Wektory zale
Ŝ
ne od parametru skalarnego.
Pochodne wektora wzgl
ę
dem
parametru skalarnego.
Kinematyka
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Wektory zale
Ŝ
ne od parametru skalarnego.
Pochodne wektora wzgl
ę
dem
parametru skalarnego.
Kinematyka
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Wektor zale
Ŝ
ny od parametru skalarnego
Wybierzemy układ współrz
ę
dnych, którego osie zadaj
ą
wersory . Rozpatrzymy zale
Ŝ
ny od skalarnego
parametru t wektor
ˆ ˆ ˆ
, ,
x y z
( )
t
a
( )
( )
( )
( )
x
y
z
ˆ
ˆ
ˆ
t
a
t
a
t
a
t
.
=
+
+
a
x
y
z
Zało
Ŝ
enie:
dla ka
Ŝ
dej warto
ś
ci parametru
t
istnieje granica
( )
(
)
t
0
t
lim
t
t .
∆ →
=
+ ∆
a
a
Długo
ść
wektorów mierzymy od pocz
ą
tku układu współrz
ę
dnych.
Zmiana wektora zwi
ą
zana
ze zamian
ą
parametru skalarnego
( )
t
a
(
)
t
t
+ ∆
a
( )
t
∆
a
t
.
….
….
………….
( ) (
) ( )
t
t
t
t .
∆
=
+ ∆ −
a
a
a
Pochodna wektora zale
Ŝ
nego od
parametru skalarnego
( )
t
a
(
)
t
t
+ ∆
a
( )
t
∆
a
( )
d
t
dt
a
( )
t
t
∆
∆
a
( )
(
) ( )
t
0
t
t
t
t
lim
.
dt
t
∆ →
+ ∆ −
=
∆
a
a
a
Inne oznaczenie pochodnej wzgl
ę
dem
czasu t
( ) ( )
d
t
t .
dt
=
a
a
ɺ
Wektor pr
ę
dko
ś
ci chwilowej
W przypadku wektora wodz
ą
cego poruszaj
ą
cej
si
ę
cz
ą
stki jest wektorem
przemieszczenia cz
ą
stki w ci
ą
gu interwału czasu
∆
t,
jest wektorem
ś
redniej pr
ę
dko
ś
ci ruchu
cz
ą
stki, jest chwilow
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
cz
ą
stki w
momencie czasu t.
( )
t
r
(
) ( )
t
t
t
∆ =
+ ∆ −
r
r
r
/ t
∆ ∆
r
( )
d
t / dt
r
Druga pochodna wektora wodz
ą
cego wzgl
ę
dem
czasu jest wektorem przy
ś
pieszenia cz
ą
stki
( )
t
a
( )
( )
(
)
( )
2
2
d
t
d d / dt
d
t
t
dt
dt
dt
= =
=
=
r
r
v
a
r
ɺɺ
Własno
ś
ci pochodnych wzgl
ę
dem
parametru skalarnego
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
0
t
0
t
0
d
t
t
t
t
lim
dt
t
t
t
d
t
d
t
lim
lim
;
t
t
dt
dt
d m t
t
dm t
d
t
t
m t
,
dt
dt
dt
d
t
d
t
d
t
t
t
t
,
dt
dt
dt
d
t
d
t
d
t
t
t
t
.
dt
dt
dt
∆ →
∆ →
∆ →
+
∆
+ ∆
=
=
∆
∆
∆
=
+
=
+
∆
∆
=
+
⋅
=
⋅
+
⋅
×
=
×
+
×
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
b
a
Uzasadnienie 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
t
d
t
d
t
t
t
t
dt
dt
dt
⋅
=
⋅
+
⋅
a
b
a
b
b
a
x
x
y
y
z
z
a b
a b
a b .
=
+
+
ab
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
3
1
1
3
1
da
t b
t
d
d
t
t
a
t b
t
dt
dt
dt
da
t
db
t
d
t
d
t
b
t
a
t
t
t
.
