L
ABORATORIUM FIZYCZNE
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
Przykład opracowania danych pomiarowych pomiaru
wartości przyśpieszenia ziemskiego metodą wahadła
prostego
opracował: Jan Kurzyk
L
ABORATORIUM FIZYCZNE
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
Przykład opracowania danych pomiarowych pomiaru
wartości przyśpieszenia ziemskiego metodą wahadła
prostego
opracował: Jan Kurzyk
2
Przykład opracowania danych pomiarowych pomiaru
wartości
przyśpieszenia
ziemskiego
metodą
wahadła
prostego
Na rysunku C.1 przedstawiono dane pomiarowe zebrane w trakcie wykonywania ćwiczenia nr 1:
„Wyznaczanie wartości przyśpieszenie ziemskiego metodą wahadła prostego”. W celu wykonania
pomiaru pośredniego wartości przyśpieszenia ziemskiego mierzymy okres tzw. małych drgań
wahadła oraz jego długość . Jeśli podczas pomiarów będziemy wprawiać wahadło w drgania o
wystarczająco małej amplitudzie (patrz analiza problemu w opisie ćwiczenia 1), to wartość
przyśpieszenia ziemskiego z dobrym przybliżeniem wyliczymy ze wzoru
= 4
.
Ćwiczenie 1. Dane pomiarowe
Czas 10. wahnięć
Długość nici
Średnica kulki
L.p.
= 10 [s]
L.p.
ℎ [cm]
L.p.
[mm]
1.
21,8
1.
118,2
1.
19,00
2.
22,0
2.
118,2
2.
19,00
3.
21,6
3.
118,0
3.
19,00
4.
21,9
4.
4.
5.
22,1
5.
5.
6.
21,9
6.
6.
7.
21,9
7.
7.
8.
21,8
8.
8.
9.
22,0
9.
9.
10. 21,7
10.
10.
[s]
ℎ[cm]
[mm]
0,05
0,2
0,005
Rys. C.1 Przykładowe dane pomiarowe zebrane w trakcie wykonywania ćwiczenia nr 1:
„Wyznaczanie wartości przyśpieszenie ziemskiego metodą wahadła prostego.
Uzasadnienie szacunków
Δ , Δℎ, Δ .
a)
Liczba pomiarów czasu 10. wahnięć wahadła upoważnia nas do policzenia niepewności
metodą A. Ten wkład do niepewności uwzględnia rozrzut statystyczny wyników pomiarów.
Pozostaje nam oszacowanie wkładu do niepewności uwzględniającego dokładność przyrządu
pomiarowego. Przyrządem pomiarowym był stoper o dokładności 0,1 s. Zasada działania tego
stopera (zakładając, że przyrząd jest sprawny technicznie) pozwala nam przyjąć, że odczytany
ze stopera czas nie różni się od rzeczywistego o więcej niż
0,1 s. Stąd przyjęta przez nas
połowa szerokości przedziału granicznego
Δ = 0,05 s.
UWAGA:
Należy zwrócić uwagę, że pisząc w poprzednim zdaniu o czasie rzeczywistym, mamy
na myśli czas pomiędzy momentem włączenia i wyłączenia stopera, co nie koniecznie musi
3
oznaczać faktyczny czas 10. wahnięć, gdyż względy subiektywnej oceny doboru momentów
startu i zakończenia pomiaru, a także czas reakcji obserwatora sprawiają, że często mierzony
czas nie odpowiada czasowi wymaganej liczby wahnięć (nie chodzi tu o zwykłe pomyłki typu
zmierzenia czasu 9. zamiast 10. wahnięć).
b)
Długość nici zmierzona była trzykrotnie, przy czym jeden z wyników różnił się o 0,2 cm od
pozostałych. Liczba pomiarów jest za mała, żeby rozrzut statystyczny wyników oszacować
metodą A. Gdyby zaobserwowany w serii 3. pomiarów rozrzut był duży, należałoby zwiększyć
liczbę pomiarów, aby móc zastosować metodę A. W naszej sytuacji możemy ograniczyć się do
metody B. Przedział graniczny powinien obejmować wszystkie pomiary (aktualne i
ewentualnie przyszłe), więc musi mieć szerokość co najmniej 0,2 cm (nasza różnica między
skrajnymi wartościami). Bezpiecznie jest jednak założyć, że przedział graniczny jest szerszy od
przypadku zaobserwowanego przez nas. W przedstawionej tabeli przyjęto arbitralnie, że
przedział graniczny jest dwukrotnie szerszy od naszego przypadku, dlatego przyjęto, że
połowa przedziału granicznego jest równa
Δℎ = 0,2 cm.
c)
Z tych samych powodów co w przypadku pomiaru długości nici, niepewność pomiaru średnicy
kulki musimy oszacować metodą B. Wszystkie wyniki pomiarów średnicy kulki były
identyczne, a zatem za połowę szerokości przedziału granicznego możemy przyjąć połowę
najmniejszej działki przyrządu, w tym przypadku śruby mikrometrycznej o najmniejszej
działce równej 0,01 mm. Stąd
Δ = 0,005 mm.
