ANALIZA MATEMATYCZNA sem. 1. EGZAMIN (3.02.2009) 
 
Imię i nazwisko                                                                                       grupa 
 
1.  Sformułować i udowodnić  twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego. Korzystając z 

tego twierdzenia uzasadnić zbieżność ciągu: 

n

e

e

e

a

n

n















1

2

1

1

1

2





. 

2.  Podać definicję ciągłości funkcji w punkcie. Określić wartość funkcji 

 

5

3

2

5 x

ctg

x

)

x

(

f



 w punkcie 

0

0



x

 tak, aby funkcja f  była ciągła w tym punkcie. 

3.  Wyznaczyć równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach możliwie najniższego 

rzędu, jeżeli liczby  

0

2

1









,

i

są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tego równania. 

Sprawdzić, że funkcje: 

 

 

 

x

sin

x

y

,

x

cos

x

y

,

`

x

y







3

2

1

1

 tworzą fundamentalny układ rozwiązań 

tego równania. 

 

4.  Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji 

 





x

ln

ctg

c

ar

cos

)

x

(

f



 w punkcie 





)

(

f

,

1

1

. 

 

5.  Obliczyć całkę: 



dx

x

sin

e

x

3

2

 

 

6.  Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: 

 

y

y

x

x

y

,

x

f







8