1
Wykład 7
Grawitacja
Grawitacja
Wrocław University of Technology
17-XII-2011
1
Wykład 7
Grawitacja
Grawitacja
Wrocław University of Technology
17-XII-2011
2
Droga mleczna
Grawitacja
17.XII.2011
Droga Mleczna – galaktyka spiralna z poprzeczką, w której znajduje się m.in. nasz Układ
Słoneczny. Galaktyka zawiera od 100 do 400 miliardów gwiazd. Ma średnicę około
100000 lat świetlnych i grubość ok. 12 000 lat świetlnych.
3
Układ Słoneczny
Grawitacja
17.XII.2011
Układ Słoneczny – układ planetarny składający się ze Słońca i powiązanych z nim
grawitacyjnie ciał niebieskich. Ciała te to osiem planet, ponad 160 znanych księŜyców,
pięć znanych (a prawdopodobnie kilkadziesiąt) planet karłowatych i miliardy (a być moŜe
nawet biliony) małych ciał Układu Słonecznego, do których zalicza
się planetoidy, komety, meteoroidy i pył międzyplanetarny.
4
Układ Słoneczny
Grawitacja
17.XII.2011
Gwiazda – kuliste ciało niebieskie stanowiące skupisko powiązanej grawitacyjnie materii w
stanie plazmy bądź zdegenerowanej. Przynajmniej przez część swojego Ŝycia gwiazda w
sposób stabilny emituje powstającą w jej jądrze w wyniku procesów syntezy
jądrowej atomów wodoru energię w postaci promieniowania elektromagnetycznego, w
szczególności światło widzialne.
5
Układ Słoneczny
Grawitacja
17.XII.2011
Rok świetlny (ang. light year) – jednostka odległości stosowana w astronomii. Jest
równy odległości, jaką pokonuje światło w próŜni w ciągu jednego roku
kalendarzowego.
W przeliczeniu na inne jednostki:
1 rok świetlny = 0.3066 pc = 63241 j.a. = 9.4607·1015 m
W szacunkowych obliczeniach przyjmowana jest zazwyczaj wartość przybliŜona ≈
9,5 biliardów m (9,5 bilionów km).
•
Odległość od Ziemi do KsięŜyca światło pokonuje w ok. 1,3 s, co powodowało
opóźnienia w komunikacji podczas misji załogowych Apollo.
•
Około 8 minut i 20 sekund zajmuje światłu podróŜ ze Słońca do Ziemi.
•
NajbliŜsza znana gwiazda, Proxima Centauri jest połoŜona w odległości 4,22 lat
ś
wietlnych od Słońca.
•
Ś
rednica Drogi Mlecznej wynosi w przybliŜeniu 100 000 lat świetlnych.
6
Prawo powszechnego ci
ąŜ
enia
Grawitacja
17.XII.2011
Newton stwierdził, Ŝe nie tylko Ziemia przyciąga jabłko i KsięŜyc, lecz kaŜde ciało
we Wszechświecie przyciąga kaŜde inne. Tę skłonność ciał do zbliŜania się do
siebie nazwał ciąŜeniem (grawitacją).
Przyciąganie ciał opisuje ilościowo prawo wprowadzone przez Newtona nazywane
prawem powszechnego ciąŜenia, które mówi, Ŝe kaŜda cząstka przyciąga kaŜdą
inną cząstkę siłą cięŜkości (siłą grawitacyjną) o wartości:
gdzie G – stała grawitacji 6.67
.
10
-11
Nm
2
kg
-2
.
2
2
1
r
m
m
G
F
=
1
m
2
m
F
r
F
r
−
r
7
Prawo powszechnego ci
ąŜ
enia
Grawitacja
17.XII.2011
Ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej przyciąga cząstkę znajdującą się na
zewnątrz powłoki tak, jak gdyby cała masa powłoki była skupiona w jej środku.
