8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
1
8.
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8.1. Wprowadzenie
Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien.
Przyczyny nieliniowości:
1) geometryczne:
•
wynikające z uwzględnienia konfiguracji początkowej i końcowej
Na przykład w sytuacji przedstawionej poniżej:
=
P l
3
3 EI
zależy liniowo od obciążenia. Jeśli geometria po odkształceniu zmienia się nieznacznie to
można zadanie takie utożsamić z układem niezmienionym i postępować zgodnie z zasadą zesztywnienia. W
rzeczywistości równowaga układu wystąpi, gdy zapiszemy jej warunki w układzie przemieszczonym (a więc
mamy do czynienia z układem nieliniowym).
•
wynikające z uwzględnienia deformacji:
ij
=
1
2
u
i , j
u
j , i
u
i , k
u
j , k
efekt duzych deformacji
(8.1)
2) fizyczne – ze względu na przyjęty materiał.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
δ
P
δ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
2
W naszych rozważaniach zakładaliśmy materiał liniowy:
W rzeczywistości mamy do czynienia z materiałem nieliniowym, którym jest stal:
czy też beton:
3) uwzględnienie tarcia
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
ε
σ
ε
σ
ε≈0
ε
T>0
stal w temp. ok. 300
o
C
ε
σ
mikrorysy
makrorysy w wyniku
dalszych obciążeń
odciążenia nie są
po tej samej
ścieżce
odciążenia
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
3
4) uwzględnienie zmieniających się warunków brzegowych, na przykład:
Wszystkie wyżej wymienione czynniki mogą wystąpić jednocześnie, co stanowi przyczynę dużej
nieliniowości.
8.2. Efekt nieliniowości w obliczeniach numerycznych
Analizę przeprowadzimy dla elementów prętowych i cięgnowych)
Układ równań nieliniowych algebraicznych
k
d d =
p
(8.2)
Macierz sztywności układu zależy od przemieszczeń, co zapisujemy
[
2
−x
1
2
1
−x
1
x
2
]
[
x
1
x
2
]
=
[
4
2
]
(8.3)
Zakładamy obciążenie jednoparametrowe (uproszczenie)
K
=K
o
K
NL
(8.4)
gdzie
K
NL
−macierz nieliniowa , geometryczna
EA
L
[
1
−1
−1
1
]
P
A
[
0 1
1 0
]
(8.5)
Zmiana energii sprężystej na kroku
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
δ
P
δ
0
P
P
δ
0
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
4
U
=
∫
L
∫
A
[
∫
o
o
a
d
]
dAdL
=E
o
∫
L
∫
A
a
dAdx
E
2
∫
L
∫
A
a
2
dAdx
(8.6)
gdzie
a
=
du
dx
1
2
dv
dx
2
− y
d
2
v
dx
(8.7)
jest odkształceniem na kroku
Po podstawieniu
U
=E
o
A
∫
L
[
du
dx
1
2
dv
dx
2
]
dx
E
2
∫
L
[
A
du
dx
2
I
d
2
v
dx
2
2
A
du
dx
du
dx
2
A
4
dv
dx
4
]
dx
(8.8)
∫
0
d =
∫
0
E
d =
E
2
2
(8.9)
gdzie
=
1
2
u
i , j
u
j ,i
u
i , k
u
j , k
(8.10)
Aproksymacja
u
=a
0
a
1
x
(8.11)
v
=b
0
b
1
x
b
2
x
2
b
3
x
3
(8.12)
u
=
1
−
x
l
u
1
x
l
u
2
(8.13)
v
=
1
−
3 x
2
l
2
2 x
3
l
3
v
1
3 x
2
l
2
−
2 x
3
l
3
v
2
−2 x
2
l
x
x
3
l
2
1
−x
2
l
x
3
l
2
2
(8.14)
U możemy wyrazić jako funkcję przyrostów przemieszczeń
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
5
d
T
=[u
1
, v
1
,
1
, u
2
, v
2
,
2
,
]
(8.15)
Przyrostowa macierz sztywności
K
I
d = f
(8.16)
Obliczamy początkową macierz sztywności ze wzoru
K
I
=K
0
K
P
AE
2
K
1
AE
3
K
2
(8.17)
następnie wyznaczamy
d
1
K
d =0d =
p
(8.18)
dla obliczonego
d
1
obliczamy
d
K
d
1
d =
p
(8.19)
Dodajemy przemieszczenia zgodnie ze wzorem
d
2
=d
1
d
(8.20)
i obliczamy macierz sztywności od przemieszczeń
d
2
. Następnie obliczamy
d
K
d
2
d =
p
(8.21)
Pełna metoda Newtona – tok obliczeń pokazano poniżej
Obliczamy przemieszczenia
d
1
dla macierzy sztywności
K
d =0
K
d =0d
1
=
p
(8.22)
następnie obliczamy macierz sztywności dla
d
1
i obliczamy przemieszczenia
d
2
K
d
1
d
2
=−r
1
(8.23)
dodajemy przemieszczenia
d
1
d
2
=d
2
(8.24)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
6
dla sumarycznych przemieszczeń obliczamy nową macierz sztywności i obliczamy
d
3
K
d
2
d
3
=−r
2
(8.25)
Kończymy iterację gdy:
∣
∣
r
i
∣
∣
(8.26)
Przyjmujemy kolejne poziomy obciążeń i dążymy do znalezienia odpowiedniego przemieszczenia
przez iteracje. Przy każdej iteracji buduje się nową macierz sztywności zależną od odkształceń z
poprzedniego kroku.