1.
Analiza pomiaru okresu drgań wahadła.
W celu wyznaczenia okresu drgań wahadła wykonano 10 pomiarów czasu trwania dziesięciu
wahnięć wahadła. Za wartość zmierzoną przyjmujemy średnią arytmetyczną wyników pomiarów,
która wynosi
̅ = 10 = 21,870 s,
Ponieważ
= 10
⁄ dostajemy
= ̅ 10
⁄ = 2,1870 s.
Wykonanie serii
10 pomiarów czasu daje podstawę do wyliczenia niepewności standardowej
metodą A. Wyliczona w ten sposób niepewność standardowa (odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej) pomiaru czasu wynosi
≈ 0,0473 s,
czyli niepewność standardowa pomiaru okresu jest równa
=
/10 ≈ 0,00473 s.
Zgodnie z analizą dokonaną w poprzednim punkcie, połowa szerokości przedziału granicznego
związanego z wkładem do niepewności pochodzącym od przyrządu pomiarowego wynosi
Δ =
0,05 s. Dodatkowo musimy założyć prostokątny rozkład gęstości prawdopodobieństwa (patrz. Uwaga
w punkcie 5.2.2). Wobec tego niepewność standardowa wyznaczona metodą B wynosi
"
=
0,05 s
√3
≈ 0,02887 s.
Stąd
"
=
"
10 ≈ 0,002887 s.
4
Sumując (zgodnie z regułą sumowania niepewności standardowych) niepewność obliczoną metodą A,
związaną ze stochastycznym rozrzutem wartości mierzonych oraz niepewność obliczoną metoda B
wynikającą z rozdzielczości stopera, dostajemy
$
= %
+
"
= 0,00554 s.
Po zaokrągleniu niepewności (do dwóch cyfr znaczących) i średniego okresu (do tego samego miejsca
rozwinięcia dziesiętnego co niepewność) ostatecznie dostajemy
= 2,1870 55 s.
2.
Analiza pomiaru długości wahadła
Długość wahadła złożonego z kulki zawieszonej na lekkiej (w porównaniu z kulką) nici jest
zdefiniowana jako odległość od punktu zawieszenia wahadła do środka ciężkości kulki. Pomiar tej
odległości w naszych warunkach wymagałby określenia „na oko” położenia środka kulki. Aby uniknąć
tego problemu wykonujemy pomiar pośredni długości wahadła. Mierzymy długość
ℎ nici i średnicę
kulki, a długość wahadła wyliczamy ze wzoru
= ℎ + 2
⁄ .
2.1
Analiza pomiaru długości nici
Pomiar długości nici wymaga staranności i pewnej wprawy. Taśmy mierniczej nie da się przyłożyć
bezpośrednio do nici co powoduje, że niepewność związana z odczytem jest większa niż najmniejsza
działka taśmy mierniczej (1 mm). Dla starannie wykonanego pomiaru długości nici można przyjąć, że
szerokość przedziału granicznego jest nie większa niż
3 ÷ 5 mm, czyli połowa tego przedziału jest
równa
Δℎ = 1,5 ÷ 2,5 mm. Zgodnie z analizą dokonaną pod rysunkiem C.1 przyjęliśmy Δℎ =
0,2 cm = 2,0 mm. Ponieważ nie mamy żadnych informacji o możliwym rozkładzie gęstości
prawdopodobieństwa wyników pomiarów załóżmy dla bezpieczeństwa rozkład prostokątny, czyli
ℎ = Δℎ √3
⁄
≈ 0,155 cm. Średnia wartość wyników pomiaru długość nici wynosi
ℎ = 118,133 cm.
Ostatecznie wynik pomiaru długości nici możemy zapisać w postaci
ℎ = 118,13 16 cm.
2.2
Analiza pomiaru średnicy kulki
Pomiar średnicy kulki wykonano śrubą mikrometryczną. Śruba mikrometryczna pozwala na
pomiar z dokładnością rzędu
0,01 mm. Dokładność tego pomiaru jest o dwa rzędy wielkości lepsza
od dokładności pomiaru długości nici. Wobec tego niepewność pomiaru średnicy kulki praktycznie
nie będzie miała wpływu na niepewność pomiaru długości wahadła i można ją z góry pominąć, ale
dokonajmy analizy tego pomiaru, żebyśmy mogli poprawnie zapisać wynik tego pomiaru.
