1
Przegląd podstawowych polis ubezpieczeń na Ŝycie (cz1)
Ubezpieczeniem na Ŝycie nazywamy umowę między ubezpieczonym a ubezpieczycie-
lem, w której ubezpieczony zobowiązuje się do zapłacenia składki ubezpieczeniowej (jed-
norazowo lub ratalnie), a ubezpieczyciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy ubezpie-
czenia (jednorazowo lub ratalnie) w razie śmierci osoby ubezpieczonej na rzecz określo-
nych w ubezpieczeniu osób.
Ubezpieczenia na Ŝycie dzielimy na:
a)
ubezpieczenia Ŝyciowe – jednorazowa płatność sumy ubezpieczenia w przypadku
ś
mierci ubezpieczonego
b) renty Ŝyciowe – ciągi płatności dokonywane przez ubezpieczyciela na rzecz osoby
ubezpieczonej w określonych terminach w sytuacji, gdy osoba ubezpieczona Ŝyje.
W obliczeniach aktuarialnych korzystamy zarówno z załoŜeń demograficznych jak i zało-
Ŝ
eń finansowych. Przez i oznaczać będziemy Techniczną Stopę Procentową. Jest ona wy-
nikiem pewnych uśrednień zrealizowanych w przeszłości stóp oprocentowania i przewi-
dywań ich kształtowania się w przyszłości. Stopę i ustala się na bezpiecznie niskim po-
ziomie.
PoniewaŜ umowa ubezpieczeniowa zawsze kończy się wypłatą świadczeń, wraz z
upływem okresu ubezpieczenia ubezpieczyciel gromadzi środki stanowiące pokrycie zo-
bowiązań z tytułu przyszłej wypłaty. Środki te nazywamy rezerwą matematyczną. Pod-
stawą tworzenia tej rezerwy jest opłacana przez ubezpieczonego składka, którą pobiera
firma ubezpieczeniowa. Ustalenie wielkości składki według ryzyka aktualnego w okresie
opłacania składki spowodowałoby konieczność opłacania bardzo wysokich składek przez
osoby w starszym wieku. Dlatego teŜ w klasycznym ubezpieczeniu na Ŝycie stosuje się
zasadę jednolitej składki przez cały okres ubezpieczenia. W ten sposób ubezpieczeni w
początkowym okresie płacą za duŜą składkę, w końcowym natomiast za małą. Ten niedo-
bór w okresie późniejszym wyrównywany jest z utworzonej, z nadpłaconej składki, rezer-
wy matematycznej. Przy ustalaniu wielkości składki jednolitej przez cały okres ubezpie-
czenia brane są pod uwagę następujące czynniki:
a)
ryzyko śmierci w poszczególnych latach trwania ubezpieczenia,
b)
stopa oprocentowania, którą prawdopodobnie moŜna uzyskać z lokat w okresie
ubezpieczenia (tzw. stopa techniczna)
Składka, którą pobiera firma ubezpieczeniowa, tzw. składka brutto, jest kalkulowana na
podstawie składki netto z uwzględnieniem kosztów dodatkowych (prowizje, koszty admi-
nistracyjne itp.)
Niech Z oznacza wartość obecną świadczenia z danej polisy. Cechą charakterystyczną
ubezpieczeń na Ŝycie jest to, Ŝe chociaŜ stopa oprocentowania i jest ustalona, to Z jest
zmienną losową. Bowiem wypłata świadczenia jest związana na ogół ze śmiercią ubezpie-
czonego, a więc z jego przyszłym czasem Ŝycia T(x). Najprostszą i najbardziej adekwatną
miarą wartości polisy jest wartość oczekiwana wartości obecnej świadczenia, tzn. E(Z).
Nazywa się ona jednorazową składką netto (net single premium) lub po prostu wartością
aktuarialną świadczenia.
2
Kalkulacji jednorazowej składki netto dokonuje się w oparciu o podział ubezpieczeń
Ŝ
yciowych na dwie kategorie:
– ubezpieczenia płatne w momencie śmierci,
– ubezpieczenia płatne na koniec roku, w którym nastąpiła śmierć ubezpieczonego.
W ramach tych kategorii rozpatrujemy
– terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci,
– doŜywotne (bezterminowe) ubezpieczenie na wypadek śmierci,
– ubezpieczenie na doŜycie,
– ubezpieczenie mieszane – na Ŝycie i doŜycie,
– ubezpieczenie ze zmieniającą się sumą świadczenia.