8
Zasada superpozycji
Grawitacja
17.XII.2011
Dla n oddziałujących ze sobą cząstek zasada superpozycji dla sił grawitacyjnych ma
postać:
n
wyp
F
F
F
F
F
1
14
13
12
1
...
r
r
r
r
r
+
+
+
+
=
∑
=
=
n
i
i
wyp
F
F
1
1
1
r
r
W przypadku granicznym dzielimy ciało rozciągłe na nieskończenie małe
elementy masy dm, z których kaŜdy działa na cząstkę siłą dF. Suma
przechodzi wtedy w całkę
∫
=
F
d
F
r
r
1
9
Grawitacja w pobli
Ŝ
u Ziemi
Grawitacja
17.XII.2011
ZałóŜmy, Ŝe Ziemia jest jednorodną kulą o masie M, wtedy
2
r
Mm
G
F
=
Z drugiej zasady dynamiki Newtona wiemy, Ŝe
g
ma
F
=
Stąd
2
r
GM
a
g
=
Wysokość [km]
a
g
[m/s
2
]
0
(powierzchnia Ziemi)
9.83
8.8
(szczyt Mt. Everestu)
9.80
36.6
(największa wysokość załogowego lotu balonem)
9.71
400
(wahadłowiec kosmiczny na orbicie)
8.70
35700
(satelita telekomunikacyjny)
0.225
10
Grawitacja w pobli
Ŝ
u Ziemi
Grawitacja
17.XII.2011
Przyczyny róŜnej wartości a
g
:
•
Ziemia nie jest jednorodna. Gęstość Ziemi (tzn. masa jej jednostkowej
objętości) zmienia się wzdłuŜ jej promienia, a do tego gęstość skorupy
ziemskiej (czyli jej najbardziej zewnętrznej części) jest róŜna w róŜnych
miejscach na powierzchni Ziemi. Wobec tego w róŜnych miejscach na
powierzchni Ziemi wartość g jest nieco inna.
11
Grawitacja w pobli
Ŝ
u Ziemi
Grawitacja
17.XII.2011
•
Ziemia nie jest kulista. Ziemia ma w przybliŜeniu kształt elipsoidy obrotowej,
spłaszczonej przy biegunach, a grubszej w okolicy równika. Promień Ziemi na
równiku jest o 21 km większy od jej promienia na biegunie. Gdy ciało znajduje się
na biegunie, jest ono zatem bliŜej gęstego jądra Ziemi niŜ wtedy, gdy znajduje się na
równiku. Jest to jeden z powodów, dla którego przyspieszenie swobodnego spadku
ciała rośnie w miarę przemieszczania go - na poziomie morza - z równika na biegun.
12
Grawitacja w pobli
Ŝ
u Ziemi
Grawitacja
17.XII.2011
•
Ziemia obraca się. Oś obrotu Ziemi przechodzi przez jej bieguny: północny i
południowy. Ciało umieszczone na powierzchni Ziemi gdziekolwiek poza
biegunami wykonuje zatem ruch po okręgu wokół tej osi, przy czym ma ono
przyspieszenie dośrodkowe skierowane do środka tego okręgu. Źródłem tego
przyspieszenia musi być siła dośrodkowa, skierowana takŜe do tego środka okręgu.
(
)
( )
R
m
ma
mg
R
m
ma
N
g
g
2
2
ω
ω
−
=
−
=
−
zmierzony cięŜar
wartość siły cięŜkości
masa
x
przyspieszenie dośrodkowe
=
R
a
g
g
2
ω
−
=
Przyspieszenie
spadku ciała
Przyspieszenie
grawitacyjne
Przyspieszenie
dośrodkowe
=
_
_
13
Grawitacyjna energia potencjalna
Grawitacja
17.XII.2011
Grawitacyjna energia potencjalna wyraŜa się wzorem:
r
GMm
E
p
−
=
Gdy badany układ składa się z więcej niŜ dwóch cząstek, rozwaŜamy kaŜdą parę
cząstek po kolei, obliczając grawitacyjną energię potencjalną tej pary, jak gdyby
innych cząstek nie było, po czym dodajemy do siebie otrzymane wyniki. Na
przykład dla układu trzech cząstek, wyznaczając energię potencjalną kaŜdej ich
pary, otrzymujemy energię potencjalną układu równą
+
+
−
=
31
1
3
23
3
2
12
2
1
r
m
Gm
r
m
Gm
r
m
Gm
E
p
14
Pr
ę
dko
ść
ucieczki
Grawitacja
17.XII.2011
Ciało ma się zatrzymać w nieskończoności, a zatem ma tam mieć energię
kinetyczną równą zeru. Jego energia potencjalna będzie wówczas takŜe równa
zeru, gdyŜ tak właśnie wybraliśmy konfigurację ciał odpowiadającą zerowej energii
potencjalnej. Całkowita energia pocisku jest zatem w nieskończoności równa
zeru. Z zasady zachowania energii wynika, Ŝe jej całkowita energia musi być
równa zeru takŜe na powierzchni planety, wobec czego
⇓
=
+
−
=
+
0
2
2
mv
R
GMm
E
E
k
p
R
GM
v
2
=
15
Pr
ę
dko
ść
ucieczki
Grawitacja
17.XII.2011
Ciało
Masa
Promień
Prędkość
[kg]
[m]
ucieczki [km/s]
CERES
1.17
.