dt
dt
dt
dt
α
α
α
α
α=
α=
α
α
α
α
α=
⋅
=
=
=
=
+
=
+
∑
∑
∑
a
b
a
b
b
a
Wybieramy układ współrz
ę
dnych:
Uzasadnienie 2
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
x
y
z
x
y
z
y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A
A
A
B
B
B
ˆ
ˆ
ˆ
A B
A B
A B
A B
A B
A B
× =
+
+
×
+
+
=
=
−
+
−
+
−
A B
x
y
z
x
y
z
x
y
z
W wybranym układzie współrz
ę
dnych:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{
}
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{
}
( ) ( )
( ) ( )
( )
y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x
y
z
y
z
z
y
z
y
z
x
z
x
x
z
x
z
x
y
x
y
y
x
d
t
t
d A
t B
t
A
t B
t
d A
t B
t
A
t B
t
ˆ
ˆ
dt
dt
dt
d A
t B
t
A
t B
t
ˆ
dt
ˆ
A
t B
t
A
t B
t
A
t B
t
A
t B
t
ˆ
A
t B
t
A
t B
t
A
t B
t
A
t B
t
ˆ
A
t B
t
A
t B
t
A
t B
×
−
−
=
+
+
−
+
=
=
+
−
+
+
+
+
−
+
+
+
+
−
A
B
x
y
z
x
y
z
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
( )
( ) ( )
{
}
y
x
t
A
t B
t
.
+
ɺ
Uzasadnienie 3
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
z
x
y
x
y
x
y
z
y
y
z
z
x
z
x
x
z
x
y
y
x
y
z
z
x
z
z
x
z
x
x
z
x
z
x
x
z
x
y
x
y
z
y
y
x
z
x
y
t
t
t
t
ˆ
ˆ
ˆ
a b
a b
a b
a b
a b
a b
ˆ
ˆ
ˆ
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
ˆ
a
a b
a b
b
a
a
a b
a b
a b
a
ˆ
ˆ .
b
b
b
a b
×
+
×
=
=
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
=
=
−
+
−
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
a
b
a
b
x
y
z
x
y
z
x
y
z
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
Prawo ró
Ŝ
niczkowania wektora
zale
Ŝ
nego od funkcji skalarnej
( )
u t
a
( )
( )
( ) ( )
d
u t
d
u du t
dt
du
dt
=
a
a
Ró
Ŝ
niczkowanie wektora zapisanego
przy pomocy składowych
A
x
A
y
A
z
A
⊥
A
x
y
z
( )
( )
( )
( )
x
y
z
ˆ
ˆ
ˆ
t
A
t
A
t
A
t .
=
+
+
A
x
y
z
W wybranym, nie zmieniaj
ą
cym si
ę
z
upływem czasu układzie
współrz
ę
dnych wersory osi s
ą
ustalone – nie zale
Ŝą
od t
Składowe zale
Ŝą
od parametru t
( )
( )
( )
( )
y
x
z
dA
t
d
t
dA
t
dA
t
ˆ
ˆ
ˆ
.
dt
dt
dt
dt
=
+
+
A
x
y
z
Zazwyczaj parametr t jest czasem. Dalej b
ę
dziemy t uto
Ŝ
samiali z czasem.
1. Z upływem czasu zmienia si
ę
tylko kierunek wektora
( ) ( )
ˆ
t
t a
=
a
a
( )
( )
ˆ
d
t
d
t
a
dt
dt
=
a
a
Zbadamy pochodn
ą
iloczynu skalarnego:
( ) ( )
( ) ( )
2
1
ˆ
ˆ
t
t
a
t
t
⋅
=
⋅
a
a
a
a
( ) ( )
( ) ( )
1
2
ˆ
ˆ
d
t
t
d
t
t
d1
a
a
0
dt
dt
dt
⋅
⋅
=
=
=
a
a
a
a
1a. Z upływem czasu zmienia si
ę
tylko kierunek wektora
( ) ( )
d
t
t
0.
dt
⋅
=
a
a
Z drugiej strony
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
d
t
d
t
d
t
d
t
d
t
ˆ
ˆ
ˆ
t
t
a
t
t
2a
t
0.
dt
dt
dt
dt
dt
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Wektor jest prostopadły do wektora !
( )
ˆ
d
t / dt
a
( )
ˆ t
a
1c. Wektor jest
prostopadły do wektora !
( )
ˆ
d
t / dt
a
( )
ˆ t
a
( )
ˆ t
a
( )
ˆ
d
t / dt
a
( )
t
a
2a. Z upływem czasu zmienia si
ę
tylko długo
ść
wektora
( )
( )
ˆ
t
a t
=
a
a
( )
( )
d
t
da t
ˆ
dt
dt
=
a
a
( )
t
a
ˆa
da
/d
t
3a. Z upływem czasu wektor
zmienia długo
ść
i kierunek
( ) ( ) ( )
ˆ
t
t a t
=
a
a
( )
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ
d
t
d
t
da t
ˆ
a t
t
dt
dt
dt
=
+
a
a
a
3b. Z upływem czasu wektor
zmienia długo
ść
i kierunek
( ) ( )
ˆ t
da t / dt
a
( ) ( )
ˆ
a t
d
t / dt
a
( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
t
dt
ˆ
d
t
da t
ˆ
a t
t
dt
dt
=
+
a
a
a
Ruch jednostajny wzdłu
Ŝ
ustalonej osi
ˆv
=
v
x
v
( )
0
ˆ
x t
vt
x ;
const.
