Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1. Obserwujemy działanie pewnego urządzenia w kolejnych chwilach
.. Działanie tego urządzenia zależy od pracy dwóch podzespołów A i B.
Każdy z nich może ulec awarii w jednostce czasu z prawdopodobieństwem 0,1
niezależnie od drugiego. Jeżeli jeden z podzespołów ulega awarii, to urządzenie nie
jest naprawiane i działa dalej wykorzystując drugi podzespół. Jeżeli oba podzespoły
są niesprawne w chwili t, to następuje ich naprawa i w chwili t+1 oba są sprawne.
Prawdopodobieństwo, że podzespół B jest sprawny w chwili t dąży, przy t dążącym
do nieskończoności, do następującej liczby (z dokładnością do 0,001):
,
2
,
1
,
0
K
=
t
(A)
0,635
(B)
0,655
(C)
0,345
(D)
0,474
(E)
0,602.
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o
jednakowym rozkładzie wykładniczym o gęstości
,...
,
,
,
2
1
n
X
X
X
K
≤
>
=
−
,
0
gdy
0
0
gdy
)
(
x
x
e
x
f
x
α
α
gdzie
0
>
α
jest ustalonym parametrem.
Niech N będzie zmienną losową, niezależną od
, o rozkładzie
ujemnym dwumianowym
dla
,...
,....,
,
2
1
n
X
X
X
n
p
)
1
(
−
0
r
p
n
r
n
n
N
P
1
)
(
−
+
=
=
,......
2
,
1
,
=
n
, gdzie
r
>0 i
są ustalonymi parametrami. Niech
)
1
;
0
(
∈
p
=
>
=
.
0
0
0
)
,
,
,
min(
2
1
N
gdy
N
gdy
X
X
X
Z
N
N
K
Oblicz
i Var
.
)
(
N
NZ
E
)
(
N
NZ
(A)
α
1
)
(
=
N
NZ
E
i
2
1
)
(
α
=
N
NZ
Var
(B)
α
r
N
p
NZ
E
−
=
1
)
(
i
2
1
)
(
α
r
N
p
NZ
−
=
Var
(C)
α
r
N
p
NZ
E
−
=
1
)
(
i
2
2
1
)
(
α
r
N
p
NZ
−
=
Var
(D)
α
p
p
r
NZ
E
N
)
1
(
)
(
−
=
i
2
2
)
1
(
)
(
α
p
p
r
NZ
N
Var
−
=
(E)
α
r
N
p
NZ
E
−
=
1
)
(
i
α
r
N
p
NZ
2
1
)
(
−
=
Var
.
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech
będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
)
,
(
Y
X
(x
f
4
)
2
=
∈
>
=
−
przypadku.
przeciwnym
w
0
)
1
;
0
(
i
0
gdy
)
,
y
x
e
y
x
Niech
Y
X
Z
2
+
=
. Wtedy łączny rozkład zmiennych Z, X jest taki, że
(A)
zmienne Z i X są niezależne;
(B)
jego funkcja gęstości na zbiorze {(
}
2
0
:
)
,
<
<
<
z
x
x
z
wyraża się wzorem
x
e
x
z
g
−
=
4
1
)
,
(
;
(C)
;
|
(
=
X
Z
E
(D)
jego funkcja gęstości na zbiorze {(
}
2
0
:
)
,
x
z
x
x
z
+
<
<
<
wyraża się wzorem
x
e
x
z
g
−
=
2
1
)
,
(
;
(E)
jego funkcja gęstości na zbiorze {(
}
1
0
:
)
,
x
z
x
x
z
+
<
<
<
wyraża się wzorem
x
e
x
z
g
−
=
)
,
(
.
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Dysponujemy
(N
1
+
N
>1) identycznymi urnami. Każda z nich zawiera
kul białych i czarnych. Liczba kul białych w
N
−
i tej urnie jest równa
, gdzie
1
−
i
.
1
,....,
2
,
1
+
N
=
i
)
1
(
2
1
+
−
N
N
)
1
(
2
+
N
N
1
1
+
−
N
N
3
2
Losujemy urnę, a następnie ciągniemy z niej jedną kulę i okazuje się, że otrzymana
kula jest biała. Oblicz prawdopodobieństwo, że ciągnąc drugą kulę z tej samej urny
(bez zwracania pierwszej) również otrzymamy kulę białą.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2
1
.
Wskazówka:
3
)
1
(
)
1
(
)
1
(
4
3
3
2
2
1
+
−
=
−
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
N
N
N
N
N
K
.
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
Weibulla o gęstości
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
=
)
(x
f
θ
aY
T
n
=
n
{|
lim
0
>
∞
→
ε
θ
n
T
P
<
<
∞
→
θ
ε
lim
0
n
P
>
∞
→
ε
θ
{|
lim
0
n
T
P
<
<
∞
→
θ
ε
lim
0
n
P
{|
lim
0
>
∞
→
ε
θ
n
P
≤
>
−
,
0
gdy
0
0
gdy
)
exp(
2
2
x
x
x
x
θ
θ
gdzie
0
>
θ
jest nieznanym parametrem. Rozważamy nieobciążony estymator
parametru
θ
postaci
, gdzie
i a
)
,
,
,
min(
2
2
2
2
1
n
X
X
X
Y
K
=
jest odpowiednio
dobraną stałą (być może zależną od liczebności próby n).
