© Lesław ŁADNIAK 
 
!420_Obwod_RC 2009-12-17 

Obwody pierwszego rzędu  

 

Obwód RC  
 
  Rozpatrzmy obwód elektryczny złożony z kondensatora o 
pojemności  C oraz źródła napięcia o sile elektromotorycznej e(t). 
Schemat obwodu przedstawiono na Rys. 

1. Występujący w 

obwodzie rezystor R odwzorowuje straty energii w źródle napięcia 
oraz rezystancję przewodów łączących. Należy wyznaczyć 
przebieg zmian prądu  i(t) w analizowanym obwodzie po 
zamknięciu łącznika W. 
 

Ładowanie kondensatora  
 
 Przyjmijmy, 

że siła elektromotoryczna źródła napięcia na ma 

wartość stałą równą E, a napięcie na zaciskach kondensatora przed 
zamknięciem łącznika było równe zeru. W chwili t

o

 obwód zostaje 

zamknięty. Ponieważ w obwodzie jest źródło siły 
elektromotorycznej to ładunki elektryczne mogą się 
przemieszczać. W obwodzie zaczyna płynąć prąd. Przepływające 
od źródła napięcia, poprzez rezystor, ładunki elektryczne gromadzą 
się w kondensatorze. Gromadzące się w kondensatorze ładunki 
powodują wzrost napięcia na kondensatorze. Ładunki nie 
przechodzą z jednej okładki kondensatora na drugą, ponieważ 
pomiędzy nimi jest dielektryk. Ilość  ładunków, jaka zostanie 
zgromadzona w kondensatorze zależy od napięcia  źródła oraz 
parametrów kondensatora (wielkości okładek, odległości pomiędzy 
okładkami, materiału znajdującego się pomiędzy okładkami). Gdy 
na kondensatorze zgromadzona zostanie maksymalna ilość 
ładunków w obwodzie przestaje płynąć prąd. Jeżeli nie płynie prąd 
to napięcie na rezystorze jest równe zeru. Czyli proces 
przemieszczania się  ładunków ze źródła do kondensatora trwa do 
chwili, gdy napięcie na kondensatorze nie zrówna się z napięciem 
źródła. Czas od chwili zamknięcia obwodu do chwili 
ustabilizowania się wartości napięć i prądów w obwodzie jest to 
stan przejściowy. Na Rys. 2 przedstawiono wykres wartości 
chwilowych napięcia i prądu w obwodzie RC w czasie ładowania 
kondensatora ze źródła napięcia stałego. 
 

 
 
 

R

e(t)

u

R

(t)

i(t)

W

C

u

C

(t)

+q

-q

 

 

Rys. 1. Ładowanie kondensatora - obwód RC 

 

0

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

5

τ

~37 %

t

E
R

i(t)

E
R

 

e

 -t/

τ

 

~63 %

0

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

5

τ

t

E(1 - e

 -t/

τ

)

u(t)

E

 

 

Rys. 2. Wartość chwilowa prądu i napięcia w 

obwodzie RC 

 

 

2 

 
 
 

 

1.1.1 

Przebiegi napięć i prądów  

  Na Rys. 2 przedstawiono przebieg zmian natężenia prądu w 
analizowanym obwodzie po zamknięciu łącznika W, czyli w czasie 
ładowania kondensatora o pojemności C przez rezystor R ze źródła 
napięcia stałego o sile elektromotorycznej E.  
 
 Zmiany 

natężenia prądu i(t) są opisane równaniem: 

 

  i(t) = 

E
R e

-t/τ 

 
 Napięcie na zaciskach kondensatora opisuje następujące 
równanie: 
 
  u(t) = E(1 - e

-t/τ

) 

 
 Stała czasowa obwodu 

τ

 równa iloczynowi rezystancji i 

pojemności występujących w obwodzie: 
 
 

τ

 = RC 

 
określa szybkość zanikania prądu w obwodzie i szybkość 
narastania napięcia na kondensatorze. 
 
 Warto 

zauważyć, że wartość prądu po upływie czasu równego 

jednej stałej czasowej (t = 

τ

) wynosi około 37 

% wartości 

początkowej: 
 

  i(t=

τ

) = 

I

o

e = 0,368 

E
R 

 
 Po 

upływie czasu równego pięciu stałym czasowym (t = 5

τ

) 

wartość prądu jest równa: 
 

  i(t=5

τ

) = 

I

o

e

5

 = 0,00674 

E
R 

 
czyli jest mniejsza niż 1% wartości początkowej. 
 

Moc i enerergia  
 
 Znając przebieg zmian napięcia i prądu w obwodzie RC 
możemy wyznaczyć przebieg zmian wartości chwilowej mocy.  
 
 Wartość chwilowa mocy na rezystorze wynosi: 
 
  p

R

(t) = u

R

(t) i(t) = R i

2

(t) = R (I

o

 e

 -t/RC

)

2

 = R E

2

 e

 -2t/

τ

 

 

  Energia, jaka wydzieliła się w rezystorze 
do chwili t wynosi: 
 

  W(t) = 

⌡

⌠

0

t

 p

R

(t) dt = 

⌡

⌠

0

t

 R I

o

 e

 -2t/

τ

 dt = R I

o

 

τ

2 (1 - e

 -2t/

τ

) 

 
  Na Rys. 

3 pokazano przebieg zmian 

wartości chwilowej mocy na rezystorze w 
obwodzie  RC po przyłączeniu do źródła 
napięcia stałego. 
 

0

25

50

75

100

0

1

2

3

4

5

t [

τ]

u

, 

i

, 

p

 [%]

 

Rys. 3. Wartość chwilowa mocy