FUNDAMENTOWANIE II, KB+TK (W.Brząkała): Przykład do wykładu 2
Pal umieszczony w ośrodku sprężys-
tym jest modelowany za pomocą belki
na podłożu Winklera. Zakładamy, że
parametr C = const
1
. Jeżeli pal jest
„bardzo długi” (L > 3
÷
4
⋅
L
W
), to można
przyjąć, że belka jest jednostronnie
nieskończona, tj. 0
≤
ξ
≤
+
∞
.
Należy rozwiązać tę belkę.
Rozwiązanie
Aby rozwiązać belkę wystarczy znaleźć linię ugięcia y(
ξ
) we współrzędnych bezwymiarowych
ξ
= x/L
W
≥
0, ponieważ wynikają stąd wszystkie poszukiwane wielkości statyczne:
r(x) = B
⋅
C
⋅
y(x)
M(x) = -EI
⋅
d
2
y(x)/dx
2
= -EI
⋅
d
2
y(
ξ
)/d
ξ
2
/ (L
W
)
2
Q(x) = -EI
⋅
d
3
y(x)/dx
3
= -EI
⋅
d
3
y(
ξ
)/d
ξ
3
/ (L
W
)
3
.
Należy przyjąć następujące warunki brzegowe dla
ξ
= 0 : M(0+0) = 0, Q(0+0) = -H.
Dla
ξ
→
∞
wszystkie wielkości statyczne muszą być zerowe.
I sposób – na podstawie rozwiązania ogólnego dla nieobciążonej części belki:
Rozwiązanie musi być postaci y(
ξ
) = C
1
⋅
e
-
ξ
⋅
cos
ξ
+ C
2
⋅
e
-
ξ
⋅
sin
ξ
+ C
3
⋅
e
+
ξ
⋅
cos
ξ
+ C
4
⋅
e
+
ξ
⋅
sin
ξ
.
Ze względu na warunek dla
ξ
→
∞
dla belki półnieskończonej jest C
3
= 0 oraz C
4
= 0.
Warunek M(0+0) = 0 daje: d
2
y(
ξ
)/d
ξ
2
= C
1
⋅
2
⋅
e
-
ξ
⋅
sin
ξ
- C
2
⋅
2
⋅
e
-
ξ
⋅
cos
ξ
= 0 dla
ξ
= 0, czyli C
2
= 0
Warunek Q(0+0) = -H daje: d
3
y(
ξ
)/d
ξ
3
= C
1
⋅
(-2)
⋅
e
-
ξ
⋅
sin
ξ
+ C
1
⋅
2
⋅
e
-
ξ
⋅
cos
ξ
= H
⋅
(L
W
)
3
/EI dla
ξ
= 0
Stąd C
1
= H
⋅
(L
W
)
3
/(2
⋅
EI) = 2
⋅⋅⋅⋅
H/(B
⋅⋅⋅⋅
C
⋅⋅⋅⋅
L
W
).
W szczególności, poziome przemieszczenie głowicy pala wynosi y(0) = C
1
= 2
⋅
H/(B
⋅
C
⋅
L
W
).
II sposób – tradycyjna metoda Bleicha:
Dla belki półnieskończonej potrzebne są dwie siły fikcyjne:
siła T
1
w odległości
ξ
1
=
π
/4 na lewo od siły H, która nie zmienia M(0), ale koryguje Q(0),
siła T
2
w odległości
ξ
2
=
π
/2 na lewo od siły H, która nie zmienia Q(0), ale koryguje M(0).
Łączne działanie siły rzeczywistej H oraz sił fikcyjnych T
1
, T
2
daje dwa równania dla przekroju
ξ
= 0
belki dwustronnie nieskończonej:
M(0) = -H
⋅
L
W
/4
⋅
e
-0
(sin0-cos0) – T
1
⋅
L
W
/4
⋅
e
-
π
/4
(sin
π
/4-cos
π
/4) – T
2
⋅
L
W
/4
⋅
e
-
π
/2
(sin
π
/2-cos
π
/2) = 0,
więc T
2
= H
⋅⋅⋅⋅
e
+
ππππ
/2
Q(0+0) = -H/2
⋅
e
-0
cos0 – T
1
/2
⋅
e
-
π
/4
cos
π
/4 – T
2
/2
⋅
e
-
π
/2
cos
π
/2 = -H,
więc T
1
= H
⋅⋅⋅⋅√√√√
2
⋅⋅⋅⋅
e
+
ππππ
/4
.
Stąd: y(
ξ
) = H/(2BCL
W
)
⋅
e
-
ξ
⋅
(cos
ξ
+ sin
ξ
) + H
⋅√
2
⋅
e
+
π
/4
/(2BCL
W
)
⋅
e
-(
ξ
+
π
/4)
⋅
[cos(
ξ
+
π
/4)
+ sin(
ξ
+
π
/4)] +
+ H
⋅
e
+
π
/2
/(2BCL
W
)
⋅
e
-(
ξ
+
π
/2)
⋅
[cos(
ξ
+
π
/2)
+ sin(
ξ
+
π
/2)] = ... = 2
⋅⋅⋅⋅
H/(B
⋅⋅⋅⋅
C
⋅⋅⋅⋅
L
W
)
⋅⋅⋅⋅
e
-
ξξξξ
⋅⋅⋅⋅
cos
ξξξξ
,
jeśli uwzględnić, że cos(
ξ
+
π
/4)
+ sin(
ξ
+
π
/4) =
√
2
⋅
cos
ξ
oraz cos(
ξ
+
π
/2)
+ sin(
ξ
+
π
/2) = -sin
ξ
+ cos
ξ
.
III sposób – odmiana metody Bleicha (dla spostrzegawczych)
Siła H daje w przekroju
ξ
= 0
±
0 belki dwustronnie nieskończonej skok wartości siły poprzecznej
Q(0-0) = H/2, Q(0+0) = -H/2, tj. dokładnie 2 razy za mały. Czyli zamiast siły H należy wziąć w tym
przekroju siłę P = 2H, co da Q(0+0) = -H. Teraz wystarczy skorygować M(0) do zera – nie narusza-
jąc już spełnionego warunku na siłę Q. Można to osiągnąć za pomocą jednej siły fikcyjnej T umie-
szczonej w odległości
ξ
=
π
/2 na lewo od siły P. Z warunku na M(0) otrzymuje się T = 2
⋅⋅⋅⋅
H
⋅⋅⋅⋅
e
+
ππππ
/2
.
Stąd: y(
ξ
) = 2H/(2BCL
W
)
⋅
e
-
ξ
⋅
(cos
ξ
+ sin
ξ
) + 2H
⋅
e
+
π
/2
/(2BCL
W
)
⋅
e
-(
ξ
+
π
/2)
⋅
(cos(
ξ
+
π
/2)
+ sin(
ξ
+
π
/2)) =
= 2
⋅⋅⋅⋅
H/(B
⋅⋅⋅⋅
C
⋅⋅⋅⋅
L
W
)
⋅⋅⋅⋅
e
-
ξξξξ
⋅⋅⋅⋅
cos
ξξξξ
, ponieważ sin(
ξ
+
π
/2) = cos
ξ
, cos(
ξ
+
π
/2)
= -sin
ξ
.
1
Dla gruntów niespoistych zazwyczaj lepszym założeniem jest przyjęcie liniowego wzrostu C z głębokością.
Ten wzrost sztywności z głębokością wynika ze wzrostu naprężeń od ciężaru własnego ośrodka
L
C
y(
ξ
)
H
ξ
→
∞
0