B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
1
6. Energia kinetyczna
Zmiana prędkości ciała wymaga wykonania
pracy.
r
t
m
r
F
W
d
d
d
d
d
v
Zapiszmy pracę elementarną i sprowadź-
my ją do postaci:
.
v
v
v
v
d
d
d
d
m
t
t
m
2
2
d
d
2
2
A
B
B
A
B
A
AB
m
m
m
r
F
W
v
v
v
v
Obliczmy teraz pracę na skończonej drodze od A do B:
Wielkość występującą po prawej stronie wyrażenia daną wzorem:
nazywamy
energią kinetyczną
ciała.
2
2
v
m
E
k
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
2
Energia kinetyczna jest zawsze dodatnia
lub równa zeru (ciała w spoczynku).
Zmiana energii kinetycznej wiąże się z pracą sił,
które rozpędzają (W>0) lub hamują (W<0) ciało.
Lądowanie promu
kosmicznego – jego
energia kinetyczna
maleje.
Przyspieszający pojazd
kosmiczny – energia
kinetyczna rośnie.
Energia kinetyczna jest tylko funkcją
prędkości ciała.
2
2
v
m
E
k
Położenie i prędkość określają stan
mechaniczny ciała – są to parametry stanu.
Energia kinetyczna zależy tylko od
prędkości, czyli jest funkcją stanu.
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
3
6. Energia potencjalna
Podczas podnoszenia kamienia ze stałą
prędkością jego energia kinetyczna nie
ulega zmianie, ale wykonana przez
sportowca praca zmienia jego stan
mechaniczny – zmienia się położenie
kamienia.
Podnosząc kamień działa on stałą siłą
równoważącą jego ciężar:
g
m
F
g
m
F
i wykonuje pracę:
r
d
g
m
r
d
F
W
B
A
B
A
AB
mgH
dr
mg
H
0
Uwaga: cosinus kąta między wektorami i jest równy 1.
g
r
d
Wyrażenie, które otrzymaliśmy po prawej stronie:
kojarzy się zapewne każdemu z
energią potencjalną
.
mgH
.
mgH
r
g
m
r
F
W
AB
Lub ze wzoru
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
4
Dokładniejsza i ogólniejsza definicja energii potencjalnej:
p
E
r
F
W
d
d
d
to funkcję nazywamy
energią potencjalną ciała
w
położeniu , w polu siły zachowawczej .
)
(r
E
E
p
p
)
(r
F
r
Z powyższej definicji widać, że zmiana energii potencjalnej
E
p
ciała jest równa ujemnej pracy wykonanej przez siłę
zachowawczą przy zmianie położenia cząstki z punktu A do B:
Jeśli praca wykonana przez siłę zachowawczą (będącą
jedynie funkcją położenia) przy przemieszczeniu cząstki o wektor
da się wyrazić w postaci:
r
d
)
(r
F
F
gdzie
E
p
jest jednoznaczną funkcją skalarną położenia , niezależną
od czasu, ciągłą i mającą ciągłe pochodne,
r
.
d
)
(
)
(
B
A
p
p
p
r
F
A
E
B
E
E
g
m
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
5
)
(
d
)
(
A
E
r
F
P
E
p
P
A
p
.
cons
d
)
(
d
)
(
t
r
F
A
E
r
F
P
E
p
P
A
p
Zapamiętajmy
:
fizyczny sens mają jedynie zmiany E
p
;
addytywna stała, z dokładnością do której jest określona E
p
,
nie jest istotna !
W dowolnym punkcie P
Jeśli ustalimy punkt początkowy A to praca siły zachowawczej zależy tylko
od punktu końcowego B i jest tylko funkcją położenia tego punktu .
r
Czyli energia potencjalna ciała w położeniu B zależy od wyboru
punktu A i jest liczona względem tego punktu odniesienia.
i jeśli przyjmiemy, że w punkcie odniesienia , to:
const
)
( A
E
p
0
)
( A
E
p
Często punkt A wybieramy tak, żeby można było przyjąć, że .