= +
=
x
( )
x
dx t
v
v.
dt
=
≡
x
0
x(t)
0
Ruch jednostajnie przy
ś
pieszony
wzdłu
Ŝ
ustalonej osi
ˆ
a
=
a
x
( )
0
v t
v
at
=
+
( )
2
0
0
x t
x
v t
at / 2
=
+
+
( )
(
)
0
dv t
d v
at
a
dt
dt
+
=
=
( )
(
)
2
0
0
0
d x
v t
at / 2
dx t
v
at
dt
dt
+
+
=
=
+
Ruch jednostajnie przyspieszony
wzdłu
Ŝ
ustalonej osi
x
0
=10 m, v
0
=5 m/s, 5 m/s
2
x(t)
v(t)
t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10 m
5 m/s
1. Jednostajny ruch po okr
ę
gu
( )
t
r
(
)
t
t
+ ∆
r
( )
t
∆
r
( )
ˆ t
r
(
)
ˆ t
t
+ ∆
r
r(t)
r(t+
∆
t)
Kierunek i zwrot osi obrotu
- reguła prawej r
ę
ki
2. Jednostajny ruch po okr
ę
gu
trójk
ą
t równoramienny, o
bokach o długo
ś
ci 1.
( )
(
)
ˆ
ˆ
t
t
t
1
=
+ ∆ =
r
r
( )
ˆ t
r
(
)
ˆ t
t
+ ∆
r
ˆ
∆
r
Jednostajny obrót:
ϕ
=
ω
t
Długo
ść
podstawy:
(
)
ˆ
2sin
/ 2
∆ =
∆ϕ
r
3. Jednostajny ruch po okr
ę
gu
( )
( )
ˆ
d
t
d
t
r
dt
dt
=
r
r
( )
( )
( )
( )
t
0
t
0
t
0
t
0
2 sin
t / 2
2
t / 2
ˆ
d
t
t
lim
lim
lim
dt
t
t
t
t
lim
t
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ϕ
∆ϕ
∆ϕ
=
=
=
=
∆
∆
∆
ω∆
=
= ω
∆
r
(
)
sin
/ 2
/ 2 dla
∆ϕ
≈ ∆ϕ
∆ϕ << π
ω
jest pr
ę
dko
ś
ci
ą
k
ą
tow
ą
obrotu!
( )
( )
ˆ
ˆ
d
t / dt
t .
= ω
r
r
Wektor pr
ę
dko
ś
ci jest styczny
do okr
ę
gu
( )
ˆ t
r
(
)
ˆ t
t
+ ∆
r
∆ϕ
Gdy
∆ϕ
d
ąŜ
y do 0, to sieczna d
ąŜ
y do
stycznej do okr
ę
gu
( )
ˆ t
r
(
)
ˆ t
t '
+ ∆
r
∆ϕ
’
( )
ˆ t
r
(
)
ˆ t
t ''
+ ∆
r
∆ϕ
’’<<
∆ϕ
’
Jednostajny ruch po okr
ę
gu –
wektor pr
ę
dko
ś
ci i przy
ś
pieszenia
Halliday, Resnick, Walker,
Podstawy fizyki, t. 1
Kinematyka jednostajnego
ruchu obrotowego
t .
∆φ = ∆ ω
….
K
ą
t rozwarcia sto
Ŝ
ka:
θ
;
(
)
r sin
∆ =
θ ∆φ
r
rsin
θ
…..
0
(
)
t
t
+ ∆
r
∆
r
( )
t
r
Wprowadzimy wektor ,
skierowany wzdłu
Ŝ
osi sto
Ŝ
ka do
góry gdy obrót jest przeciwny do
kierunku ruchu wskazówek
zegara.
ˆ
ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
(
)
t
∆ =
× ∆
r
r
ω
ω
ω
ω
Moduł wektora
:
∆
r
Zwrot wektora
:
∆
r
Nakładamy wektor na wektor . Dla małego k
ą
ta
φ
wektor jest prawie styczny do okr
ę
gu i skierowany jest
jak dla obrotu zgodnego z ruchem wskazówek zegara .