10
21
3.80
.
10
5
0.64
(najcięŜsza planetoida)
KSIĘśYC ZIEMI
7.36
.
10
22
1.74
.
10
6
2.38
ZIEMIA
5.98
.
10
24
6.37
.
10
6
11.2
JOWISZ
1.90
.
10
27
7.15
.
10
7
59.5
SŁOŃCE
1.99
.
10
30
6.96
.
10
8
618
SYRIUSZ B
2.00
.
10
30
1.00
.
10
7
5200
(biały karzeł)
GWIAZDA
2.00
.
10
30
1.00
.
10
4
2
.
10
5
NEUTRONOWA
16
Prawa Keplera
Grawitacja
17.XII.2011
Pierwsze prawo Keplera:
Wszystkie planety poruszają się po orbitach w kształcie elipsy w której ognisku
znajduje się Słońce.
Wielkość orbity jest wyznaczona przez wartość jej półosi wielkiej a i mimośrodu e,
zdefiniowanego tak, Ŝe ea jest odległością kaŜdego z ognisk elipsy F i F' od jej
ś
rodka. Mimośród równy zeru odpowiada okręgowi, będącemu przypadkiem
szczególnym elipsy, w którym oba ogniska są jednym punktem.
17
Prawa Keplera
Grawitacja
17.XII.2011
Drugie prawo Keplera:
Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odstępach czasu
jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbity; inaczej mówiąc, wielkość
dS/dt, przy czym S jest polem powierzchni zakreślonej przez tę linię, jest stała.
Z prawa tego wynika, Ŝe planeta porusza się wolniej, gdy jest daleko od Słońca, a
szybciej, gdy jest bliŜej niego. II prawo Keplera mówi, Ŝe w ruchu planet
spełniona jest zasada zachowania momentu pędu
18
Prawa Keplera
Grawitacja
17.XII.2011
Pole powierzchni tego klina
∆
S jest równe w przybli
Ŝ
eniu polu trójk
ą
ta o podstawie r
δθ
i wysoko
ś
ci r. Chwilowa szybko
ść
zmiany pola powierzchni jest wobec tego równa
Drugie prawo Keplera:
ω
θ
2
2
2
1
2
1
r
dt
d
r
dt
dS
=
=
( ) (
)
ω
ω
2
mr
r
m
r
mv
r
rp
L
=
=
=
=
⊥
⊥
m
L
dt
dS
2
=
19
Prawa Keplera
GM
r
T
2
3
2
4
π
=
Grawitacja
17.XII.2011
Trzecie prawo Keplera:
Kwadrat okresu ruchu kaŜdej planety na orbicie wokół Słońca jest proporcjonalny do
sześcianu półosi wielkiej tej orbity.
Planeta
Półoś wielka a
Okres T
T
2
/a
3
[10
10
m]
[a]
[10
-34
a
2
/m
3
]
Mercury
5.79
0.241
2.99
Wenus
10.8
0.615
3.00
Ziemia
15.0
1.00
2.96
Mars
22.8
1.88
2.98
Jowisz
77.8
11.9
3.01
Saturn
143.0
29.5
2.98
Uran
287.0
84.0
2.98
Neptun
450.0
165.0
2.99
Pluton
590.0
248.0
2.99
20
Przykłady
Grawitacja
17.XII.2011
ZałóŜmy, Ŝe prędkość ucieczki z planety jest tylko nieznacznie większa
niŜ prędkość ucieczki z Ziemi, ale planeta jest znacznie większa od Ziemi. Jaka
będzie (średnia) gęstość planety w porównaniu do (średniej) gęstości Ziemi?
