Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw B1
Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć
Z
x
√
1 − x
4
dx.
Rozwi¸
azanie
Stosujemy podstawienie y = x
2
.
Z
x
√
1 − x
4
dx =
1
2
Z
y
p(1 − y)
2
dy =
1
2
arcsin y + C =
1
2
arcsin x
2
+ C
Zadanie 2
Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x
2
i g(x) = 1 − x
2
Rozwi¸
azanie
Znajdujemy punkty wspólne parabol, rozwi¸
azuj¸
ac układ równań y = x
2
i y = 1 − x
2
.
Otrzymujemy punkty (−
√
2/2, 1/2), (
√
2/2, 1/2).
Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY, st¸
ad jego pole P (O)
|P (O)| =
Z
√
2/2
−
√
2/2
(1 − x
2
− x
2
)dx = 2
Z
√
2/2
0
(1 − 2x
2
)dx =
2
3
√
2.
Zadanie 3
Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji
f (x) =
ln(x)
√
x
.
1
Rozwi¸
azanie
Dziedzin¸
a funkcji f (x) jest jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich.
Obliczamy pochodn¸
a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).
f
0
(x) =
√
x
x
−
lnx
2
√
x
√
x
2
=
x(2 − lnx)
2
√
x
5
.
f
0
(x) > 0, gdy x ∈ (0, e
2
).
f
0
(x) < 0, gdy x ∈ (e
2
, ∞).
Funkcja f (x) jest ściśle rosn¸
aca na przdziale (0, e
2
) i ściśle malej¸
aca na (e
2
, ∞).
W punkcie (e
2
, 2/e) posiada maksimum lokalne właściwe.
Zadanie 4
Prosz¸e napisać trzy pierwsze wyrazy rozwini¸ecia Taylora w otoczeniu punktu a = 1
dla funkcji
f (x) = 2
x
.
Rozwi¸
azanie
f (x) = f (0) + f
(1)
(1)(x − 1) + f
(2)
(1)
(x − 1)
2
2!
+ f
(3)
(c)
(x − 1)
3
3!
.
gdzie c ∈ [0, x].
Obliczamy kolejne pochodne funkcji f (x) do rz¸edu trzeciego wł¸
acznie.
f (1) = 2
1
= 2.
f
(1)
(x) = 2
x
ln(2), f
0
(1) = 2ln2.
f
(2)
(x) = 2
x
ln
2
(2), f
(2)
(1) = 2ln
2
(2).
f
(3)
(c) = 2
x
ln
3
(2) , f
(3)
(1) = 2
c
ln
3
(2).
St¸
ad
f (x) = 2
x
= 2 + 2ln(2)(x − 1) + ln
2
(2)(x − 1)
2
+
2
c
6
ln
3
(2)(x − 1)
3
.
gdzie c ∈ [1, x].
2