Badając zgodność estymatora T otrzymujemy
(A)
0
}
|
0
=
>
−
∀
>
∀
ε
θ
θ
n
;
(B)
−
−
−
−
=
>
−
∀
>
∀
θ
ε
θ
ε
ε
θ
θ
θ
exp
exp
)
1
exp(
1
}
|
{|
0
n
T
;
(C)
−
−
−
−
=
>
−
∀
>
∀
θ
ε
θ
ε
ε
θ
θ
exp
exp
)
1
exp(
1
}
|
0
n
;
(D)
−
−
=
>
−
∀
>
∀
θ
ε
ε
θ
θ
θ
1
exp
}
|
{|
0
n
T
;
(E)
1
}
|
0
=
>
−
∀
>
∀
ε
θ
θ
n
T
.
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Każda ze zmiennych losowych
ma rozkład normalny
z nieznaną wartością oczekiwaną i znaną wariancją
. Założono, że
zmienne są niezależne i wyznaczono (przy tych założeniach) test jednostajnie
najmocniejszy dla testowania hipotezy
100
2
1
,
,
,
X
X
X
K
0
:
)
,
(
2
σ
µ
N
2
σ
0
µ
µ
=
H
przy alternatywie
0
1
:
µ
µ
>
H
na
poziomie istotności 0,05.
100
,
,
X
K
2
X
)
,
(
=
j
i
X
X
Corr
i
W rzeczywistości zmienne losowe
mają łączny rozkład normalny, ale
są skorelowane i współczynnik korelacji
1
,
X
10
1
dla wszystkich
j
≠ .
Oblicz faktyczny błąd pierwszego rodzaju testu z dokładnością do 0,01.
(A)
0,75
(B)
0,25
(C)
0,31
(D)
0,69
(E)
0,48
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
7. Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy
czym zmienna losowa
ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej m
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
i
X
0
≠
i wariancji
, i=1,2,3,4, gdzie
m
jest nieznanym parametrem. Rozważamy estymatory
parametru m
2
im
postaci
4
4
3
3
2
2
1
1
ˆ
X
a
X
a
X
a
X
a
m
+
+
+
=
.
Znaleźć współczynniki
, dla których estymator ma najmniejszy błąd
średniokwadratowy , czyli współczynniki minimalizujące funkcję
4
,
3
,
2
,
1
,
=
i
a
i
2
)
ˆ
(
m
m
E
m
−
(A)
4
1
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
(B)
25
3
,
25
4
,
25
6
,
25
12
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
(C)
10
1
,
10
2
,
10
3
,
10
4
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
(D)
12
1
,
12
2
,
12
3
,
12
4
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
(E)
37
3
,
37
4
,
37
6
,
37
12
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8. Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 0,5 i niech
będzie zmienną
losową niezależną od
, o rozkładzie Poissona z wartością
oczekiwaną równą 3.
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
>
≤
,
gdy
d
X
d
X
i
i
i
N
K
Niech
−
=
gdy
0
d
X
Y
i
i
gdzie
jest ustaloną liczbą dodatnią. Wyznaczyć funkcję tworzącą momenty
zmiennej
w punkcie 1, a więc
.
d
∑
=
=
N
i
Y
Z
1
)
(
Z
e
E
(A)
)
1
2
(
3
2
−
− d
e
e
(B)
d
e
e
2
3
−
(C)
3
e
(D)
3
2
)
1
(
d
e
−
+
(E)
.
d
e
6
8
−
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9. Zmienne losowe
są niezależne i mają jednakową wariancję
. Niech
i V
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
n
X
+
K
2
σ
X
X
U
+
+
=
2
1
3
n
n
X
X
X
X
2
1
2
1
+
+
+
+
=
−
K
. Wyznaczyć
współczynnik korelacji między
U
i
V
.
8
8
3
+
+
)
1
)(
2
3
+
+
+
n
n
8
3
)
1
)(
2
3
+
+
n
n
(A)
1
+
n
(B)
n
n
(C)
(n
(D)
+
+
n
n
(E)
(
+
n
.
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10. Niech
będzie próbą z rozkładu jednostajnego o gęstości
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
∈
przypadku.
przeciwnym
)
;
0
(
gdy
θ
x
≤
>
.
0
0
θ
θ
gdy
gdy
3
max(
1
4
:
4
x
x
=
3
:
)
,
,
4
:
4
4
3
>
x
x
x
4
:
4
4
3
3
:
)
,
,
>
x
x
x
=
w
0
1
)
(
θ
θ
x
f
Zakładamy, że nieznany parametr
θ
jest zmienną losową o rozkładzie z funkcją
gęstości daną wzorem
=
−
0
3
4
)
(
2
4
θ
θ
π
θ
e
Hipotezę
:
0
≤
θ
H
przy alternatywie
3
:
1
>
θ
H
odrzucamy dla tych wartości
, dla których prawdopodobieństwo a posteriori zbioru
)
,
4
x
,
,
(
3
2
1
x
x
x
}
{
3
:
>
θ
θ
jest
większe niż
2
1
. Niech
.
)
,
4
x
,
,
3
2
x
x
Obszar krytyczny jest zbiorem postaci
(A)
{
}
,
(
2
1
=
x
x
K
(B)
{
}
4
2
1
95
,
0
,
(
=
x
x
K
(C)
−
>
=
2
2
ln
3
:
)
,
,
,
(
4
:
4
4
3
2
1
x
x
x
x
x
K
(D)
<
=
4
4
:
4
4
3
2
1
2
3
:
)
,
,
,
(
x
x
x
x
x
K
(E)
żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna.
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
11
Egzamin dla Aktuariuszy z 11 października 2004 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi
*
Imię i nazwisko : ......................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
♦
1
A
2
C
3
D
4
D
5
B
6
C
7
E
8
B
9
B
10
C
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.