Notacja stosowana w ubezpieczeniach na Ŝycie jest dość skomplikowana. Ostatnia jej
modyfikacja była dokonana w 1954r. na kongresie aktuariuszy w Madrycie. KaŜdy sym-
bol obowiązującej międzynarodowej notacji aktuarialnej IAN składa się z kilku liter du-
Ŝ
ych lub małych i specjalnych znaków umieszczanych nad literami lub obok nich. W
symbolu takim jest zawsze wyróŜniona litera podstawowa, wokół której umieszcza się
określoną liczbę innych symboli lub liter. Niektóre spośród waŜniejszych symboli to:
x
l
−
liczba osób doŜywających wieku x,
x
d
−
liczba zmarłych w ciągu x – tego roku Ŝycia,
x
p
−
prawdopodobieństwo przeŜycia roku przez osobę w wieku x,
x
q
−
prawdopodobieństwo zgonu w ciągu roku osoby w wieku x,
µ
−
intensywność umieralności,
A
−
zaktualizowana na moment zawarcia umowy wartość aktuarialna świadczenia
jednostkowego,
Najczęściej jednorazowa składka netto wyznaczana jest według jednej z następujących
zasad:
- zasada wartości oczekiwanej
( )
P
E Z
====
,
- zasada wariancji
( )
( )
P
E Z
Var Z
=
+ α
=
+ α
=
+ α
=
+ α
,
- zasada odchylenia standardowego
( )
( )
P
E Z
Var Z
=
+ α
=
+ α
=
+ α
=
+ α
.
We wzorach tych Z oznacza zaktualizowaną wielkość świadczeń, Var(Z) – wariancję zak-
tualizowanej wielkości świadczeń,
α
- pewną stałą dodatnią.
Zakładać będziemy (o ile nie będzie powiedziane inaczej), Ŝe suma ubezpieczenia wynosi
1 zaś v czynnikiem dyskontującym oraz Z oznacza zmienną losową będącą wartością
obecną (na moment ubezpieczenia) świadczenia z danej polisy.
1. Ubezpieczenie bezterminowe na Ŝycie (na wypadek śmierci) (whole live insurance)
3
a)
Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci.
Ubezpieczony kupuje polisę w wieku x. Umiera w wieku x + T(x). Wypłata sumy ubezpie-
czenia następuje po upływie T(x) od chwili wykupienia polisy. Zatem
T
Z
v
====
.
Jednorazową składkę netto oznaczamy symbolem
x
A
. Wówczas mamy
( )
0
( )
(
)
T x
t
x
t
x
x t
A
E Z
E v
v
p
dt
∞
∞
∞
∞
++++
=
=
=
µ
=
=
=
µ
=
=
=
µ
=
=
=
µ
∫∫∫∫
,
zaś drugi moment
2
( ) 2
2
2
0
0
(
)
((
) )
(
)
T x
t
t
t
x
x t
t
x
x t
E Z
E v
v
p
dt
v
p
dt
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
µ
=
µ
=
=
µ
=
µ
=
=
µ
=
µ
=
=
µ
=
µ
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
.
ZauwaŜmy, Ŝe
2
(
)
E Z
równa się wartości oczekiwanej zmiennej losowej Z, ale obliczonej
przy kwadracie danego czynnika dyskonta, lub podwojonemu natęŜeniu oprocentowania
2
δδδδ
, gdyŜ
e
v
−δ
−δ
−δ
−δ
====
.
Przyjmijmy oznaczenie
2
2
:
(
)
x
A
E Z
====
.
Wówczas
2
2
2
2
( )
(
)
( ( ))
(
)
x
x
Var Z
E Z
E Z
A
A
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
.
Wariancja jest najwa
Ŝ
niejszym miernikiem zmienno
ś
ci zmiennej losowej. Jej rola jest
szczególnie widoczna przy analizie
ś
wiadcze
ń
z portfela polis.
b)
Ubezpieczenia płatne na koniec roku
ś
mierci
Ubezpieczony kupuje polis
ę
w wieku
x
. Umiera w wieku
x
+
T
(
x
). Wypłata sumy ubezpie-
czenia nast
ę
puje na koniec roku
ś
mierci, tzn. w chwili
x
+
K
(
x
) +1. Tak wi
ę
c
1
K
Z
v
++++
====
.
Składk
ę
jednorazow
ą
netto oznaczamy symbolem
x
A
. Zatem
1
1
0
( )
(
)
K
k
x
k
x
x k
k
A
E Z
E v
v
p q
∞
∞
∞
∞
+
+
+
+
+
+
+
+
++++
====
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
.
