Uklady równań liniowych
mgr Zofia Makara
21 marca 2004
1
Uklady równań liniowych
Niech będzie dany układ równań o wszystkich współczynnikach i zmiennych
z określonego ciała K:
a
11
x
1
+
...
+a
1n
x
n
=
b
1
..
a
m1
x
1
+
...
+a
mn
x
n
=
b
m
możemy również zapisać w postaci:
a
11
...
a
1n
..
a
m1
...
a
mn
·
x
1
..
x
m
=
b
1
..
b
m
Definicja 1 Macierz kwadratową A nazywa się:
• osobliwą, jeżeli det A = 0;
• nieosobliwą, jeżeli det A 6= 0
Definicja 2 Układem Cramera nazywa się układ równań liniowych, którego
macierz współczynników A jest kwadratową macierzą nieosobliwą.
Definicja 3 Macierzą uzupełnioną macierzy A danego układu nazywa się
macierz, która ma dodatkową kolumnę - kolumnę wyrazów wolnych.
Macierz uzupełnioną oznacza się jako U = [A|b].
Twierdzenia 1 Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie (x
1
, ..., x
n
)
dane wzorem:
x
j
=
dA
j
dA
,
gdzie dA = [a
kj
]
n×n
jest wyznacznikiem macierzy A danego układu zaś dA
j
jest wyznacznikiem macierzy, w której kolumna j została zastąpiona kolumną
wyrazów wolnych.
1
Własność 1 Jeżeli wszystkie współczynniki wolne w układzie Cramera rów-
ne są 0, wówczas układ nazywa się jednorodnym i ma jedno rozwiązanie -
(0, 0, ..., 0).
Definicja 4 Rzędem macierzy nazywa się ilość jej wektorów liniowo nieza-
leżnych.
Można mówić o:
• rzędzie wierszowym - maksymalna liczba niezależnych wierszy danej
macierzy;
• rzędzie kolumnowym - maksymalna liczba niezależnych kolumn danej
macierzy;
Rząd wierszowy i kolumnowy danej macierzy są równe.
Rząd macierzy można wyznaczyć przez wyszukanie minora stopnia n danej
macierzy różnego od zera, dla którego nie istniej minor tej macierzy stopnia
wyższego niż n. Wówczas n jest rzędem macierzy.
Dla danego układu można zastoswać kryterium zgodności Kroneckera -Cap-
peliego, to jest, jeśli:
• rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej U = [A|b]
(układ jest zgodny rz A = rz U ), wówczas układ posiada rozwiąza-
nia. Ponadto, jeśli rząd macierzy jest równy ilości niewiadomych, wów-
czas ma dokładnie jedno rozwiązanie, w przeciwnym przypadku (rząd
macierzy jest mniejszy niż ilość niewiadomych w równaniu), wówczas
układ ma nieskończenie rozwiązań (układ nieoznaczony).
• rząd macierzy A jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej U = [A|b]
(układ jest sprzeczny), wówczas układ nie posiada rozwiązania.
Inną metodą rozwiązywania kwadatowego układu równań jest metoda
eliminacji Gauss’a, w której stosując przekształcenia macierzy rozszerzonej
[A|b] danego układu:
• przestawienie dwóch wierszy (równań w układzie);
• pomnożeniu przez dowolną liczbę (różną od zero);
• dodanie/odjęcie od siebie dwóch wierszy (równań w układzie);
doprowadza się macierz A (w skończonej ilości kroków) do macierzy diago-
nalnej.
Uwaga 1 W kwadratowym układzie równań w macierzy A na diagonalii
może wystąpić 0, zaś w kolumnie wyrazów wolnych element różny od 0, wów-
czas układ nie ma rozwiązania.
2
Uwaga 2 Jeżeli w kwadratowym układzie równań w jego macierzy A na
diagonalii i w kolumnie wyrazów wolnych wystąpi 0, wówczas układ posiada
nieskończenie wiele rozwiązań.
Uwaga 3 Eliminację Gauss’a można również stosować do prostokątnych
układów równań.
Uwaga 4 Eliminację Gauss’a można również stosować wyznaczania macie-
rzy odwrotnej.
Łatwo zauważyć, że dla danego układu macierzowego AX = I można doko-
nać ciągu przekształceń pozwalającego na wyznaczenie macierzy odwrotnej
A
−1
. Dokonując kolejne przekształcenia można w skończonej ilości kroków
(jeśli macierz A jest kwadratową macierzą nieosobliwą) otrzymać:
• AX = I;
• A
1
X = B
1
;
• ...;
• A
s
X = B
s
;
• IX = A
−1
;
dla dowolnego s ∈ N .
W praktyce nie zapisuje się macierzy X, ale przekształcenia oznacza się jako
[A|I]˜[A
1
|B
1
]˜... [A
s
|B
s
]˜[I|A
−1
].
2
Zadania
Rozwiąż układy równań (i podaj ilość rozwiązań - o ile istnieją, ich macierze
główne i uzupełnione oraz rzędy tych macierzy):
1.
(
3x
1
+ 2x
2
= −1
x
1
+ x
2
= 2
2.
(
x
1
+ 2x
2
= −1
2x
1
+ 4x
2
= 2
3.
(
x
1
+ 2x
2
= −1
−x
1
− 2x
2
= 1
3
