Warunki periodyczności Borna-Karmana:
Aby opisać kryształ o skończonej liczbie N atomów, musimy atomowi o indeksie
1
+
N
przypisać numer 1.
Można sobie wyobrazić, że gdy mamy jednowymiarowy kryształ, zamykamy go w „kryształ cykliczny”:
Z kolei kryształ 2-wymiarowy: w torus
(nie sposób sobie wyobrazić analogicznej operacji na krysztale 3-wymiarowym, ale dokonujemy tego w
rachunkach)
Funkcja Blocha musi zatem spełniać warunek:
)
(
)
(
1
1
)
(
1
1
x
u
e
a
N
x
u
e
k
x
k
i
k
a
N
x
k
i
x
x
=
+
+
, (gdy rozpatrujemy jeden kierunek, np.
x
)
1
1
1
=
a
N
k
i
x
e
, gdy
1
1
1
2 n
a
N
k
x
π
=
,
1
1
...,
,
3
,
2
,
1
N
n
=
Wynika stąd, że wektor falowy musi być równy:
1
1
1
2
N
n
a
k
x
n
π
=
Analogicznie dla pozostałych kierunków:
2
2
2
2
N
n
a
k
y
n
π
=
3
3
3
2
N
n
a
k
z
n
π
=
Wszystkich atomów mamy
3
2
1
N
N
N
N
⋅
⋅
=
Objętość komórki elementarnej:
V
L
L
L
N
a
N
a
N
a
V
k
3
3
2
1
3
3
2
2
1
1
8
2
2
2
π
π
π
π
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
, gdzie
V - objętość kryształu
Gęstość stanów w przestrzeni kryształu:
3
3
8
1
8
1
)
(
π
π
ρ
→
=
=
V
V
k
k
, jeśli przyjmiemy jednostkową objętość
Gdy uwzględnimy spin, gęstość stanów wzrośnie dwukrotnie:
3
3
4
1
4
)
(
π
π
ρ
→
=
V
k