t
ω
ϕ
( )
(
)
ϕ
ω
+
=
t
U
t
u
m
sin
f
T
π
π
ω
2
2 =
=
U
m
- amplituda
pulsacja
ϕ - faza początkowa
t
ω
ϕ
( )
(
)
ϕ
ω
+
=
t
U
t
u
m
sin
f
T
π
π
ω
2
2 =
=
U
m
- amplituda
pulsacja
ϕ - faza początkowa
Sygnał okresowy niesinusoidalny nazywamy
sygnałem odkształconym
t
u(t)
u(t)
t
0
0
Wielkości charakteryzujące sygnały okresowe
Wartość średnia
∫
=
T
0
śr
dt
)
t
(
u
T
1
U
∫
=
T
0
śr
dt
)
t
(
i
T
1
I
Sygnał okresowy nazywamy sygnałem przemiennym,
jeżeli jego wartość średnia jest zerowa.
Interpretacja geometryczna wartości średniej:
0
T
u(t)
t
U
śr
pole A
pole B
U
śr
dobrane tak, że: pole A = pole B (dla przedziału czasu równego T)
Wartość skuteczna sygnału okresowego
∫
=
T
0
2
dt
)]
t
(
u
[
T
1
U
∫
=
T
0
2
dt
)]
t
(
i
[
T
1
I
Definicja fizyczna wartości skutecznej prądu okresowego:
Jest to wartość prądu stałego, który płynąc przez taki sam
rezystor, spowoduje wydzielenie w czasie równym okresowi T tej
samej energii.
( )
[ ]
∫
⋅
=
⋅
⋅
T
dt
t
i
R
T
I
R
0
2
2
Dla wszystkich sygnałów przemiennych sinusoidalnych:
2
I
I
2
U
U
m
m
=
=
Obwody liniowe prądu sinusoidalnie zmiennego
+
-
L
f
π
ω
2
=
C
R
( )
(
)
θ
ω
+
=
t
E
t
e
m
sin
i(t)
u
L
(t)
u
C
(t)
ω
- pulsacja [rad/s]
f – częstotliwość [Hz]
u
R
(t)
T
f
1
=
T – okres [s]
W każdej chwili w obwodzie są spełnione prawa Kirchhoffa.
( )
( )
( ) ( )
0
=
−
+
+
t
e
t
u
t
u
t
u
L
C
R
Z II prawa Kirchhoffa wynika:
( )
( )
( ) ( )
0
=
−
+
+
t
e
t
u
t
u
t
u
L
C
R
W dalszej analizie rozpatrujemy obwody
liniowe stacjonarne
Dla rezystancji R jest spełnione prawo Ohma dla dowolnej chwili t :
( )
( )
t
i
R
t
u
R
⋅
=
Dla indukcyjności L z prawa indukcji Faraday’a wynika:
( )
dt
di
L
t
u
L
⋅
=
Dla pojemności C z definicji prądu i pojemności elektrycznej wynika:
( )
dt
du
C
t
i
C
⋅
=
( )
( )
( ) ( )
0
=
−
+
+
t
e
t
u
t
u
t
u
L
C
R
Podstawiając to do równania:
( )
( )
(
)
( )
(
)
θ
ω
θ
ω
+
⋅
=
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
t
E
t
u
dt
du
C
R
dt
u
d
C
L
t
E
t
u
dt
di
L
t
i
R
m
C
C
C
m
C
sin
sin
2
2
otrzymamy:
Rozwiązanie obwodu (obliczenie napięcia u
C
) oznacza
konieczność rozwiązania równania różniczkowego; im więcej
będzie elementów L i C, tym wyższy będzie rząd równania.
Ponieważ analizujemy tylko stany ustalone, matematycznie
wystarczy znaleźć
tylko całkę
szczególną
(składową
wymuszoną) rozwiązania równania różniczkowego. Jednak
rozwiązanie to jest bardzo czasochłonne.
