10/ 1
RUCH DRGAJĄCY
(5 stron)
Obserwowany w naturze ruch można podzielić na dwie klasy:
•
ruch oscylacyjny, gdy poruszający się obiekt pozostaje w pobliżu pewnego ustalonego
miejsca np. oscylacja wahadła, drgania struny, ruch elektronów w atomie, ruch fotonów
pomiędzy zwierciadłami lasera,
•
ruch postępowy, gdy ciało przemieszcza się swobodnie nie związane z żadnym
punktem, ruch pojazdów, ruch światła wysyłanego w otwartą przestrzeń, ruch
odkształcenia biegnącego wzdłuż napiętej liny.
Czasami jedno zjawisko wykazuje cechy obu ruchów (np. fale morskie).
Najprostsze są układy drgające, które mają jeden stopień swobody. Jest to np. kąt wychylenia
dla wahadła płaskiego, zmiana długości dla sprężyny lub wartości ładunku na okładkach
kondensatora dla układu LC .
Dla wszystkich tych układów wzbudzonych w chwili początkowej a następnie oscylujących
swobodnie bez dalszej ingerencji z zewnątrz wychylenie ruchomego elementu z położenia
równowagi charakteryzuje ta sama prosta zależność ( prawdziwa dla małych wychyleń )
)
(cos
)
(
ϕ
ω
ψ
+
=
t
A
t
gdzie: A – amplituda,
ω
- częstość kątowa [rad/s]
ϕ
- przesunięcie fazowe. Wartość
ϕ
zależy od chwili rozpoczęcia pomiaru czasu i nie jest na ogół istotna dla charakteru ruchu.
Można tak nastawić zegar aby
ϕ
= 0 (Wartość
ϕ
ma znaczenie przy nakładaniu się ruchów
drgających, czyli superpozycji). Czasem zamiast częstości kątowej stosuje się częstość f =
ω
/2
π
[1/s = 1Hz] (oznaczaną też często symbolem
ν)
lub okres drgań T= 1/f.
Powstanie drgań jest zawsze efektem nałożenia dwóch własności danego układu :
siły kierującej i bezwładności. Siła kierująca usiłuje przywrócić układ do położenia
równowagi, przy czym im większe odchylenie od tego położenia tym większa siła .
F = - kx
Siła ta nadaje układowi pewną prędkość. Prędkość jest maksymalna w położeniu równowagi
i dzięki bezwładności powoduje wychylenie układu w drugą stronę tak daleko, aż nie
zatrzyma go siła kierująca zwrócona zawsze do punktu równowagi. Z drugiej zasady
dynamiki Newtona otrzymujemy
kx
ma
−
=
. Po uporządkowaniu równanie ruchu ma
postać:
x
m
k
dt
x
d
−
=
2
2
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja
)
cos(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
, gdzie
ω
2
= k/m
.
Można to sprawdzić przez podstawienie. Po wstawieniu do równania ruchu x(t) oraz a(t):
)
cos(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
sin(
)
(
ϕ
ω
ω
+
−
=
t
A
t
v
)
cos(
)
(
2
ϕ
ω
ω
+
−
=
t
A
t
a
otrzymuje się
)
(
)
(
2
t
x
t
a
ω
−
=
Widać stąd, że funkcja x(t) = Acos(
ω
t+
ϕ
) jest rozwiązaniem równania drgań niezależnie od
wartości A i
ϕ
. Stałe A i
ϕ
wyznaczamy z warunków początkowych.
10/ 2
Rozwiązanie
)
cos(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
można przedstawić jako część rzeczywistą funkcji
zespolonej:
t
i
t
i
i
t
i
e
A
e
Ae
Ae
t
x
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
ˆ
)
(
~
)
(
=
=
=
+
1
−
=
i
gdzie
ϕ
i
Ae
A
=
ˆ
, nazywane zespoloną amplitudą drgań zawiera informacje o amplitudzie i
fazie drgań.
