Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

1 

 

 

Skończona przestrzeń zdarzeń elementarnych: 

      

 

   

 

       

 

  

 

 

  –  zdarzenie  elementarne  –  wynik 

doświadczenia losowego 
      – zdarzenie losowe 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

2 

 

 

Dla 

skończonej 

przestrzeni 

zdarzeń 

elementarnych  funkcją  prawdopodobieństwa 
(prawdopodobieństwem)  nazwiemy  dowolną 
funkcję     

 

        spełniającą warunki: 



 

          



 

                                    

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

3 

 

 

Własności prawdopodobieństwa: 



 

          (  – zdarzenie niemożliwe) 



 

                  (   – zdarzenie przeciwne 
do zdarzenia  ) 



 

                     

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

4 

 

 



 

                          



 

                                   



 

                          



 

   

 

 

   

 

  –  parami  rozłączne       

 

   

 

 

     

 

     

   

 

 

 

   

 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

5 

 

 

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa: 

Założenie:  wszystkie  zdarzenia  elementarne 
jednakowo prawdopodobne. 

Wtedy: 

      

   

   

 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

6 

 

Zliczanie  zdarzeń  elementarnych  jednakowo 
prawdopodobnych: 

 

Czy są 

powtórzenia? 

Nie 

Czy liczy się 

kolejność? 

Nie 

Kombinacje 

bez powtórzeń 

Tak 

Wariacje bez 

powtórzeń 

Tak 

Wariacje z 

powtórzeniami 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

7 

 

 

Jeśli  są  powtórzenia  to  chcąc  skorzystać 
z definicji 

klasycznej 

prawdopodobieństwa 

musimy 

zdarzenia 

elementarne 

zliczać 

z wariacji z powtórzeniami. 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

8 

 

 

Przykład: 

Wyciągamy cztery karty z talii 52 kart. Jakie jest 
prawdopodobieństwo,  że  wyciągniemy  co 
najmniej jednego asa, jeśli: 

a) wyciągamy wszystkie karty jednocześnie? 
b) wyciągamy po jednej karcie ze zwracaniem? 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

9 

 

 

Przykład: 

Rzucamy dwoma sześciennymi kostkami do gry. 
Jakie  jest  prawdopodobieństwo,  że  wyrzucimy 
1 oczko lub 6 oczek? 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

10 

 

 

Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu, 
kiedy po raz pierwszy wypadnie orzeł. Jakie jest 
prawdopodobieństwo,  że  rzucimy  co  najmniej 
cztery razy? 

 

Co w przypadku gdy   jest nieskończona? 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

11 

 

Definicja  -ciała: 

Niech     będzie  niepustym  zbiorem.  Powiemy, 
że  rodzina     podzbiorów     stanowi   -ciało 
jeśli: 



 

       



 

                



 

 

 

 

 

       

 

 

   

   

   

 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

12 

 

 

Niech 

  

będzie 

 -ciałem 

na 

 . 

Prawdopodobieństwem  nazywamy  funkcję 
         spełniającą następujące warunki:  



 

 

 

        

   

 



 

          



 

 jeśli    

 

 

   

  jest  dowolnym  ciągiem 

podzbiorów     parami  rozłącznych,  to 
   

 

 

     

   

 

 

 

   

   

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

13 

 

 

Najczęściej  będziemy  przyjmować       

 

 

(zbiór wszystkich podzbiorów  ). 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

14 

 

 

Rzucamy dwoma sześciennymi kostkami do gry. 
Jakie 

jest 

prawdopodobieństwo, 

że 

wyrzuciliśmy  na  drugiej  kostce  co  najmniej  5 
oczek,  jeśli  wiemy,  że  iloczyn  wyrzuconych 
oczek jest nie większy jak 6? 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

15 

 

 

Prawdopodobieństwo warunkowe: 



 

 „… jeśli …” 



 

 „… jeśli wiadomo, że …” 



 

 „… pod warunkiem, że …” 

 

        

      

    

, gdzie:          

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

16 

 

 

Przy  tej  samej  przestrzeni  zdarzeń     dla 
zdarzeń   i  : 

        

       

   

 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

17 

 

 

Niezależność dwóch zdarzeń losowych: 

Zdarzenia   i   nazywamy niezależnymi jeśli: 

              

Powyższy 

warunek 

można 

zapisać 

równoważnie: 

                       

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

18 

 

 

Czy zdarzenia niezależne są rozłączne? 

Czy zdarzenia rozłączne są niezależne? 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

19 

 

 

Kiedy zdarzenia rozłączne są niezależne? 

Dwa  zdarzenia  rozłączne  są  niezależne,  gdy  co 
najmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo 
zerowe. 

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

20 

 

 

Jeśli zdarzenia   i   są niezależne to niezależne 
są również zdarzenia: 



 

   i    



 

    i    



 

    i   

 

 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

21 

 

 

Niezależność   zdarzeń losowych: 

Zdarzenia   

 

   

 

       

 

          nazywamy 

niezależnymi jeśli: 

      

 

   

         

 

 

   

 

gdzie: 

   jest  dowolnym,  co  najmniej 

dwuelementowym podzbiorem              . 

Matematyka Dyskretna – wykład 5 

dr Marcin Raniszewski 

22 

 

 

Niezależność trzech zdarzeń losowych: 

Zdarzenia   

 

   

 

   

 

  nazywamy  niezależnymi 

jeśli: 



 

    

 

   

 

       

 

       

 

  



 

    

 

   

 

       

 

       

 

  



 

    

 

   

 

       

 

       

 

  

