Kolokwium II
rok 2007/2008
Zadanie 4:
a) Podać podstawowe własności dystrybuanty zmiennej losowej.
b) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest równa:
)
Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć P X 6) za pomocą dystrybuanty
oraz funkcji prawdopodobieństwa. Obliczyć EX i E X + ).
Rozwiązanie:
a) Twierdzenie Podstawowe własności dystrybuanty zmiennej losowej dowolnego typu)
Funkcja F : R → [ ] jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy gdy :
- F jest funkcją niemalejącą:
x
1
< x
2
F
) F
)
- F jest funkcją ciągłą lub co najmniej lewostronnie ciągłą:
lim
→
F ) F
)
- lim
→
F )
.
F +∞)
lim
→
F )
.
F (-∞)
Odpowiedź:
Z powyższego wynika że każda dystrybuanta jest funkcją niemalejącą ciągła lub co najmniej lewostronnie
ciągłą a jej granica w +∞ wynosi a w -∞ wynosi .
b) Wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa:
dla
: p
dla
: p
dla
: p
-1
2
5
p
0,3 0,2 0,5
Obliczamy P X 6):
Korzystając ze wzoru na obliczenie p-stwa, gdy dana jest dystrybuanta: P a X b) F b) F a) mamy:
P X 6) F 6) F ) 7
Obliczamy EX:
EX
p
) + + 6
Obliczamy E(2X+3):
E(2X+3)=2*(EX)+3= 6 +
Odpowiedź:
Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać:
-1
2
5
p
0,3 0,2 0,5
oraz EX 6 E X + ) ; P X 6) 0,7.
Autorka:
Katarzyna Agata Jarzębowska
grupa
9 (4 dziekańska)
27.01.2014