)
cos(
)
(
~
Re
)
(
ϕ
ω
−
=
=
t
A
t
x
t
x
Przykład 1
Masa na sprężynie o współczynniku sprężystości k.
Równanie ruchu
ma =
−
kx
a =
− ω
2
x
gdzie
m
k /
=
ω
a okres drgań:
k
m
T
π
2
=
Przykład 2
Wahadło matematyczne
Kulka porusza się po łuku okręgu o promieniu l.
Długość drogi kulki jest proporcjonalna do kąta,
ds = l
d
θ
,
stąd prędkość
v = l
(d
θ
/dt)
oraz przyspieszenie
a = l
(d
2
θ
/dt
2
)
Siła powodująca drgania jest składową siły
ciężkości
ϕ
sin
mg
F
=
.
Po podstawieniu do
F
ma
=
otrzymuje się
θ
θ
sin
2
2
mg
dt
d
ml
−
=
Dla małych kątów wychylenia można przyjąć przybliżenie:
θ
θ
≈
sin
( kąt w radianach)
stąd
θ
θ
mg
dt
d
ml
−
=
2
2
a po podstawieniu
ω
0
2
= g
/
l
θ
ω
θ
2
0
2
2
−
=
dt
d
Ogólne rozwiązanie tego równania jest
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
θ
−
=
t
A
t
.
m
k
10/ 3
DODAWANIE (SUPERPOZYCJA) DRGAŃ
Równanie różniczkowe
x
dt
x
d
2
2
2
ω
−
=
jest równaniem liniowym (gdyby występowały
wyższe potęgi x byłoby ono nieliniowe) oraz jednorodnym (bo nie występują wyrazy
niezależne od x).Ważną własnością liniowych równań jednorodnych jest to, że suma dwóch
dowolnych rozwiązań tego równania jest też jego rozwiązaniem.
Zasada superpozycji drgań:
Jeśli ciało podlega jednocześnie kilku drganiom to jego wychylenie z położenia równowagi
jest sumą wychyleń wynikających z każdego ruchu.
Przypuśćmy, że znaleźliśmy dwa rozwiązania równania drgań x
1
(t) i x
2
(t) odpowiadające
warunkom początkowym x
1
0
, x
2
0
oraz v
1
0
, v
2
0
. Jeżeli ciału nadamy małe wychylenie
początkowe x
0
= x
1
0
+ x
2
0
oraz prędkość początkową v
0
= v
1
0
+ v
2
0
wówczas jego drgania
będą opisane zależnością x(t) = x
1
(t) + x
2
(t)
1.
Składanie drgań przesuniętych w fazie
Drgania harmoniczne można przedstawić w postaci
obracającego się wektora amplitudy.
Jeśli wektor o długości A obraca się z prędkością
kątową
ω
w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara to jego rzut na oś x wynosi
)
cos(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
x
Jeżeli występują dwa ruchy harmoniczne
)
cos(
i
i
i
t
A
x
ϕ
ω
+
=
dla i=1, 2 to można
je przedstawić jako rzut sumy wektorów
2
1
A
A
A
+
=
•
)
cos(
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
ϕ
ϕ
−
−
+
=
A
A
A
A
A
z twierdzenia cosinusów
•
x
y
=
ϕ
tg
2
2
1
1
2
2
1
1
cos
cos
sin
sin
tg
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
A
A
A
A
+
+
=
2.
Składanie drgań o dwóch stopniach swobody
Na przykład ciężarek o masie M na nici o długości l może wahać się w kierunku x lub y
(wahadło sferyczne)
−
=
−
=
y
l
Mg
dt
y
d
M
x
l
Mg
dt
x
d
M
2
2
2
2
10/ 4
Równania są rozdzielone (x nie zależy od y a y nie zależy od x) więc możne je rozwiązać
niezależnie, otrzymując
)
cos(
)
(
1
0
1
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
oraz
)
cos(
)
(
2
0
2
ϕ
ω
+
=
t
A
t
y
,
gdzie
l
g /
0
=
ω
Pełny ruch jest superpozycją ruchów kierunku x i w kierunku y -
)
(
ˆ
)
(
ˆ
t
y
y
t
x
x
r
+
=
3.