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
6
Grawitacyjna energia
potencjalna (gdy g
const):
g
m
E
p
(A) = 0
h
P
p
g
p
E
r
F
P
E
)
(
d
)
(
Grawitacyjna energia potencjalna:
r
mM
G
P
E
p
)
(
r
r
r
r
mM
G
d
2
mgh
P
E
p
)
(
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
7
E
p
r
r
mM
G
E
p
Ujemna zmiana energii
potencjalnej jeźdźca
I dodatnia zmiana energii
potencjalnej promu
Grawitacyjna energia potencjalna przyjmuje zawsze
wartości ujemne. Jej zmiany mogą być dodatnie !
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
8
.
)
(
2
2
1
kx
P
E
p
Sprężysta energia potencjalna
.
)
0
(
d
)
(
)
(
2
2
1
0
kx
E
r
i
kx
P
E
p
x
p
i
kx
r
k
F
s
0
x
gdzie
r
jest wychyleniem z położenia
równowagi końca sprężyny.
Podczas rozciągania sprężyny i podczas jej ściskania energia
potencjalna rośnie. A kiedy maleje?
Siła sprężysta dana jest wzorem:
Obliczmy energię potencjalną siły sprężystej względem
położenia równowagi:
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
9
Zmiana energii potencjalnej ciała nastąpi również wówczas, gdy pracę
wykona siła zewnętrzna równoważąca w każdym punkcie siły pola.
.
d
)
(
)
(
B
A
zew
p
p
p
r
F
A
E
B
E
E
pola
zew
F
F
Zmiana energii potencjalnej ciała jest równa
dodatniej
pracy wykonanej przez
siły zewnętrzne
:
Zmiana energii potencjalnej a praca siły zewnętrznej
Przekonaliśmy się o tym obliczając pracę wykonaną
przez sportowca podnoszącego kamień:
g
m
zew
F
.
mgH
r
g
m
r
F
E
p
Rozciągając sprężynę wykonamy pracę i zmienimy
jej energię potencjalną o :
.
d
2
2
1
2
2
1
A
B
x
x
zew
AB
p
kx
kx
r
i
kx
W
E
B
A
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
10
Zapamiętaj:
Wyrażenie na energię potencjalną:
nie definiuje energii potencjalnej w ogólności
!
Postać wzoru na energie potencjalną zależy od oddziaływania z
jakim mamy do czynienia. Np.:
.
)
(
2
2
1
kx
P
E
p
,
r
mM
G
E
p
mgh
E
p
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
11
Stajesz na szczycie góry.
Mocujesz deskę, zakładasz
gogle i zaczynasz szaleńczy
zjazd.…
W miarę jak twoja energia
potencjalna zamienia się w
energię kinetyczną rośnie twoja
szybkość
.
7. Zasada zachowania energii mechanicznej
Podczas ruchu ciał zmianie może ulegać nie tylko
ich energia kinetyczna, ale również potencjalna.
Energia mechaniczna ciała /układu ciał
to suma energii kinetycznej i potencjalnej :
.
k
p
m
E
E
E
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
12
Rozpatrzmy przypadek, kiedy na ciało oprócz siły
zachowawczej działa siła niezachowawcza .
F
P
Obliczmy pracę wykonaną przez te
siły na przemieszczeniu od A do B:
.
niezach
AB
zach
AB
cała
AB
W
W
W
Praca siły zachowawczej może być wyrażona
poprzez zmianę energii potencjalnej ciała:
.
niezach
AB
p
cała
AB
W
E
W
Całkowita praca wszystkich sił powoduje wzrost energii kinetycznej
ciała:
.
k
cała
AB
E
W
Dostajemy:
,
niezach
AB
B
p
A
p
A
k
B
k
W
E
E
E
E
.
niezach
AB
A
p
A
k
B
p
B
k
W
E
E
E
E
a stąd:
.
niezach
AB
A
m
B
m
W
E
E
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
13
.
niezach
AB
A
m
B
m
W
E
E
Jeśli i mamy:
0
to
,
0
niezach
AB
W
P
.
A
m
B
m
E
E
Doszliśmy do
(
można ją rozszerzyć
na układ ciał):
Całkowita energia mechaniczna ciała/układu ciał, na
które działają tylko siły zachowawcze, jest stała.
const
2
2
1
mgh
m
E
m
v
Powyższe prawo może posłużyć
do badania ruchu ciał wówczas,
gdy rozwiązanie równań ruchu
jest zbyt trudne.
Energia mechaniczna w polu
grawitacyjnym byłaby zachowana,
gdyby zaniedbać opory ruchu.