Zgodnie z analizą dokonaną pod rysunkiem C.1 przyjmujemy
Δ = 0,005 mm. Przyjmując
trójkątny rozkład gęstości prawdopodobieństwa dostajemy niepewność standardową pomiaru
średnicy kulki
= Δ √6
⁄
≈ 0,00204 mm. Zapis pomiaru średnicy kulki w notacji skróconej
wygląda następująco (zwróćmy uwagę na 4 zera zapisane po przecinku – są one tu obowiązkowe)
5
Jeśli we wzorach, za pomocą których wyliczamy wartość wielkości mierzonej pośrednio znajdują
się stałe fizyczne lub matematyczne, to musimy użyć przybliżeń tych stałych zawierających co
najmniej o dwie cyfry znaczące więcej niż inne liczby występujące w tym wzorze.
= 19,0000 20 mm.
Możemy teraz wyliczyć długość wahadła (pamiętajmy o wpisaniu długości nici i średnicy kulki w tych
samym jednostkach)
̅ = ℎ + ̅ 2
⁄ = 119,0833 cm.
Złożoną niepewność standardową tego pomiaru wyliczymy ze wzoru
= %+ ℎ , + +1 2
⁄
, ≈ 0,115 cm.
Jak już zauważyliśmy niepewność tego pomiaru jest praktycznie równa niepewności pomiaru długości
nici.
Ostatecznie długość wahadła wynosi
= 119,08 12 cm.
3.
Analiza pomiaru wartości przyśpieszenia ziemskiego
Wartość przyśpieszenia ziemskiego otrzymana w wyniku naszego pomiaru pośredniego wynosi
̅ = 4
̅
≈ 4 ∙ 3,141593
0,11908 .
2,1870 s ≈ 9,8291 m/s .
Zwróćmy uwagę na przybliżenie liczby zastosowane w powyższych obliczeniach.
W naszym wzorze liczby wynikające z pomiarów znamy z dokładnością do 4 i 5 cyfr znaczących.
Dlatego popularne przybliżenie liczby
≈ 3,14 byłoby za mało dokładne. Powinniśmy użyć
przybliżenia liczby z dokładnością do minimum 7 cyfr znaczących.
Zgodnie z prawem propagacji niepewności, niepewność standardowa pomiaru pośredniego będzie
dana wzorem (patrz rozdz. 6, w szczególności przykłady 2 i 5)
= ̅ ∙ /0 ̅ 1 + 0−2 ∙
1 ,
czyli
= 9,8291
m
s
/3 0,12
119,084 + 3
2 ∙ 0,0055
2,1870 4 ≈ 0,0507
m
s .
Ostatecznie dostajemy
= 9,829 51
m
s .
Wynik ten wyznacza nam tzw. przedział objęcia o granicach
9,829
5
6
7
− 0,051
5
6
7
= 9,778
5
6
7
i
9,829
5
6
7
+ 0,051
5
6
7
= 9,880
5
6
7
, czyli
9,778, 9,880
5
6
7
. Tablicowa wartość przyśpieszenia ziemskiego
dla Krakowa wynosi
89:.
= 9,81054 m/s . Wartość ta mieści się w wyznaczonym przez nas
6
przedziale, więc w sensie teorii pomiarów nasz wynik pomiaru możemy uznać za zgodny z wynikiem
tablicowym z prawdopodobieństwem ok. 0,7.
Obliczenia najwygodniej jest przeprowadzać przy użyciu jakiegoś programu kalkulacyjnego.
Rysunek C.2 przedstawia widok arkusza obliczeniowego w programie MS Excel utworzonego dla
omówionego w tym rozdziale przykładu.
Ćwiczenie 1. Arkusz obliczeniowy
Okres drgań
wahadła
Długość nici
Średnica kulki
Długość wahadła
Przyspieszenie
ziemskie
Średnia
wartość okresu
Średnia długość
nici
Średnia długość
nitki
[cm]
=
m
s >
T
śr.
[s]
h
śr.
[cm]
d
śr.
[mm]
119,0833
9,8291
2,18700
118,133
19,0000
niepewność
liczonametodą
A
(jeśli liczba
pom.>4)
niepewność
liczona metodą A
(jeśli liczba
pom.>4)
niepewność
liczona metodą A
(jeśli liczba
pom.>4)
niepewność
złożona
cm
niepewność
złożona
m
s
?
s
?