Najwa
Ŝ
niejszym miernikiem zmienno
ś
ci zmiennej losowej jest jej wariancja. Rola warian-
cji jest szczególnie widoczna przy analizie
ś
wiadcze
ń
z portfela polis. Mamy
2
2
2
2
( )
(
)
( ( ))
(
)
(
)
x
Var Z
E Z
E Z
E Z
A
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
,
gdzie
2
1 2
2
1
0
0
(
)
(
)
(
)
k
k
k
x
x k
k
x
x k
k
k
E Z
v
p q
v
p
q
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
.
Przyjmuj
ą
c, jak podobnie wcze
ś
niej, oznaczenie
2
2
:
(
)
x
A
E Z
====
mo
Ŝ
emy napisa
ć
2
2
( )
(
)
x
x
Var Z
A
A
=
−
=
−
=
−
=
−
.
2. Ubezpieczenia terminowe na wypadek
ś
mierci (
n – year term insurance
).
a)
Ubezpieczenia płatne w chwili
ś
mierci.
4
Ubezpieczenie, które gwarantuje wypłatę tylko wtedy, gdy śmierć nastąpi w ciągu najbliŜ-
szych n lat, nazywamy n – letnim ubezpieczeniem terminowym (n – year term insurance).
Przy tego typu polisie wartość obecna tego ubezpieczenia wynosi
dla 0
dla
0
T
v
T
n
Z
T
n
< <
< <
< <
< <
====
≥≥≥≥
.
Jednorazową składkę netto dla polisy tego typu oznaczamy przez
1
: |
x n
A
. Zatem
e
1
: |
0
0
n
n
t
t
x n
t
x
x t
t
x
x t
A
v
p
dt
p
dt
−δ
−δ
−δ
−δ
+
+
+
+
+
+
+
+
=
µ
=
µ
=
µ
=
µ
=
µ
=
µ
=
µ
=
µ
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
.
Podobnie jak w przypadku ubezpieczeń bezterminowych dostajemy
2
2
0
(
)
n
t
t
x
x t
E Z
v
p
dt
++++
=
µ
=
µ
=
µ
=
µ
∫∫∫∫
,
skąd, przyjmując
2
1
2
: |
:
(
)
x n
A
E Z
====
otrzymujemy
2
1
1
2
: |
: |
( )
(
)
x n
x n
Var Z
A
A
=
−
=
−
=
−
=
−
.
b)
Ubezpieczenia płatne na koniec roku śmierci
Ubezpieczenie to gwarantuje wypłatę sumy ubezpieczenia tylko wtedy, gdy ubezpieczony
umrze w ciągu najbliŜszych
n lat. Przy tego typu polisie wartość obecna tego ubezpiecze-
nia wynosi
dla
dla
1
0,1,...,
1
0
,
1,... .
K
v
K
n
Z
K
n n
++++
=
−
=
−
=
−
=
−
====
=
+
=
+
=
+
=
+
.
Jednorazową składkę netto dla polisy tego typu oznaczamy przez
1
: |
x n
A
. Zatem
1
1
1
: |
0
( )
n
k
x n
k
x
x k
k
A
E Z
v
p q
−−−−
++++
++++
====
=
=
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
.
Podobnie jak w przypadku ubezpieczeń bezterminowych dostajemy
1
1
2
1 2
2
1
0
0
(
)
(
)
(
)
n
n
k
k
k
x
x k
k
x
x k
k
k
E Z
v
p q
v
p q
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
,
skąd, przyjmując
2
1
2
: |
:
(
)
x n
A
E Z
====
otrzymujemy
2
1
1
2
: |
: |
( )
(
)
x n
x n
Var Z
A
A
=
−
=
−
=
−
=
−
.
3. Czyste ubezpieczenie na do
Ŝ
ycie
.
a)
Ubezpieczenia płatne w chwili do
Ŝ
ycia wieku
x
+
n
(
Z
zmienn
ą
losow
ą
ci
ą
gł
ą
).
Czyste ubezpieczenie na doŜycie (
pure endowment) długości n gwarantuje wypłatę sumy
ubezpieczenia w chwili
n, (bezpośrednio osobie ubezpieczonej) pod warunkiem, Ŝe ubez-
pieczony doŜył do tej chwili.