ω
ω
ω
ω
r
∆
r
Twierdzenie:
Dowód:
∆
r
ˆ
ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
.
r
0
t
ˆ
t
t sin
r sin
r sin
ω∆
∆ = × ∆ =
∆
θ =
∆φ
θ = ∆φ
θ
r
r
r
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Zwi
ą
zek obrotów
z iloczynem wektorowym
Kierunek osi obrotu zadaje wektor . Wielko
ść
k
ą
ta
obrotu
∆φ
=
ω∆
t. Obserwator O widzi okr
ą
g pod k
ą
tem
θ
.
ˆ
ω
ω
ω
ω
Wektor pr
ę
dko
ś
ci liniowej:
(
) (
) (
)
t
0
t
0
t
0
t
0
t
ˆ
ˆ
lim
lim
lim
lim
t
t
t
t
ˆ
ˆ
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆
∆ ×
∆φ
ω∆
=
=
=
×
× =
∆
∆
∆
∆
= ω × = ω × =
×
r
r
v
r
r
r
r
r
ω
ω
ω
ω
ω
=
ω
ω
=
ω
ω
=
ω
ω
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Wprowadzimy wektor pr
ę
dko
ś
ci k
ą
towej
ω
ω
ω
ω
= ×
v
r
ω
ω
ω
ω
Obrót bryły sztywnej
Bryła sztywna nie ulega
deformacji podczas
obrotów.
Ka
Ŝ
dy punkt bryły porusza
si
ę
po okr
ę
gu ze
ś
rodkiem
w punkcie przeci
ę
cia osi
obrotu z płaszczyzn
ą
,
w której le
Ŝ
y okr
ą
g.
Wybrany punkt P porusza
si
ę
po okr
ę
gu.
P
0
Pr
ę
dko
ść
liniowa
w jednostajnym ruchu obrotowym
ˆr
ω
ω
ω
ω
v
ˆ
ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
= ×
v
r
ω
ω
ω
ω
Przy
ś
pieszenie
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
Dla wybranego momentu
czasu współrz
ę
dnymi
cz
ą
stki s
ą
x
p
, y
p
.
v
Wektor pr
ę
dko
ś
ci jest
stale do promienia
okr
ę
gu.
Składowe :
v
( )
( )
( )
x
y
ˆ
ˆ
t
v
t
v
t
=
+
v
x
y
( )
( )
( )
ˆ
ˆ
t
v sin
t
v cos
t
= −
ω
+
ω
v
x
y
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, t. 1
θ
=
ω
t+
φ
Pr
ę
dko
ść
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
p
p
y
x
sin
, cos
.
r
r
θ =
=
θ
y
p
x
p
r
θθθθ
θ
y
p
x
p
r
v
( )
( )
( )
p
p
sin
cos
y
t
x
t
ˆ
ˆ
t
v
v
r
r
θ
θ
= −
+
v
x
y
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, t. 1
1a. Przy
ś
pieszenie
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
( )
( )
( )
p
p
y
t
x
t
ˆ
ˆ
t
v
v
r
r
= −
+
v
x
y
( )
( )
( )
p
p
dy
t
dx
t
t
v
v
ˆ
ˆ
dt
r
dt
r
dt
=
= −
+
v
a
x
y
1b. Przy
ś
pieszenie
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
x
y
v
v sin , v
v cos
= −
θ
=
θ
( )
( )
( )
( )
( )
y
x
p
p
v
t
v
t
dy
t
dx
t
t
v
v
ˆ
ˆ
dt
r
dt
r
dt
=
= −
+
v
a
x
y
( )
t
v
v
ˆ
ˆ
v cos
v sin
dt
r
r
=
= −
θ + −
θ
v
a
x
y
( )
2
2
t
v
v
ˆ
ˆ
cos
sin
dt
r
r
=
= −
θ + −
θ
v
a
x
y
( )
2
2
t
v
v
ˆ
ˆ
cos
sin
dt
r
r
=
= −
θ + −
θ
v
a
x
y
( )
( )
( )
( )
( ) (
)
2
2
x
x
2
2
2
2
2
a t
t
a
t
a
t
v / r
cos
sin
v / r.
=
=
+
=
=
θ +
θ =
a
Długo
ść
wektora przy
ś
pieszenia
Kierunek wektora przy
ś
pieszenia:
( )
( )
2
y
2
x
v / r sin
a
tg
tg
a
v / r cos
−
θ
φ =
=
= θ
−
θ
1c. Przy
ś
pieszenie
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
θ
=
φ
1c. Przy
ś
pieszenie
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
( )
2
a t
v / r
const.
=
=
Wielko
ść
przy
ś
pieszenia jest stała
wektor przy
ś
pieszenia jest zawsze skierowany wzdłu
Ŝ
promienia
w stron
ę
ś
rodka okr
ę
gu
θ
=
φ
Poniewa
Ŝ