Metodą stosowaną powszechnie w obliczeniach obwodów prądu
sinusoidalnie zmiennego w stanach ustalonych jest:
metoda amplitud zespolonych
( )
( )
α
α
α
sin
cos
⋅
+
=
j
e
j
Korzystając ze wzoru Eulera:
dowolny sygnał sinusoidalny można zapisać w postaci:
(
)
(
)
[
]
[
]
t
j
j
m
t
j
m
m
e
e
Y
Im
e
Y
Im
t
sin
Y
ω
ϕ
ϕ
+
ω
⋅
=
=
ϕ
+
ω
⋅
ϕ
j
m
m
e
Y
Y
=
Przyjmijmy oznaczenie:
Y
m
nazywamy amplitudą zespoloną sygnału sinusoidalnego
Znając amplitudę zespoloną
Y
m
sygnału możemy wyznaczyć
zarówno amplitudę sygnału:
Y
Y
m
=
jak i jego fazę:
( )
ϕ
=
m
Y
arg
Kąt fazowy
ϕ
liczymy jako argument główny czyli:
π
ϕ
π
≤
<
−
Znając amplitudę zespoloną sygnału i pulsację, dla której obliczono tę
amplitudę można odtworzyć czasowy przebieg sygnału z zależności:
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
)
t
sin(
Y
j
)
t
cos(
Y
Im
e
Y
Im
e
e
Y
Im
e
Y
Im
)
t
(
y
m
m
t
j
m
t
j
j
m
t
j
m
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
+
⋅
⋅
+
+
⋅
=
=
=
⋅
=
⋅
=
+
( )
(
)
ϕ
ω
+
⋅
=
t
Y
t
y
m
sin
stąd ostatecznie:
Interpretacja geometryczna amplitudy zespolonej
Im(Y)
Re(Y)
mi
mr
m
Y
j
Y
Y
⋅
+
=
fazor (wskaz)
ω
Y
mi
m
m
Y
Y
=
ϕ
Y
mr
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
mr
mi
Y
Y
arctg
ϕ
2
2
mi
mr
m
Y
Y
Y
+
=
Wartość skuteczna sygnału sinusoidalnego
2
m
Y
Y
=
Sygnał sinusoidalny zapisujemy za pomocą wartości skutecznych:
( )
(
)
ϕ
ω
+
⋅
⋅
=
t
Y
t
y
sin
2
ϕ
=
j
Ye
Y
Wartość zespolona sygnału:
Y
Ye
Y
j
m
⋅
=
⋅
=
2
2
ϕ
a zatem:
Prawa Kirchhoffa dla wartości zespolonych prądów i napięć
Dla zespolonych wartości prądów n gałęzi dołączonych do
dowolnego węzła w obwodzie zachodzi związek:
0
I
n
n
=
∑
Dla zespolonych wartości napięć na k elementach wchodzących w
skład dowolnego oczka w obwodzie zachodzi związek:
0
U
k
k
=
∑
Wartości zespolone prądów i napięć spełniają I i II prawo Kirchhoffa
Związki między wartościami zespolonymi napięcia i prądu:
Rezystancja:
R
i(t)
u(t)
( )
( )
t
i
R
t
u
⋅
=
( )
(
)
ϕ
ω
+
⋅
⋅
=
t
I
t
i
sin
2
W szczególności, jeżeli
, to
( )
(
)
(
)
ϕ
ω
ϕ
ω
+
⋅
⋅
=
+
⋅
⋅
⋅
=
t
U
t
I
R
t
u
sin
2
sin
2
Zapisując ogólnie za pomocą amplitud zespolonych mamy:
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
u
i
i
j
Ie
I
ϕ
=
u
j
Ue
U
ϕ
=
oraz
; przy czym:
I
R
U
⋅
=
a także:
I
R
Ie
R
Ie
R
Ue
Ue
U
i
u
j
j
j
j
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
czyli:
I
R
U
⋅
=
Przebieg w czasie prądu i napięcia na rezystancji R
0 1.262.513.775.036.287.548.810.05
11.31
12.57
2
1.6
1.2
0.8
0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
i x
( )
u x
( )
x
Interpretacja za pomocą fazorów
I
R
U
⋅
=
Im
I
U
ϕ
Re
( )
dt
di
L
t
u
⋅
=
L
i(t)
Indukcyjność:
u(t)
( )
(
)
ϕ
ω
+
⋅
⋅
=
t
I
t
i
sin
2
mamy
( )
(
)
ϕ
ω
ω
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
t
I
L
t
u
cos
2
Dla
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
2
π
sin
2
ϕ
ω
ω
t
I
L
t
u
lub
Zapisując ogólnie za pomocą amplitud zespolonych mamy:
2
π
+
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
u
i
i
j
Ie
I
ϕ
=
u
j
Ue
U
ϕ
=
oraz
; przy czym:
I
L
U
⋅
=
ω
a także:
czyli:
I
L
j
U
⋅
=
ω
I
L
j
Ie
L
j
e
Ie
L
Ue
Ue
U
i
u
j
j
j
j
j
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
ω
ω
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