B. Oleś
i PK,
2009/10
14
E
x
–A
+A
.
const
2
2
1
2
2
1
v
m
kx
E
E
E
k
p
m
i
x
s
F
k
P
0
t
A
m
t
A
k
E
m
2
2
2
2
1
2
2
2
1
sin
cos
E
m
=kA
2
/2
E
p
=k
x
2
/2
E
k
E
p
Prześledźmy przemiany energii w
ruchu harmonicznym wywołanym siłą:
Oznacza to, że energia mechaniczna w
ruchu harmonicznym jest zachowana:
Ruch harmonicznym wykonuje
klocek przymocowany do końca
sprężyny o współczynniku
sprężystości k, gdy zaniedbamy
opory ruchu. Wychylenie z
położenia równowagi:
gdzie A- amplituda, -
częstotliwość ruchu i
2
= k/m.
t
A
t
x
cos
)
(
t
E
E
k
E
p
.
2
2
2
1
2
2
1
A
m
A
k
Przykład
Możemy to sprawdzić:
.
r
k
F
Jest to siła centralna, zatem zachowawcza.
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
15
x
F
E
x
p
d
d
x
E
F
p
x
d
d
.
)
,
,
(
grad
z
y
x
E
z
E
k
y
E
j
x
E
i
F
p
p
p
p
Uogólniając powyższe wyrażenie na trzy wymiary, otrzymujemy wzór
pozwalający znaleźć siłę , jeśli znana jest funkcja E
p
(x,y,z):
F
Jak znaleźć siłę, jeśli znana E
p
?
Przypomnijmy sobie, że
p
E
r
F
W
d
d
d
Energię potencjalną ciała
E
p
,
w polu siły zachowawczej , zdefiniowaliśmy
jako jednoznaczną funkcję skalarną położenia , niezależną od
czasu, ciągłą i mającą ciągłe pochodne, spełniającą zależność:
)
(r
E
E
p
p
)
(r
F
Dla przypadku jednowymiarowego (np. oscylatora harmonicznego z
ostatniego przykładu):
i stąd:
Czyli F
x
jest równa ujemnej pochodnej funkcji E
p
!
z
E
y
E
x
E
p
p
p
,
,
- pochodne cząstkowe
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
16
.
ˆ
ˆ
ˆ
grad
z
k
y
j
x
i
Jeśli energia potencjalna oscylatora
dwuwymiarowego dana jest wzorem:
)
(
)
,
(
2
2
2
1
y
x
k
y
x
E
p
z
E
k
y
E
j
x
E
i
z
y
x
E
F
p
p
p
p
)
,
,
(
grad
to siła:
)
(
]
0
)
2
(
)
2
(
[
2
1
j
y
i
x
k
k
y
j
x
i
k
.
r
k
F
Jeśli E
p
= E
p
(r), to
.
grad
)
(
grad
r
r
dr
dE
r
dr
dE
r
E
F
p
p
p
Powyższy wzór można zastosować do znalezienia siły w każdym
polu centralnym, jeśli tylko znamy E
p
. Np.:
Gradient:
Dostaliśmy siłę sprężystą:
.
,
2
r
r
r
Mm
G
r
r
dr
dE
F
r
Mm
G
E
p
p
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
17
Jeśli podczas ruchu ciała występuje
siła
tarcia (lub inna siła niezachowawcza)
,
to
energia mechaniczna ulega rozproszeniu.
A
m
B
m
niezach
AB
E
E
W
Stracona energia mechaniczna zamieniana jest na energię
wewnętrzną przesuwanego ciała i podłoża (sumę energii
kinetycznych i potencjalnych cząsteczek).
Praca wykonana przez siłę niezachowawczą:
jest
ujemna
, bo zwrot siły, np. tarcia,
przeciwny do kierunku ruchu !
Jeśli uwzględnimy wzrost energii wewnętrznej ciał, to energia
całkowita izolowanego układu jest zawsze zachowywana.
B
A
r
Silnik wyłączony !