K
d
0
d
1
d =−r
1
(8.27)
Jeżeli iteracja się zbiega, to wielkości niezrównoważonych sił zmniejszają się.
K
d
0
d
1
d
2
d =−r
2
(8.28)
W nieliniowych zagadnieniach mechaniki konstrukcji pomiędzy wielkościami typu statycznego i
geometrycznego zachodzi relacja proporcjonalności wyrażona przy pomocy współczynnika K
charakteryzującego sztywność konstrukcji. W układach o wielu stopniach swobody rolę współczynnika
proporcjonalności przejmuje macierz sztywności
q
=K
−1
Q
(8.29)
Przy braku proporcjonalności pomiędzy Q i q ich wzajemne zależności są nieliniowe. Macierz
sztywności zależy od przemieszczeń. Wyznaczana jest przez styczna do krzywej o równaniu
Q
= f q
(8.30)
zatem jest różna dla poszczególnych punktów
8.3. Przyczyny nieliniowości
Przyczyny nieliniowości mogą wynikać ze struktury materiału (np. materiały niejednorodne jak np.
beton), czyli w braku proporcjonalności pomiędzy naprężeniami
a odkształcenia
. Jest to nieliniowość,
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
7
którą nazywamy nieliniowością fizyczną, która może wystąpić również przy odkształceniach liniowo
zależnych od przemieszczeń q. Ma to miejsce np. w zagadnieniach dotyczących plastyczności.
Innym rodzajem nieliniowości jest ta, która wynika z braku proporcjonalności pomiędzy
odkształceniami
i przemieszczeniami q, co może mieć miejsce np. przy liniowych zależnościach
pomiędzy odkształceniami
a naprężeniami
. Mamy tu na myśli np. zagadnienia stateczności sprężystej.
Jest to nieliniowość geometryczna, związana z dużymi przemieszczeniami, które należy uwzględnić przy
budowaniu równań równowagi.
Niekiedy mogą występować takie przypadki, że pomimo małych przemieszczeń należy uwzględnić
ich wpływ, aby w ogóle możliwe było zapisanie warunków równowagi.
Stosowane współcześnie konstrukcje wiotkie, często o dużych rozpiętościach, albo też zbudowane z
materiałów pracujących w stanie plastycznym wymagają obliczeń nieliniowych. Nieliniowość może mieć
także charakter łączny, czyli jednocześnie mogą występować nieliniowość fizyczna i geometryczna np. w
konstrukcjach z materiałów gumowych lub gumopochodnych. Dotyczy to również asfaltów i gruntów, stąd
też zagadnienia dotyczące obliczeń gruntów należą do bardzo trudnych. Wymagają odpowiedniego
podejścia i przyjęcia skomplikowanych założeń przy matematycznych tworzeniu modelu.
8.4. Rozwiązanie
W zagadnieniach nieliniowych wyznaczenie Q przy danych q, lub też odwrotnie wyznaczeniu q przy
znanych Q, jest praktycznie niewykonalne przy pomocy metod bezpośrednich. Możliwe jest uzyskanie
wyników (rozwiązań) przybliżonych poprzez zastosowanie linearyzacji lub też przez stosowanie specjalnych
algorytmów obliczeniowych.
Równanie równowagi można zapisać w postaci:
K
qq=Q
(8.31)
W ogólności macierz sztywności zależy od niewiadomych przemieszczeń q. Otrzymaliśmy zatem
układ równań nieliniowych. Rozwiązanie równania jest skomplikowane. Macierz sztywności w
zagadnieniach nieliniowych może być osobliwa. W zagadnieniach liniowych taka sytuacja nie mogła się
zdarzyć. Analiza takiej sytuacji jest złożona numerycznie. Przyczyna nieliniowości może leżeć w materiale i
w braku proporcjonalności między naprężeniami i odkształceniami. Nieliniowość może też mieć inne
przyczyny, np.: jednostronne podpory, jednostronne podłoże, konstrukcje prętowo-cięgnowe nawet w
zakresie liniowym. Do rozwiązania tych zadań stosujemy techniki numeryczne.