Składanie drgań o różnych częstościach
a) superpozycja drgań o różnych częstościach
i kierunkach
)
cos(
1
1
1
ϕ
ω
+
=
t
A
x
)
cos(
2
2
2
ϕ
ω
+
=
t
A
y
tor punktu mieści się wewnątrz prostokąta
2A
1
, 2A
2
.
Gdy
2
1
/
ω
ω
jest liczbą wymierną to punkt
zakreśla
krzywe
zamknięte
zwane
figurami Lissajous. Jeśli
2
1
ω
ω
=
punkt
zakreśla krzywe w kształcie elipsy.
b) superpozycja drgań o różnych częstościach, ale w tym samym kierunku
t
A
x
1
1
cos
ω
=
2
cos
2
cos
2
cos
cos
β
α
β
α
β
α
−
+
=
+
t
A
x
2
2
cos
ω
=
(
)
t
t
A
t
t
A
t
t
A
x
x
x
ś
r
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
cos
2
cos
2
2
cos
2
cos
2
cos
cos
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
⋅
−
=
−
⋅
+
=
=
+
=
+
=
(
)
ś
r
ω
ω
ω
=
+
2
1
2
1
(
)
mod
2
1
2
1
ω
ω
ω
=
−
Otrzymaliśmy oscylacje o częstości kątowej
ś
r
ω
i amplitudzie
t
A
A
2
cos
2
2
1
mod
ω
ω
−
=
Przy niewielkiej różnicy częstości otrzymuje się tzw. dudnienia
o okresie T
D
= T/2, gdzie
T = 2
π
/
ω
mod
jest okresem modulacji.
10/ 5
ANALIZA FOURIERA
Dowolnie złożony ruch periodyczny, x = f(t), o okresie T można przedstawić w postaci sumy
prostych drgań harmonicznych o częstościach kołowych będących wielokrotnościami
podstawowej częstości kołowej
ω
= 2
π
/ T
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
sin
cos
(
2
)
(
n
n
n
t
n
b
t
n
a
a
t
f
ω
ω
lub
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
sin(
2
)
(
n
n
n
t
n
A
a
t
f
ϕ
ω
)
(n
dt
t
n
t
f
T
a
T
T
n
1,2,3,...
cos
)
(
2
2
/
2
/
=
=
∫
−
ω
)
(n
dt
t
n
t
f
T
b
T
T
n
1,2,3,...
sin
)
(
2
2
/
2
/
=
=
∫
−
ω
ENERGIA DRGAŃ
Ponieważ nie uwzględniliśmy wpływu tarcia ani oporu powietrza to dla układu wykonującego
drgania powinna być spełniona zasada zachowania energii mechanicznej.
Niech
)
cos(
0
ϕ
ω
−
=
t
A
x
m
k
=
2
ω
)
sin(
0
0
ϕ
ω
ω
−
−
=
t
A
v
Energia kinetyczna
)
(
sin
2
1
2
1
0
2
2
2
2
ϕ
ω
ω
−
=
=
t
A
m
mv
T
Energia potencjalna
2
0
0
2
1
kx
kxdx
dx
F
U
x
x
z
∫
∫
=
=
=
)
(
cos
2
1
0
2
2
ϕ
ω
−
=
t
kA
U
Energia całkowita
.
2
1
)]
(
cos
)
(
[sin
2
1
2
2
0
2
0
2
2
2
const
A
m
t
t
A
m
U
T
E
=
=
−
+
−
=
+
=
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
Energia całkowita jest stała i zależy od kwadratu amplitudy drgań, natomiast energia
kinetyczna i potencjalna zamieniają się od zera do wartości maksymalnej równej E.
Następuje ciągła przemiana energii kinetycznej w potencjalną i z powrotem.