π
2
π
Przebieg w czasie prądu i napięcia na indukcyjności L
0 1.262.513.775.036.287.548.810.05
11.31
12.57
2
1.6
1.2
0.8
0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
i x
( )
u x
( )
x
Interpretacja za pomocą fazorów
I
L
j
U
⋅
=
ω
I
2
π
Pomnożenie fazora
przez operator j
oznacza
obrót o
+ 90
°
U
L
X
L
ω
=
X
L
-reaktancja indukcyjna
Przyjmujemy:
I
jX
U
L
⋅
=
czyli:
Cewka rzeczywista:
L
i(t)
u
L
(t)
R
( )
( )
( )
t
u
t
u
t
u
L
R
cewki
+
=
u
R
(t)
( )
dt
di
L
t
u
L
⋅
=
( )
( )
t
i
R
t
u
R
⋅
=
u
cewki
(t)
( )
( )
( )
t
u
t
u
t
u
L
R
cewki
+
=
Równanie:
L
R
cewki
U
U
U
+
=
można zapisać dla amplitud zespolonych:
I
R
U
R
⋅
=
I
L
j
U
L
⋅
=
ω
ale
i
więc podstawiając mamy:
(
)
I
Z
I
jX
R
I
jX
I
R
I
L
j
I
R
U
L
L
cewki
⋅
=
⋅
+
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
ω
L
j
R
Z
ω
+
=
Wielkość:
nazywamy impedancją
Z
I
( )
( )
R
L
tg
L
R
Z
Ze
Z
j
ω
ϕ
ω
ϕ
=
+
=
=
2
2
cewki
U
I
Z
U
cewki
⋅
=
I
R
U
L
U
cewki
U
ϕ
Interpretacja za pomocą fazorów
Wykres fazorowy
Pojemność:
C
( )
( )
( )
∫
⋅
=
⇒
⋅
=
dt
t
i
C
t
u
dt
du
C
t
i
1
i(t)
u(t)
(zmiana na całkę nieoznaczoną jest dopuszczalna dla stanu ustalonego)
( )
(
)
ϕ
ω
+
⋅
⋅
=
t
I
t
i
sin
2
mamy
( )
(
)
ϕ
ω
ω
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
t
I
C
t
u
cos
2
1
Dla
lub
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
2
π
sin
2
1
ϕ
ω
ω
t
I
C
t
u
I
C
U
⋅
=
ω
1
Zapisując ogólnie za pomocą amplitud zespolonych mamy:
u
j
Ue
U
ϕ
=
oraz
i
j
Ie
I
ϕ
=
; przy czym:
2
π
−
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
u
i
a także:
czyli:
I
C
j
Ie
C
j
e
Ie
C
Ue
Ue
U
i
u
j
j
j
j
j
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
⋅
=
=
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
ω
ω
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
1
1
1
2
π
2
π
I
C
j
I
C
j
U
⋅
=
⋅
−
=
ω
ω
1
1
Przebieg w czasie prądu i napięcia na pojemności C
0 1.262.513.775.036.287.548.810.05
11.31
12.57
2
1.6
1.2
0.8
0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
i x
( )
u x
( )
x
Interpretacja za pomocą fazorów
I
C
j
U
⋅
−
=
ω
1
Pomnożenie fazora
przez operator - j
oznacza
obrót o
- 90
°
I
2
π
U
C
X
C
ω
1
=
X
C
-reaktancja pojemnościowa
Przyjmujemy:
I
jX
U
C
⋅
−
=
czyli:
Postępowanie z liniowym obwodem elektrycznym,w którym
działają źródła sinusoidalnie zmienne o częstotliwości f:
f
π
ω
2
=
1. Obliczyć pulsację:
2. Zastąpić źródła prądowe i napięciowe wartościami
zespolonymi źródeł. Dla wygody przyjmujemy jedno
ze źródeł jako odniesieniowe (faza równa zeru), a dla
pozostałych odpowiednio wyznaczamy fazę względem
źródła odniesienia na podstawie znajomości relacji
czasowych występujących między przebiegami w czasie
źródeł niezależnych.
L
⇒
jX
L
3. Indukcyjności w schemacie obwodu zastąpić zespoloną
reaktancją indukcyjną.
L
X
L
ω
=
gdzie:
C
⇒
-jX
C
4. Pojemności w schemacie zastąpić zespoloną reaktancją
pojemnościową:
C
X
C
ω
1
=
gdzie:
W wyniku tego postępowania otrzymujemy schemat obwodu
w dziedzinie częstotliwości, w którym prądy i napięcia
są reprezentowane przez ich wartości zespolone.
Metody obliczania obwodu dla amplitud zespolonych identyczne
jak dla obwodów prądu stałego - tyle tylko, że należy
te obliczenia wykonać za pomocą
liczb zespolonych
.