8.5. Sposoby rozwiązywania
8.5.1. Metoda przyrostowa
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8
Rozpatrujemy zagadnienie nieliniowe opisane zależnością
Q
= f q
(8.32)
w zakresie obciążenia (0,Q)
Dla danego obciążenia Q będziemy poszukiwać przemieszczenia q. Metoda polega na tym, że
obliczenia przeprowadzamy etapowo, zwiększając obciążenie na każdym etapie o pewien przyrost
Q
i
oraz odpowiadający mu przyrost przemieszczeń
q
i
. Jako punkt startu przyjmujemy wartość
Q
0
dostatecznie małą, tak aby można było założyć, że w zakresie obciążenia (0,Q) konstrukcja zachowuje się
liniowo, czyli macierz sztywności
K
0
ma być stała i taka jak w konstrukcji liniowej.
Zaletami metody są:
➔
możliwość zastosowania do wszelkiego rodzaju nieliniowości (z wyjątkiem przypadków o malejącej
sztywności),
➔
pełny opis relacji obciążenia - przemieszczenia dla każdego przyrostu
Wady:
➔
duża chłonność obliczeniowa (odwracanie różnych macierzy dla każdego cyklu)
➔
trudność w określeniu wartości przyrostu obciążeń dla uzyskania założonej dokładności
➔
brak możliwości oceny poprawności rozwiązania, o ile nie istnieje jakaś baza porównawcza
➔
trudności algebraiczne związane z rozwiązywaniem źle uwarunkowanego układu równań w otoczeniu
punktów krytycznych
8.5.2. Metoda iteracyjna
Jest to bardzo popularna metoda ze względu na wielostronność zastosowań i wysoką dokładność
obliczeń. Nazywa się ją również metodą Newtona-Raphsona (w skrócie NR).
Rozwiązywanie przy pomocy tej metody polega na tym, że w każdym cyklu iteracyjnym operujemy
pełnym obciążeniem Q. W poszczególnych cyklach przyjmujemy stałe, przybliżone macierze sztywności, co
powoduje niespełnienie warunków równowagi. Po każdym cyklu oblicza się obciążenie niezrównoważone w
danej konfiguracji odkształcenia. To obciążenie służy do wyznaczania dodatkowych przemieszczeń, czyli
zmian konfiguracji zmierzających do konfiguracji odpowiadającej równowadze. Proces obliczeniowy
kończymy po osiągnięciu równowagi z przyjętą dokładnością.
Startujemy przy pełnym obciążeniu Q oraz macierzy sztywności K
L
równej macierzy sztywności
traktowanej jako liniowa. Dla tego stanu obciążenia i sztywności obliczamy przemieszczenia.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
9
Zalety tej metody:
➔
większa łatwość w programowaniu niż w metodzie przyrostowej,
➔
duża efektywność, szczególnie w przypadku kilku wariantów obciążeń, przy nieliniowości fizycznej
możliwość uwzględniania zmian własności materiału zależnie od stanu naprężeń.
Wady:
➔
brak pewności co do zbieżności rozwiązania dokładnego (spełnienie równowagi to tylko jeden z
warunków),
➔
niemożliwość zastosowania do dynamiki (można operować tylko stałym obciążeniem),
➔
brak informacji o stanie obciążenia - przemieszczenia, kiedy stosujemy obciążenie o niepełnych
wartościach
8.5.3. Pełny algorytm Newtona (Full Newton Iteration)
Metoda Newtona, zwana też metodą stycznych, należy do metod iteracyjnych.
K
d d = p
K
d d =
p
(8.33)
K
d
0
d
1
d =−R
1
(8.34)
K
d
0
d
1
d
2
d =−R
2
(8.35)
Iterację przeprowadzamy do momentu w którym dokładność jest satysfakcjonująca . Oszacowanie
błędu:
∥r∥
(8.36)
∥ d
i
∥
∥d∥
(8.37)
Przyjąć można np. normę euklidesową:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
10
∑
i
R
i
2
- suma wszystkich niezrównoważonych sił w w węzłach
(8.38)
8.5.4. Metoda Newtona-Raphsona
i
i+1
k=1 2
R
i
4
R
i
1
d
d
i+1
d
i
Δ d
i+1
λ
p
λ
p
Δ
3 4
W metodzie Newtona-Raphsona szybciej uzyskuje się wiekszą dokładność.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater