Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska
Wykład 3
Gradient
Gradient jest liniowym operatorem przekształcającym funkcję skalarną u(x,y,z) w pole
wektorowe, którego składowymi są pochodne cząstkowe u względem współrzędnych
kartezjańskich.
T
z
y
x
z
u
y
u
x
u
u
u
u
u
u
,
,
grad
u
wskazuje w kierunku największego wzrostu wartości funkcji u, podczas gdy
u
wskazuje
w kierunku najszybszego zmniejszania się jej wartości.
Dywergencja
Drugim bardzo ważnym operatorem wektorowym jest operator dywergencji. Dywergencja
przekształca pole wektorowe
T
v
v
v
)
,
,
(
3
2
1
v
w pole skalarne
v
f
:
z
v
y
v
x
v
3
2
1
div
v
v
Operator dywergencji opisuje ‘gromadzenie’ (kumulowanie się) jakiejś wielkości (ładunku,
masy, itd.).
Przypadek jednowymiarowy (1D)
Operatory gradientu i dywergencji w przypadku jednowymiarowym wyrażają się poprzez
pochodną.
Operator i równanie Laplace’a
Połączenie operatora dywergencji i gradientu daje w wyniku operator Laplace’a:
2
2
2
2
2
2
2
grad
div
z
u
y
u
x
u
u
u
u
u
u
u
u
zz
yy
xx
.
Zauważmy, że jest to ta sama sekwencja operatorów, jaka pojawiła się w równaniu przepływu
w warstwie nasyconej w przykładzie z wysypiskiem, dla przypadku gdy współczynnik filtracji
1
K
.
Równanie Laplace’a otrzymuje się przyrównując operator Laplace’a do zera. Jest to rówanie
jednorodne.
Jego niejednorodny odpowiednik nazywa się równaniem Poissona:
0
u
równanie Laplace’a.
f
u
równanie Poissona.
Są to równania różniczkowe cząstkowe, drugiego rzędu, eliptyczne.
Operator dywergencji działający na dowolne pole wektorowe opisuje gromadzenie się jakiejś
wielkości. A zatem równanie:
0
div
q
q
oznacza brak kumulacji. Czyli w ‘nieskończenie małym otoczeniu” każdego punktu nic się nie
gromadzi ani nic nie ubywa.
Ponieważ można powiedzieć, że operator dywergencji mierzy różnicę między tym, co wchodzi
w obszar ‘maleńkiego sąsiedztwa’ danego punktu, i tym, co opuszcza ten obszar, równanie
0
div
q
q
jest matematycznym wyrazem prawa zachowania masy.
2006-10-29
1
Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska
Wykład 3
Na wektor q występujący w tym równaniu mówi się strumień, np. strumień masy, strumień
koncentracji, strumień objętościowy. Strumień jest wektorem, ze wszystkimi tego
konsekwencjami: posiada kierunek, zwrot, itd. Na przykład w omawianym wcześniej równaniu
przepływu (przykład z wysypiskiem), wyrażającym prawo zachowania masy
0
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
h
z
y
x
K
wyrażenie
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
h
z
y
x
K
q
.
oznacza strumień objętościowy.
Zauważmy na marginesie, że właśnie udało mi się zapisać równanie przepływu w postaci
układu równań:
0
div
q
q
)
,
(
)
,
(
z
x
h
z
x
K
q
Bardzo wiele zjawisk można opisać za pomocą takiego samego równania. Oprócz omawianego
przykładu przepływu w warstwie nasyconej, równanie to opisuje rozkład temperatury (stan
ustalony; współczynnik K oznacza wtedy współczynnik przewodnictwa cieplnego), wychylenie
membrany w wyniku działania na nią siły, rozkład potencjału w wyniku przyłożonego napięcia
(elektrostatyka, K oznacza wtedy współczynnik przewodności, zaś strumień q odpowiada
natężeniu prądu).
Procesy – prawa zachowania
Wiele RRCz opisujących rzeczywiste procesy może zostać wyprowadzonych na podstawie
zasad zachowania.
Rozważamy przypadek 1D.
Załóżmy, że u(x,t) oznacza koncentrację lub gęstość pewnej substancji (np. zanieczyszczenie)
Ilość substancji u znajdującą się w odcinku
2
1
x
x
x
w chwili t można opisać za pomocą całki
2
1
)
,
(
x
x
dx
t
x
u
.
Całka ta reprezentuje całkowitą masę substancji znajdującą się w odcinku
]
,
[
2
1
x
x
w chwili t.
Jeśli założy się, że w obrębie odcinka masa nie jest tworzona ani nie znika (brak źródeł oraz
wypływów), to zmiana masy substancji może nastąpić tylko w wyniku strumienia
przepływającego przez punkty krańcowe odcinka. Strumień może być zadany poprzez pewną
funkcję f. W najprostszym przypadku strumień f zależy tylko od wartości funkcji u.
Prawo zachowania wyraża się wtedy:
0
))
,
(
(
)
,
(
t
x
u
f
x
t
x
u
t
Adwekcja
Jeśli substancja jest przenoszona wzdłuż odcinka w wyniku przepływu o prędkości a, to wtedy
strumień f wyraża się jako
au
u
f
)
(
bo tyle substancji przechodzi przez punkt w jednostce czasu.
Przy założeniu, że jest to jedyne zachodzące zjawisko, otrzymuje się prawo zachowania w
postaci równania adwekcji:
0
x
t
au
u
2006-10-29
2
Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska
Wykład 3
Jest to równanie hiperboliczne (bo jest równaniem pierwszego rzędu). Jego rozwiązanie dla
danego warunku początkowego
)
0
,
(
)
(
0
x
u
x
u
wyraża przemieszczanie się początkowego
profilu z prędkością a:
)
(
)
,
(
0
at
x
u
t
x
u
Dyfuzja
Ruch substancji (w skali makroskopowej) może być wynikiem molekularnej dyfuzji, która
powoduje przemieszczanie się cząstek substancji z obszarów o większym stężeniu (gęstości) do
obszarów o stężeniu mniejszym. Można pokazać, że strumień jest proporcjonalny do gradientu
u
(w przypadku jednowymiarowym do pochodnej
x
u
). A zatem mamy:
x
x
u
u
f
)
(
, lub bardziej ogólnie:
u
u
f
)
(
.
Ta zależność jest znana jako prawo Ficka.
Ale:
gdy u oznacza temperaturę, jest to prawo Fouriera przewodnictwa ciepła,
gdy u oznacza wysokość hydrauliczną – prawo Darcy,
gdy u oznacza potencjał – prawo Ohma.
Po podstawieniu tak zdefiniowanego strumienia do prawa zachowania otrzymuje się równanie
dyfuzji:
xx
t
u
u
(dla stałej wartości ).
W ogólnym przypadku (więcej wymiarów i dla
)
(x
) równanie dyfuzji ma postać:
)
)
,
,
(
(
u
z
y
x
u
t
Adwekcja i dyfuzja
Jeżeli równocześnie występuje adwekcja i dyfuzja, strumień wyraża się zależnością:
x
x
u
au
u
u
f
)
,
(
a równanie adwekcji-dyfuzji wyraża się następująco:
xx
t
u
au
u
Równania dyfuzji oraz adwekcji-dyfuzji należą do klasy równań parabolicznych. Równanie
adwekcji-dyfuzji jest wykorzystywane do modelowania transportu zanieczyszczeń.
Składniki źródłowe
W niektórych sytuacjach koncentracja (ogólnie, wielkość reprezentowana przez u) ulega
zmianie z powodu występowania źródeł lub upustów substancji. Jeśli działanie takiego
źródła/upustu są wyrażone za pomocą funkcji
)
,
( t
x
to otrzymuje się następujące równanie:
xx
t
u
au
u
Reakcja-dyfuzja
Jednym z powodów pojawiania się składników źródłowych są reakcje chemiczne. Równania
reakcji-dyfuzji mają postać:
)
(u
u
u
xx
t
.
W równaniu może pojawić się również składnik adwekcyjny jeśli reakcja zachodzi w
‘przepływie’.
2006-10-29
3