1
Przykład. 1. Cząstka wykonuje ruch harmoniczny prosty o okresie 2 s,
amplitudzie 1,5 cm. Jaka jest maksymalna prędkość i maksymalne przyspie-
szenie w tym ruchu?
Jeżeli cząstka wykonuje ruch harmoniczny to oznacza, że zależność pręd-
kości od czasu wyraża się równaniem
v = −Aω sin(ωt) ,
gdzie A i ω są parametrami, stałymi dla danego ruchu. Zależność przyspie-
szenia od czasu wyraża się natomiast równaniem
a = −Aω
2
cos(ωt) .
Funkcje sin() i cos() przyjmują wartości z zakresu od −1 do +1 więc prędkość
maksymalna i przyspieszenie maksymalne są równe odpowiednio:
v
max
= Aω,
a
max
= Aω
2
(∗) .
Tak więc by obliczyć te wielkości potrzebna jest znajomość pulsacji (czę-
stotliwości kołowej) ω. Amplituda A podana jest w treści zadania.
Pulsacja jest ściśle związana z okresem
ω =
2π
T
tak więc po podstawieniu do równań (∗) otrzymujemy:
v
max
= A
2π
T
,
a
max
= A
4π
2
T
2
.
Wstawiając wartości liczbowe
v
max
= 1,5 cm
2π
2 s
= 4,7
cm
s
,
a
max
= 1,5
4π
2
2
2
= 15
cm
s
2
.
Ćwiczenie. 2. Cząstka wykonuje ruch harmoniczny prosty o okresie 2 s
prędkości maksymalnej 2 m/s. Jaka jest amplituda drgań i jakie jest mak-
symalne przyspieszenie?
Odp.: 0,64 m, 6,3 m/s
2
.
2
Ćwiczenie. 3. Cząstka wykonuje ruch harmoniczny prosty o zależności po-
łożenia od czasu przedstawionej na rysunku.
— Jaka jest maksymalna prędkość i maksymalne przyspieszenie w tym
ruchu?
— Wykonaj na podstawie danych wykres zależności prędkości od czasu
(w tej samej skali czasu) oraz wykres zależności przyspieszenia od czasu.
Wskazówka. Odczytaj z wykresu okres drgań i amplitudę a następnie
oblicz potrzebne wielkości tak jak w poprzednich zadaniach.
Przykład. 4. Wahadło zegara ma okres drga T = 1 s. Jaka jest długość
wahadła przyjmując, że jest ono ”matematyczne”? Jaka jest energia drgań
wahadła zegara jego masa wynosi 300 g a amplituda ruchu to 1 cm?
Dla wahadła prostego (czyli tzw. matematycznego) pulsacja ω zależy od
długości wahadła l:
ω
2
=
g
l
Ponadto pulsacja jest ściśle związana z okresem drgań T
ω =
2π
T
3
Łącząc powyższe równania otrzymujemy wyrażenie, które łączy długość
wahadła z jego okresem drgań
g
l
=
2π
T
2
skąd otrzymujemy
l =
gT
2
4π
2
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy
l =
9,81
m
s
2
× (1 s)
2
4π
2
= 0,2485 m
W każdym ruchu drgającym mamy do czynienia z następującymi po sobie
przemianami energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie. Suma tych ener-
gii jest stała (gdy drgania są niegasnące). Przy maksymalnym wychyleniu
cała energia skumulowana jest w energii potencjalnej a w chwili przecho-
dzenia przez położenie równowagi (wtedy prędkość ruchu jest maksymalna)
energia jest skumulowana w energii kinetycznej.
Energia kinetyczna, tu jako energia ruchu postępowego, wyraża się na-
stępującym ogólnym wzorem
E =
mv
2
2
,
do którego za prędkość v możemy podstawić prędkość maksymalną ruchu
wahadła
v
max
= Aω
gdzie pulsacja ω =
2π
T
. Masę m stanowi oczywiście masa wahadła. Otrzyma-
my w ten sposób wyrażenie na maksymalną energię kinetyczną, która równa
jest całkowitej energii drgań wahadła.
E =
2mA
2
π
2
T
2
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy
E =
2 × 2 kg × (0,05 m)
2
π
2
(1 s)
2
= 0.1
kg m
2
s
2
=
= 0.1 Nm = 0.1 J
4
Ćwiczenie. 5. Wahadło zegara ma okres drgań 2 s. Jaka jest długość wa-
hadła przyjmując, że jest ono ”matematyczne”? Jaka jest energia drgań wa-
hadła zegara jego masa wynosi 2000 g a amplituda ruchu to 5 cm?
Odp: 0,994 m, 0,247 J.
Ćwiczenie. 6. Jaka jest stała sprężystości sprężyny, jeśli po zawieszeniu na
niej ciężarka o masie 100 g układ drga z częstotliwością 3,5 Hz?
Odp: 48,4
N
m
.
Ćwiczenie. 7. Jaka jest masa ciężarka jeżeli zawieszając go na sprężynie
o stałej sprężystości 100 N/m układ drga z częstotliwością 3,5 Hz?
Odp: ≈ 200 g.
Ćwiczenie. 8. Załóżmy, że dysponujemy szybem przechodzącym przez śro-
dek Ziemi i przechodzącym na antypody. Załóżmy, że można pominąć opór
powietrza (np. odpompowane jest z szybu powietrze).
— Po jakim czasie wrzucony do szybu kamień osiągnie drugi koniec otworu?
— Jaka będzie maksymalna prędkość kamienia?