ℎ cm
?
mm
0,11547
0,0507
0,004726
0,0000
0,00000
niepewność
względna proc.
niepewność
względna proc.
niepewność
liczona metodą B
niepewność
liczona metodą B
niepewność
liczona metodą B
· 100 %
∙ 100 %
B
s
B
ℎ cm
B
mm
0,10%
0,52%
0,002887
0,1155
0,00204
niepewność
złożona
niepewność
złożona
niepewność
złożona
Wartość tablicowa
g
Tab
dla Krakowa
s
ℎ cm
mm
0,00554
0,1155
0,00204
9,8105
m
s
niepewność
względna proc.
niepewność
względna proc.
niepewność
względna proc.
· 100 %
ℎ
ℎ · 100 %
· 100 %
0,25%
0,10%
0,011%
= 2,1870 55 s
ℎ = 118,13 12 cm
= 19,0000 20 mm
= 119,08 12 cm
= 9,829 51
m
s
Rys. C.2 Widok arkusza kalkulacyjnego utworzonego w programie MS Excel na potrzeby analizy
danych przedstawionych na Rysunku C.1.
Gdyby wartość tablicowa nie mieściła się w wyznaczonym przez nas przedziale należałoby
sprawdzić, czy mieści się w przedziale wyliczonym na podstawie niepewności rozszerzonej.
Negatywny wynik tego drugiego porównania sugerowałby, że podczas pomiaru lub obliczeń
popełniono jakieś błędy. W takim przypadku należy spróbować znaleźć błędy, które do tego
doprowadziły. W szczególności możemy sprawdzić dwie hipotezy:
7
a)
błąd pomiaru wynika z błędnego pomiaru długości wahadła.
b)
błąd pomiaru wynika z błędnego pomiaru okresu wahadła.
W pierwszym przypadku liczymy błąd
, jaki musiałby być popełniony podczas pomiaru długości
wahadła, jeśli okres zmierzony był dokładnie:
Δ = ̅ −
8CDE.
= ̅ −
89:F
4
.
W drugim przypadku liczymy błąd
, jaki musiałby być popełniony podczas pomiaru okresu wahadła
jeśli długość
̅ zmierzona była dokładnie:
= −
8CDE.
= − 2 /
̅
89:F.
.
4.
Przykład analizy wyników prowadzących do wartości
G niezgodnej z
wartością tablicową
Ćwiczenie 1. Dane pomiarowe
Czas 10. wahnięć
Długość nici
Średnica kulki
L.p.
= 10 [s]
L.p.
ℎ [cm]
L.p.
[mm]
1.
22,1
1.
118,2
1.
19,00
2.
21,8
2.
118,2
2.
19,00
3.
22,0
3.
118,0
3.
19,00
4.
21,8
4.
4.
5.
21,6
5.
5.
6.
21,9
6.
6.
7.
22,4
7.
7.
8.
22,2
8.
8.
9.
22,1
9.
9.
10. 21,9
10.
10.
[s]
ℎ[cm]
[mm]
0,05
0,1
0,005
Otrzymano następujące, końcowe wyniki pomiarów:
= 2,1980 78 s,
ℎ = 117,950 41 cm,
= 19,0000 20 mm,
= 118,900 41 cm.
Stąd dostajemy
= 9,638 69
m
s .
8
A zatem przedział objęcia jest równy
9,570; 9,707
m
s .
Wartość tablicowa nie mieści się w tym przedziale. Przedział objęcia oparty na niepewności
rozszerzonej
I
= J ∙
ze współczynnikiem rozszerzenia
J = 2 jest równy
9,501; 9,776
m
s
i nadal nie zawiera wartości tablicowej, chociaż jest przedziałem obejmującym ok. 95% rozkładu
prawdopodobieństwa wyników pomiaru wartości . Sprawdźmy zatem dwie hipotezy wymienione w
punkcie 3.
Według hipotezy a) popełniono błąd w pomiarze długości wahadła. Błąd ten musiałby wynosić:
Δ = −1,16 cm.
Jest mało prawdopodobne abyśmy pomylili się w pomiarze długości wahadła aż o 12 mm, chociaż
należałoby powtórzyć pomiar długości, aby zweryfikować tę hipotezę.
Według hipotezy b) popełniono błąd w pomiarze okresu wahadła. Błąd ten musiałby wynosić:
Δ = 0,011 s.
Oznacza to, że podczas pomiaru czasu trwania 10. wahnięć popełnialiśmy systematycznie błąd
Δ = 0,11 s.
Hipoteza b) wydaje się dość wiarygodna (patrz uwaga w punkcie a pod rysunkiem C.1). Należałoby
zatem przyjrzeć się naszemu sposobowi pomiaru, zauważyć nieprawidłowości w naszych pomiarach i
powtórzyć pomiary okresu wahadła z większą starannością. Można by również zwiększyć liczbę
wahnięć z 10. do np. 30.