:
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
z
b
y
a
x
z
x
y
4
Hiperboloida jednopowłokowa
Hiperboloida jednopowłokowa
jest opisana równaniem:
1
2
2
2
2
2
2
=
−
+
c
z
b
y
a
x
z
x
y
5
Hiperboloida dwupowłokowa
Hiperboloida dwupowłokowa
jest opisana równaniem:
1
2
2
2
2
2
2
=
−
−
c
z
b
y
a
x
z
x
y
6
Paraboloida eliptyczna
Paraboloida
eliptyczna
opisana jest równaniem
z
b
y
a
x
=
+
2
2
2
2
z
x
y
7
Paraboloida hiperboliczna
Paraboloida
hiperboliczna
opisana jest równaniem
z
b
y
a
x
=
−
2
2
2
2
z
x
y
Przecięcie płaszczyzną
zawierającą oś OZ jest parabolą
Przecięcie płaszczyzną
z=const
jest hiperbolą
8
Stożek eliptyczny
Stożek
eliptyczny
opisany jest równaniem:
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
=
+
z
x
y
Przecięcie płaszczyzną
z=const
jest elipsą
Przecięcie płaszczyzną XOZ lub
YOZ jest parą prostych
9
Walec eliptyczny
Walec
eliptyczny
opisany jest równaniem:
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
z
x
y
Przecięcie płaszczyzną
z=const
jest elipsą
Przecięcie płaszczyzną XOZ lub
YOZ jest prostokąt
10
Zadania z powierzchni drugiego stopnia
Zadanie 1. Znaleźć równanie powierzchni powstałej z obrotu
elipsy
dookoła osi OY
:
1
9
25
2
2
=
+
y
x
y
x
z
P ( ?, k, 0)
k
S( 0,k,0)
Q ( x,k,z)
2. Punkt P obracając się
dookoła osi OY zatacza okrąg o
ś
rodku w punkcie S(0,k,0)
1.Punkt P leży na elipsie
zatem
czyli
−
=
⇒
=
+
9
1
25
1
9
25
2
2
2
k
x
k
x
−
0
,
,
9
k
1
25
P
2
k
3. Ponieważ punkty P i Q leżą
na okręgu, zatem |SP|=|SQ|.
11
4. Jeżeli |SP|=|SQ| to |SP|
2
=|SQ|
2
0
0
9
1
25
SP
2
2
+
+
−
=
k
2
2
2
Q
S
z
x +
=
5. Porównujemy kwadraty odległo
ś
ci uzyskuj
ą
c:
25
:
9
1
25
2
2
2
z
x
k
+
=
−
1
25
9
25
1
9
25
25
2
2
2
2
2
2
=
+
+
⇔
=
+
+
z
y
x
k
z
x
Odp. Otrzymaliśmy równanie elipsoidy.
12
Zadanie 2. Znaleźć równanie powierzchni powstałej z obrotu
hiperboli
dookoła osi OX
:
1
9
25
2
2
=
−
z
x
2.
Ś
rodek okr
ę
gu jest w punkcie S(k,0,0)
1.Punkt P le
ż
y na hiperboli, zatem
czyli
−
=
⇒
=
−
1
25
9
1
9
25
2
2
2
k
z
z
k
−
1
25
9
,
0
,
P
2
k
k
3
3
P ( k,0,?)
S( k,0,0)
Q ( k,y,z)
x
z
y
3. Punkt Q ma współrz
ę
dne Q(k,y,z)
⇔
+
=
−
9
:
1
25
9
2
2
2
z
y
k
−
+
+
=
1
25
9
0
0
SP
2
2
k
2
2
2
Q
S
z
y +
=
1
9
9
25
2
2
2
=
−
−
z
y
x
Odp. Otrzymaliśmy hiperboloidę dwupowłokową.
5
5