OPTYMALIZACJA  KONSTRUKCJI 

 

1.  Zapis konstrukcji 

 
Model matematyczny konstrukcji – jest zapisem konstrukcji pozwalającym na komputerowe 
wspomaganie procesu konstruowania 
 

Zapis  konstrukcji  podlega  ewolucji,  problemom  zapisu  konstrukcji  poświęcony  jest  przedmiot  – 
rysunek techniczny 
 

Wymagania odnośnie zapisu konstrukcji: 
-  warunek  jednoznaczności:  zapis  nie  powinien  wymagać  dodatkowych  wyjaśnień  i  przez 
każdego odbiorcę powinien zostać odczytany identycznie 
-  warunek  zupełności  zapisu:  odbiorca  może  stwierdzić,  że  przedstawiony  zapis  jest 
wystarczającym i koniecznym przekazem 
- liczba zastosowanych do zapisu znaków powinna być jak najmniejsza – ale wystarczająca 
- rodzaj stosowanych znaków powinien odpowiadać celom wykonania zapisu 
- zapis konstrukcji powinien być trwały i zabezpieczony przed nieupoważnionym dostępem 
 

2.  Matematyczny model konstrukcji 

 
Istota  konstruowania  i  zapisu  konstrukcji  polega  na  doborze  i  zapisie  cech  konstrukcyjnych 
projektowanej maszyny. 
Cechy  geometryczne:  kształt,  powiązania  elementów,  wymiary  i  tolerancje,  geometrię 
powierzchni 
Cechy materiałowe:  informacja określająca strukturę wewnętrzną elementów maszyn: rodzaj 
materiału,  parametry  obróbki  cieplnej,  własności  wytrzymałościowe,  własności  chemiczne, 
fizyczne 
Cechy  dynamiczne:  informacja  o  naprężeniach  wewnętrznych,  obciążenia  zewnętrzne  i  ich 
charakterystyki 
 
Powyższe cechy można zapisać liczbowo jaki układ N liczb lub funkcji 
 
Przestrzeń konstrukcji: 

K

N

E

X

X

X

∈

=

)

,....,

(

1

 

Do przestrzeni konstrukcji można zaliczyć wektor X, którego współrzędne określają cechy konstrukcji, 
Jeżeli cechy są liczbami wówczas wektor X będzie należał do przestrzeni euklidesowej. Współrzędne 
mogą być typu: 
- parametry – stałe dla konstrukcji 
- zmienne decyzyjne – wielkości dobierane w procesie konstruowania, w dalszym ciągu oznaczane 
jako: x

1

, x

2

,….,x

n

 

Przestrzeń zmiennych decyzyjnych lub przestrzeń rozwiązań oznacza się symbolem E

x

, zatem: 

x

n

E

x

x

x

∈

=

)

,...,

(

1

 

 

3.  Matematyczne zapisy zasad konstrukcji 

 
Konstruktor  może  przyjmować  tylko  pewne  wartości  zmiennych  decyzyjnych  co  wynika  z 
ograniczeń nakładanych na konstrukcję 
 
Zasada  1,  ogólna:  Konstrukcja  powinna  spełnić  wszystkie  ograniczenia  w  stopniu 
niemniejszym: dla każdej zmiennej decyzyjnej x

i

 można ustalić wstępnie zakres zmienności: 

n

i

x

x

x

i

i

i

,...,

1

,

max

min

=

≤

≤

 

- zmienne decyzyjne przyjmują wartości: 
  a) ciągłe w pewnym zakresie 

b) dyskretne, wynikające np. z normalizacji, liczba zębów jest całkowita w kole zębatym itd. 
 
Zbiór wartości zmiennych decyzyjnych spełniających wszystkie ograniczenia nazywa się 
zbiorem dopuszczalnym 

Φ 

x

E

x

⊂

Φ

=

Φ

)

(

 

 
Konstrukcja spełniająca zasadę 1 w zapisie matematycznym będzie miała postać: 

x

E

x

⊂

Φ

∈

 

Zasady  szczegółowe  określają  ograniczenia lub  kryteria  optymalizacyjne,  można  je  zapisać 
następująco: 

))

(

),...,

(

(

)

(

1

x

q

x

q

x

Q

m

=

 

 

4.  Optymalizacja i polioptymalizacja konstrukcji 

 
Zadanie  optymalizacji  konstrukcji:  wybór  ze  zbioru  rozwiązań  dopuszczalnych,  rozwiązań, 
dla  których  wartość  funkcji  celu,  będącej  kryterium  optymalizacji,  osiąga  wartość 
ekstremalną.  Gdy  występuje  wiele  kryteriów  optymalizacji  pojawia  się  zadanie 
polioptymalizacji.  
 
W  przypadku  minimalizacji  funkcji  celu  rozwiązanie  optymalne  można  zdefiniować 
następująco: 

)

(

)

(

)

(

:

)

(

opt

opt

x

Q

x

Q

x

x

≥

Φ

∈

∀

Φ

∈

 

a w przypadku maksymalizacji: 
 

)

(

)

(

)

(

:

)

(

opt

opt

x

Q

x

Q

x

x

≤

Φ

∈

∀

Φ

∈

 

 
 
 

5.  Przykład 1 

 

Należy zbudować model matematyczny wału drążonego (rys) przenoszącego 
moment skrętny M=1000 Nm. Zadany jest materiał. Z którego wykonany jest wał 
(stal C55), oraz dopuszczalne naprężenia na skręcanie k

s

=100 MPa. Ze 

względów technologicznych powinien być spełniony warunek:  a

1

<d/D<a

2

, a ze 

względów konstrukcyjnych warunek D<b. Do obliczeń przyjąć: a

1

=0,2; a

2

=0,8; 

b=0,05m 
 
 
 
 

 
 
 
Rozwiązanie: 

a)  dobór zmiennych decyzyjnych i parametrów 

 

zmienne decyzyjne: zewnętrzna i wewnętrzna średnica wału, czyli    x=(d,D) 
parametry: M=1000 Nm, ks=100MPa, a1=0,2, a2=08, b=0,05m 
 

b)  określenie zbioru dopuszczalnego 

 
- są to wszystkie wartości zmiennych decyzyjnych: d, D, które spełniają warunek 
wytrzymałościowy i pozostałe ograniczenia, d i D muszą być liczbami dodatnimi 
- zapis matematyczny: 
 

 

Warunek wytrzymałościowy 
 

s

o

s

s

k

J

D

M

≤

=

2

τ

 

 

Po podstawieniach: 

0

10

1

,

5

5

4

4

≥

⋅

−

−

−

D

d

D

 

 
Pozostałe ograniczenia: 

0

,

0

,

,

,

2

1

>

>

<

<

>

D

d

b

D

D

a

d

D

a

d

 

 
Po podstawieniu danych liczbowych, zbiór dopuszczalny: 
 

}

0

;

0

;

;

;

;

0

10

1

,

5

:

)

,

(

{

2

1

5

4

4

>

>

<

<

>

≥

⋅

−

−

=

=

Φ

−

D

d

b

D

D

a

d

D

a

d

D

d

D

D

d

x

 

 

 

c)  kryterium optymalizacyjne: minimalizacja masy – czyli minimalizacja przekroju poprzecznego: 

)

(

4

)

,

(

2

2

d

D

D

d

Q

−

=

π

 

- znaleźć takie wartości (d

opt

,D

opt

) aby wartość funkcji celu Q była minimalna 

 

d)  rozwiązanie graficzne 
e)   

 

 
 

f)  rozwiązanie optymalne: punkt A 
 

D

opt

=0,044 m; d

opt

=0,035 m; Q=0,000525 m

2