Uwagi dotyczące nazewnictwa:
I
Z
U
⋅
=
jX
R
Z
+
=
impedancja
X
- reaktancja
[
Ω]
jB
G
Z
Y
+
=
=
1
U
Y
I
⋅
=
admitancja
G
- konduktancja
[S]
B
- susceptancja
[S]
Z
Y
1
=
ϕ
j
Ze
Z
=
Uwzględniając:
ϕ
j
e
Z
Y
−
=
1
mamy:
Z
Y
1
=
czyli dla modułów mamy:
zaś faza admitancji jest równa z przeciwnym znakiem fazie impedancji.
2
2
2
2
oraz
X
R
X
B
X
R
R
G
+
−
=
+
=
Natomiast:
Szeregowe połączenie impedancji
A
B
1
Z
2
Z
I
I
Z
U
1
1
=
I
Z
U
2
2
=
2
1
AB
U
U
U
+
=
(
)
I
Z
Z
I
Z
I
Z
U
2
1
2
1
AB
+
=
+
=
A
B
AB
Z
I
I
Z
U
AB
AB
=
2
1
AB
Z
Z
Z
+
=
ostatecznie:
Równoległe połączenie impedancji
I
1
I
2
I
AB
U
1
Z
2
Z
B
A
A
B
I
I
Z
U
AB
AB
=
AB
Z
2
1
I
I
I
+
=
2
2
1
1
AB
Z
I
Z
I
U
=
=
AB
AB
Z
U
I
=
2
AB
2
1
AB
1
Z
U
I
Z
U
I
=
=
ostatecznie:
2
1
AB
Z
1
Z
1
Z
1
+
=
2
1
AB
Y
Y
Y
+
=
lub:
2
1
2
1
AB
Z
Z
Z
Z
Z
+
⋅
=
więc:
Przykłady obliczania obwodów sinusoidalnych
Dany jest obwód:
Obliczyć rozpływ prądów.
Przygotowujemy obwód do metody amplitud zespolonych
1
Z
s
rad
628
100
2
f
2
=
π
⋅
=
π
=
ω
2
100
2
Z
3
Z
o
90
j
2
2
6
2
2
e
85
.
31
Z
85
.
31
j
Z
10
50
628
j
Z
C
j
Z
−
−
=
−
=
⋅
⋅
−
=
ω
−
=
o
13
.
32
j
3
3
3
3
3
3
e
81
.
11
Z
28
.
6
j
10
Z
01
.
0
628
j
10
Z
L
j
R
Z
=
+
=
⋅
+
=
ω
+
=
o
1
,
14
j
1
1
1
1
1
1
e
155
.
5
Z
256
.
1
j
5
Z
002
.
0
628
j
5
Z
L
j
R
Z
=
+
=
⋅
+
=
ω
+
=
1
Z
2
Z
3
Z
V
70.7
2
100 =
o
j14,1
1
1
5.155e
Z
j1.256
5
Z
=
+
=
o
j90
2
2
31.85e
Z
j31.85
Z
−
=
−
=
o
j32.13
3
3
11.81e
Z
j6.28
10
Z
=
+
=
I
3
I
2
I
1
U
23
I
3
=1A
Wybieramy metodę podobieństwa; zakładamy np.
U
23
=I
3
Z
3
U
23
=1·11.81e
j32.13°
= 11.81e
j32.13°
stąd:
o
o
o
j122.13
j90
j32.13
2
23
2
0.371e
31.85e
11.81e
Z
U
I
=
=
=
−
oraz:
1
Z
2
Z
I
3
Z
3
I
2
I
1
I
1
=I
2
+I
3
Ponieważ:
U
23
U
1
o
o
j21.36
1
1
1
j122.13
1
0.862e
I
j0.314
0.803
I
j0.314
0.197
1
I
0.371e
1
I
=
+
=
+
−
=
+
=
U
więc:
23
1
U
U
U
+
=
Obliczamy napięcie U wynikające z
naszego założenia:
o
o
o
o
o
j33.04
j35.46
j32.13
j21.36
j14.1
23
1
1
16.25e
U
j8.859
13.620
U
j6.281
10
j2.578
3.620
U
j6.281
10.0
4.444e
U
11.81e
0.862e
5.155e
U
U
I
Z
U
=
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
⋅
=
+
=
czyli:
1
Z
2
Z
I
3
Z
V
70.7
3
I
2
I
1
U
o
o
o
j33.04
j33.04
j0
4.351e
k
16.25e
70.7e
k
U
E
k
−
=
=
=
23
Współczynnik podobieństwa:
Wartości zespolone prądów w obwodzie:
o
o
o
j33.04
3
3(z)
2
j89.09
2
2(z)
2
j11.68
1
1(z)
1
4.35e
I
I
k
I
1.61e
I
I
k
I
3.75e
I
I
k
I
−
−
=
⇒
⋅
=
=
⇒
⋅
=
=
⇒
⋅
=