Skądinąd wiadomo, że siła ciężkości (poniżej powierzchni Ziemi) zachowuje
się jak siła harmoniczna – jest proporcjonalna do odległości od środka Ziemi).
Odp: ≈ 42 min, ≈ 16
km
s
.
Ćwiczenie. 9. Jaki jest okres drgań pręta o masie m wykonującego nie-
wielkie drgania, zawieszonego na jednym z końców? Moment bezwładności
takiego pręta oblicza się jako
1
3
ml
2
, gdzie l jest długości pręta.
5
W przypadku opisanym zadaniem mamy do czynienia z wahadłem fizycz-
nym którego pulsacja zależna jest od momentu bezwładności I względem osi
wahań, jego masy m i odległości d środka masy od osi obrotu.
ω =
mgd
I
Zgodnie z treścią zadania masę traktujemy jako daną. Odległość d wynosi
natomiast 0, 5l co jest oczywiste. Moment bezwładności dla obracającego się
pręta wokół jednego z końców jest często podawany i wynosi
I =
1
3
ml
2
Tak więc po podstawieniu otrzymujemy:
ω =
mg
l
2
1
3
ml
2
=
3
2
g
l
Jeżeli powyższe wyrażenie połączymy ze wzorem łączącym okres drgań
z pulsacją to otrzymamy
2π
T
2
=
3
2
g
l
,
skąd po przekształceniach
T = 2π
s
2
3
l
g
.
Zauważmy jeszcze, że można powyższy wzór zapisać jako
T = 2π
s
2
3
l
g
.
z którego wyrażenia widać, że okres drgań takiego wahadła jest równy okre-
sowi drgań wahadła prostego (matematycznego) o długości
2
3
l.
Ćwiczenie. 10. Jaki jest okres drgań pręta o masie 0,5 kg i długości 0,8 m
wykonującego niewielkie wahania, zawieszonego na jednym z końców? Mo-
ment bezwładności takiego pręta oblicza się jako
1
3
ml
2
.
6
Objaśnienie: Należy albo wyprowadzić sobie wyrażenie jak w poprzed-
nim zadaniu albo skorzystać z zależności podanych we wstępie do zestawu
zadań i po kolei obliczać potrzebne wielkości.
Odp: 1,46 s.
Ćwiczenie. 11. Jak zmieni się okres drgań pręta z poprzedniego zadania
jeśli zostanie on wykonany z innego materiału i będzie miał masę dwukrotnie
większą?
Odp: Nie zmieni się.
Ćwiczenie. 12. Wyznacz okres drgań pręta o masie 2 kg i długości 60 cm
zawieszonego na osi umieszczonej w jednej czwartej jego długości, wykonu-
jącego niewielkie drgania.
Mamy tu do czynienia z wahadłem fizycznym którego pulsacja zależna
jest od jego masy m, odległości d środka masy od osi obrotu i momentu
bezwładności I względem osi wahań
ω =
mgd
I
(∗) .
Masa pręta jest dana. Odległość d wynosi natomiast 0, 25l. Do obliczenia
momentu bezwładności musimy skorzystać z twierdzenia Steinera:
I = I
sm
+ md
2
gdzie I
sm
jest momentem bezwładności względem środka masy a d jak po-
przednio – odległością środka masy od osi obrotu.
Moment bezwładności względem środka masy dla pręta równy jest:
I
sm
=
1
12
ml
2
Tak więc po podstawieniu otrzymujemy:
I =
1
12
ml
2
+ m
1
4
l
2
,
skąd
I =
7
48
ml
2
.
7
Wstawiając to wyrażenie oraz wyrażenie wiążące okres drgań z pulsacją
do wzoru (∗) otrzymujemy
2π
T
2
=
mg
l
4
7
48
ml
2
,
skąd po przekształceniach
T = 2π
s
7
12
l
g
.
Odp: ≈ 1,2 s.
Ćwiczenie. 13. Jaki jest okres drgań koła (cienkiego walca)o promieniu
R = 0,3 m wykonującego niewielkie wahania, zawieszonego na osi umiesz-
czonej na jego obwodzie (prostopadłej do jego powierzchni)? Moment bez-
władności koła względem środka masy oblicza się jako
1
2
mR
2
.
Odp: 1,35 s.
Ćwiczenie. 14. Kostkę lodu wrzucamy do misy o sferycznym dnie o pro-
mieniu 30 cm.
— Jaki będzie okres drgań kostki sunącej ”w te i wewte” po dnie misy?
Tarcie pomijamy.
— Jak zmieni się sytuacja gdy do misy wrzucimy kulkę toczącą się bez
poślizgu?
Sytuację rozważamy przy założeniu niewielkich drgań.
Wskazówka: Weź pod uwagę drgania o takiej samej amplitudzie i przyj-
mij, że kulka oraz kostka mają tę samą masę. Tak więc będą one miały
tę samą energię drgań mimo, że prędkość maksymalna (związana przecież
z okresem) w obu wypadkach będzie różna.
Odp: T
◦
=
q
7
5
T
8
Ćwiczenie. 15. W cząsteczce wodoru siła oddziaływania między atomami
może być przybliżona wyrażeniem F = −B(r − r
0
) , gdzie B = 0,057 N/m,
a r
0
= 7, 4·10
−11
m jest odległością między atomami w położeniu równowagi.
Jaka jest częstotliwość drgań?
Wskazówka: Rozwiąż przez analogię do układu masy na sprężynie i za-
uważ, że przy takich drganiach środek sprężyny jest nieruchomy. Jaka jest
stała sprężystości takiej sprężyny w porównaniu ze stałą B?
Odp: 1,31 · 10
12
Hz