Wzory na wartość obecną świadczenia, jej wartość oczekiwaną i wariancję dla polisy tego
typu są następujące:
5
dla
dla
0
n
v
T
n
Z
T
n
≥≥≥≥
====
<<<<
,
1
: |
( )
n
x n
n
x
A
E Z
v
p
=
=
=
=
=
=
=
=
2
1
1
2
2
: |
: |
( )
(
)
n
x n
x n
n
x
n
x
Var Z
A
A
v
p
q
=
−
=
⋅
=
−
=
⋅
=
−
=
⋅
=
−
=
⋅
,
gdzie
2
1
2
: |
(
)
x n
A
E Z
====
.
b)
Ubezpieczenia płatne w chwili doŜycia wieku x+n (Z zmienną losową dyskret-
ną).
Czyste ubezpieczenie na doŜycie (pure endowment) długości n gwarantuje wypłatę sumy
ubezpieczenia w chwili n, (bezpośrednio osobie ubezpieczonej) pod warunkiem, Ŝe ubez-
pieczony doŜył do tej chwili. Przy zastrzeŜeniu, Ŝe n jest teraz liczbą całkowitą, sytuacja
nie róŜni się od modelu ciągłego. Mamy zatem
dla
dla
0,1,...,
,
1,...
0
1
n
v
K
n n
Z
K
n
=
+
=
+
=
+
=
+
====
=
−
=
−
=
−
=
−
,
1
: |
( )
n
x n
n
x
A
E Z
v
p
=
=
=
=
=
=
=
=
2
1
1
2
2
: |
: |
( )
(
)
n
x n
x n
n
x
n
x
Var Z
A
A
v
p
q
=
−
=
⋅
=
−
=
⋅
=
−
=
⋅
=
−
=
⋅
,
gdzie
2
1
2
: |
(
)
x n
A
E Z
====
.
UŜywane jest teŜ oznaczenie
1
: |
n
x
x n
E
A
====
.
Czyste ubezpieczenie na doŜycie jest ubezpieczeniem oszczędnościowym. Ta forma
oszczędzania róŜni się od lokaty w banku tym, Ŝe w razie śmierci ubezpieczenie ustaje, a
wpłacone pieniądze wraz z odsetkami przepadają ubezpieczonemu. Wytworzony w ten
sposób dochód ulega rozłoŜeniu na pozostałych ubezpieczonych, którzy przeŜyją okres
ubezpieczenia. MoŜna w ten sposób otrzymać znacznie więcej niŜ w banku, pod warun-
kiem, Ŝe się przeŜyje okres ubezpieczenia.
W kalkulacjach dokonywanych w ubezpieczeniach na Ŝycie wykorzystuje się teŜ następu-
jące zaleŜności
- prawdopodobieństwo przeŜycia przez osobę x – letnią dalszych n lat:
x n
n
x
x
l
p
l
++++
====
;
- prawdopodobieństwo, Ŝe osoba w wieku x, umrze przed osiągnięciem wieku x + n:
x
x n
n
x
x
l
l
q
l
++++
−−−−
====
;
- prawdopodobieństwo, Ŝe osoba w wieku x, umrze w wieku pomiędzy x + m a x + m + 1:
1
|
x m
x m
x m
m
x
x
x
l
l
d
q
l
l
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+ +
+
−−−−
=
=
=
=
=
=
=
=
;
6
- prawdopodobieństwo, Ŝe osoba w wieku x, umrze w wieku pomiędzy x + m a x + m + n:
|
x m
x m n
m n
x
m
x
m n
x
x
l
l
q
p
p
l
+
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+ +
++++
−−−−
=
=
−
=
=
−
=
=
−
=
=
−
.
Przykład. RozwaŜmy czyste ubezpieczenie na doŜycie na n lat. Jednorazową składkę netto
moŜemy zapisać korzystając z TTś
1
: |
n
x n
x n
x
l
A
v
l
++++
====
.
Gdybyśmy taką właśnie kwotę, zamiast ubezpieczenia, złoŜyli w banku na procent równy
temu, przy którym obliczono składkę netto, to po n latach mielibyśmy
(1
)
n
n
x n
x n
x
x
l
l
i v
l
l
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
+
=
+
=
,
Natomiast z ubezpieczenia otrzymujemy 1 (jeśli doŜyjemy). RóŜnica wynosi więc
(1
) /
x n
x
n
x
l
l
q
++++
−
=
−
=
−
=
−
=
na korzyść ubezpieczenia. ZauwaŜmy, Ŝe jest to akurat prawdopodo-
bieństwo niedoŜycia wypłaty. W istocie bowiem wkład tych, którzy nie doŜyli wypłaty
powiększa zysk tych, którzy przeŜyli.