Analiza wariancji.

Opracowana przez R.A. Fishera w 20 

latach XX w.

Analiza wariancji



Analiza wariancji jest metodą 

statystyki matematycznej bazującej 

na porównaniu wariancji, która w 

najprostszym przypadku jest 

rozszerzeniem testu do weryfikacji 

hipotezy o równości wartości 

przeciętnych w dwóch populacjach na 

większą ich ilość.

Analiza wariancji



Analiza wariancji jest techniką 

badania obserwacji (wyników), które 

zależą od jednego lub więcej 

czynników działających równocześnie.



Za pomocą tej techniki określa się, 

czy wyodrębnione czynniki wywierają 

wpływ na obserwowane wyniki.



Zmienną, która takiej obserwacji 

podlega nazywamy zmienną 

objaśnianą.

Analiza wariancji



W przypadku, gdy np. obserwujemy 

ilość wydzielanej substancji podczas 

doświadczenia chemicznego przy 

różnych temperaturach, wtedy mamy 

do czynienia z klasyfikacją 

jednoczynnikową.



Można stosować klasyfikację wg 

dwóch albo kilku kryteriów i wtedy 

mamy do czynienia z klasyfikacją 

wielokrotną.

Klasyfikacja 

jednoczynnikowa



Weryfikacja hipotezy o równości k>2 

wartości przeciętnych w przypadku 

klasyfikacji jednoczynnikowej :



Niech badana cecha X ma w każdej 

populacji taki sam rozkład N(m,s).



Z każdej populacji wybieramy próbę o 

liczebności n

i

(i=1,2 …, k) 

odpowiednio.



Niech x

ij

będzie j-tym wynikiem w i-

tej próbce 

Klasyfikacja 

jednoczynnikowa



Średnia i-tej próbki



Średnia ogólna







i

n

j

ij

i

i

x

n

x

1

1

















k

i

i

i

n

j

ij

k

i

n

x

n

x

n

x

i

1

1

1

1

1

Klasyfikacja 

jednoczynnikowa



Sumę kwadratów odchyleń 

poszczególnych obserwacji x

ij

od 

średniej ogólnej można przedstawić w 

postaci sumy dwóch składników



Pierwszy jest sumą kwadratów 

wewnątrz grup lub sumą resztkową,



Drugi jest sumą kwadratów między 

grupami.





























k

i

i

i

k

i

i

n

j

ij

n

j

ij

k

i

n

x

x

x

x

x

x

i

i

1

2

1

2

1

1

2

1

)

(

)

(

)

(

Klasyfikacja 

jednoczynnikowa



Dla potrzeb weryfikacji hipotez 

wprowadzamy oznaczenia 



Q  – suma kwadratów całkowita,



Q

R

– resztkowa



Q

G

– międzygrupowa.



Statystyka F= Q

G

/(k-1): Q

R

/(n-k) ma 

rozkład F Snedecora o (k-1,n-k) 

stopniach swobody.

Klasyfikacja 

jednoczynnikowa



Zbiorem krytycznym testu F jest 

przedział <F(1-

a

;k-1;n-k) , +oo).



Ponieważ warunkiem koniecznym 

weryfikowania  hipotezy F jest 

równość wariancji, musimy najpierw 

zweryfikować hipotezę 



H0: 
o równości wariancji przy pomocy 

testu Bartletta

2

2

2

2

1

....

k













Test Bartletta



Korzystamy ze statystyki Bartletta



gdzie























k

i

i

n

j

i

ij

i

obl

n

x

x

n

s

k

n

c

i

1

1

2

2

2

]

1

)

(

log

)

1

(

log

)

[(

303

,

2















k

i

i

n

j

ij

x

x

k

n

s

i

1

2

1

2

)

(

1



)

1

(

3

)

1

1

1

(

1

1

















k

k

n

n

c

k

i

i

Test Bartletta



Zbiorem krytycznym testu Bartletta 

jest przedział 

<Chi

2

(1-

a

,k-1), +oo),

gdzie Chi

2

(1-

a

,k-1) jest kwantylem 

rzędu (1-

a

) odczytanym z tablic 

rozkładu Chi

2

o (k-1) stopniach 

swobody.

Klasyfikacja podwójna



Weryfikacje hipotez dotyczące 

wartości przeciętnych w przypadku 

klasyfikacji podwójnej można 

zastosować do następującego typu 

zadań:



Badania skuteczności procesu 

biologicznego oczyszczania ścieków 

przy wykorzystaniu:



r odmian bakterii (czynnik A)



p rodzajów napowietrzania (czynnik        

B).

Klasyfikacja podwójna



W tego rodzaju badaniach wszystkie 

obserwacje będą podzielone na  r*p 

grup.



Dla uproszczenia zapisów możemy 

założyć, że w każdej grupie 

przeprowadza się jednakową liczbę l

pomiarów.



Badaną cechą jest skuteczność 

oczyszczania.

Klasyfikacja podwójna



Przy pomocy tego modelu możemy 

weryfikować następujące hipotezy:



dotyczącą równości wartości 

przeciętnej badanej cechy we 

wszystkich r*p populacjach,



H

01

: 

m

ij

=

m

dla i=1,..,r; j=1,…,p.

Klasyfikacja podwójna



dotyczącą równość wszystkich 

wartości przeciętnych badanej cechy 

poddanej działaniu czynnika A w r 

wariantach bez względu na wpływ 

czynnika B.



H

02

: 

m

1.

= 

m

2.

=…= 

m

r.

Klasyfikacja podwójna



dotyczącą równość wszystkich 

wartości przeciętnych badanej cechy 

poddanej działaniu czynnika B w p 

wariantach bez względu na wpływ 

czynnika A.



H

03

: 

m

.1

= 

m

.2

=…= 

m

.p

Klasyfikacja podwójna



Mówiąca, że odchylenie wartości 

przeciętnej we wszystkich rp

populacjach od ogólnej wartości 

przeciętnej jest równe sumie efektów 

czynnika A i B.



H

04

: 

m

ij 

-

m

=(

m

i. 

-

m

)+(

m

.j 

-

m

)



Gdy H

04

nie jest spełniona, czyli gdy 

nie zachodzi addytywność 

oddziaływania A i B, to mówimy, że 

zachodzi współdziałanie tych 

czynników