8. Siły niezachowawcze a zasada zachowania energii
tarcia
F
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
18
W przypadku samochodu zjeżdżającego z górską drogą, jeśli
H
jest różnicą wysokości położeń A i B, energia mechaniczna :
B
A
r
Silnik wyłączony !
tarcia
F
Przykład
,
2
2
1
A
A
m
m
mgH
E
v
,
tarcia
AB
A
m
B
m
W
E
E
,
2
2
1
B
B
m
m
E
v
(energię potencjalną liczymy względem położenia B)
Chcemy znaleźć prędkość samochodu w położeniu B, znając jego
prędkość w A, współczynnik tarcia kół o nawierzchnię i kąt nachylenia
drogi:
AB
AB
t
tarcia
AB
s
fmg
s
fmg
r
F
W
cos
cos
)
cos
(
,
cos
2
2
1
2
2
1
AB
A
B
s
fmg
mgH
m
m
v
v
.
)
sin
/
cos
1
(
2
)
cos
(
2
2
2
f
gH
s
f
H
g
A
AB
A
B
v
v
v
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
9. Pęd. Zasada zachowania pędu
Drugą zasadę dynamiki:
,
F
dt
d
m
v
możemy zapisać w postaci:
,
F
dt
d
p
gdzie jest
pędem cząstki
(ciała).
v
m
p
v
m
p
19
,
)
(
F
dt
m
d
v
Postać jest
bardziej ogólna
i można ją również stosować w przypadku
ruchu cząstek relatywistycznych, gdy masa zależy od szybkości.
Zauważmy, że gdy (otoczenie nie oddziałuje na cząstkę lub siła
wypadkowa jest równa zeru), to
0
F
0
dt
d
p
czyli pęd cząstki nie ulega zmianie:
const
p
Powyższa
jest
słuszna również w fizyce relatywistycznej.
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
20
i
p
układ
20
,
d
d
iw
iz
i
F
F
t
p
.
Zasadę zachowania pędu możemy rozszerzyć na układ wielu cząstek.
Dla cząstki i –tej: gdzie
iz
F
iw
F
siła zewnętrzna,
siła wewnętrzna,
,
d
d
iw
iz
i
F
F
t
p
Z trzeciego prawa Newtona wynika, że suma sił
wewnętrznych jest równa zeru:
Sumujemy po wszystkich cząstkach układu:
.
0
iw
F
A zatem:
.
d
d
iz
i
F
p
t
Pęd całkowity układu jest sumą pędów
wszystkich cząstek:
.
1
n
i
i
p
.
d
d
d
d
t
p
p
t
i
i
.
0
iw
F
Oznacza to, że za zmianę pędu układu
odpowiedzialne są siły zewnętrzne.
21
.
Pęd układu (podobnie jak pojedynczej cząstki), na który
nie działa żadna wypadkowa siła zewnętrzna jest stały:
0
iz
z
F
F
.
const
i
p
p
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
Przykład :
usuwanie awarii satelity. Po ukończeniu naprawy
kosmonauta odpycha się od satelity.
Rozpatrujemy układ izolowany ( )
kosmonauta-satelita.
0
z
F
jest równy sumie pędów kosmonauty i
naprawionego satelity :
Pęd początkowy układu , kiedy kosmonau-
ta połączony z satelitą wykonuje naprawę
B. Oleś
Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
22
Przykład:
Zderzenie sprężyste (elastyczne) kul
2
1
02
01
p
p
p
p
.
sin
sin
0
,
cos
cos
0
2
2
1
1
2
2
1
1
01
1
v
v
v
v
v
m
m
m
m
m
Zasada zachowania pędu
:
pęd kulek przed
…
i po zderzeniu
czyli
Zasada zachowania energii kinetycznej
:
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
01
1
2
1
0
v
v
v
m
m
m
W zderzeniach sprężystych zachowywana
jest energia kinetyczna i pęd układu.
B. Oleś Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10
10. Moment pędu. Zasada zachowania momentu pędu
.
p
r
L
Iloczyn wektorowy wektora i pędu cząstki
nazywamy
momentem pędu (krętem)
cząstki:
r
p
,
sin
|
||
|
|
|
p
r
L
Jego wartość:
Jest on z definicji prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory i , a
zwrot jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej (regułę prawej dłoni).
r
p
23
W układzie współrzędnych kartezjańskich możemy obliczyć
moment pędu obliczając wyznacznik:
z
y
x
p
p
p
z
y
x
k
j
i
L
k
yp
xp
j
xp
zp
i
p
z
yp
x
y
z
x
y
z
x
y
z
p
r
L