Gęstości planet są związane z prędkością ucieczki z ich powierzchni przez:
WyraŜając stosunek prędkości ucieczki z planety do prędkości ucieczki z Ziemi i
upraszczając:
Ziemi
Ziemi
Ziemi
R
GM
v
2
=
planety
planety
planety
R
GM
v
2
=
Ziemi
planety
planety
Ziemi
Ziemi
Ziemi
planety
planety
Ziemi
planety
M
M
R
R
R
GM
R
GM
v
v
=
=
2
2
21
Przykłady
Grawitacja
17.XII.2011
PoniewaŜ
⇒
≈
planety
Ziemi
v
v
2
2
2
2
3
3
3
4
3
4
1
p
Z
Z
p
Z
Z
p
p
Z
Z
p
p
p
Z
Z
Z
p
p
p
Z
R
R
R
R
R
R
R
R
V
V
R
R
=
⇒
=
=
≈
ρ
ρ
ρ
ρ
π
ρ
π
ρ
ρ
ρ
Ziemi
planety
planety
Ziemi
Ziemi
planety
planety
Ziemi
M
M
R
R
M
M
R
R
=
⇒
=
1
1
WyraŜając M
planety
i M
Ziemi
przez ich gęstości i upraszczając:
PoniewaŜ planeta jest znacznie większa niŜ Ziemia, stąd
1
<<
Z
p
ρ
ρ
Wniosek: Gęstość planety musi być mniejsza niŜ gęstość Ziemi!
22
Przykłady
Grawitacja
17.XII.2011
Oszacuj masę naszej Galaktyki (Drogi Mlecznej) jeśli Słońce obiega centrum
Galaktyki z okresem 250 milionów lat, średniej odległości 30.000 lat
świetlnych. Wyrazić masę w postaci wielokrotności masy Słońca M
S
.
Do oszacowania masy galaktyki załóŜmy, Ŝe centrum galaktyki to punkt masy, z
krąŜącym wokół niej po orbicie Słońcem i zastosujmy trzecie prawo
Keplera. Niech M
G
reprezentuje masę galaktyki
2
3
0
2
3
2
2
4
4
T
GM
R
M
M
R
GM
T
S
S
G
o
G
π
π
=
⇒
=
Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy:
(
)(
)(
)
11
2
1
7
6
30
2
2
11
3
15
4
2
10
1
.
1
10
156
.
3
10
250
10
99
.
1
10
6742
.
6
.
.
10
461
.
9
.
.
10
00
.
3
4
⋅
≈
≈
⋅
×
⋅
⋅
⋅
⋅
×
⋅
=
−
−
−
sy
y
kg
kg
Nm
y
l
m
y
l
M
M
S
G
π
S
G
M
M
11
10
1
.
1
⋅
≈
23
Przykłady
Grawitacja
17.XII.2011
Masa Saturna wynosi 5.69 × 10
26
kg.
(a) Znaleźć okres jego księŜyca Mimas, który porusza się po orbicie o promieniu
1.86×10
8
m.
(b) Znaleźć średni promień orbity księŜyca Titan, którego okres wynosi 1.38×10
6
s.
3
2
3
2
2
4
4
M
S
M
M
S
M
r
GM
T
r
GM
T
π
π
=
⇒
=
a) Skorzystamy z trzeciego prawa Keplera:
Podstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy:
(
)
(
)(
)
h
s
kg
kg
Nm
m
T
M
7
.
22
10
18
.
8
10
69
.
5
10
6726
.
6
10
86
.
1
4
4
26
2
2
11
3
8
2
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
−
−
π
24
Przykłady
Grawitacja
17.XII.2011
(b) Znaleźć średni promień orbity księŜyca Titan, którego okres wynosi 1.38×10
6
s.
2
2
3
2
2
4
4
π
π
S
T
T
T
S
T
GM
T
r
r
GM
T
=
⇒
=
b) Podobnie jak w punkcie a) skorzystamy z trzeciego prawa Keplera:
Podstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy:
(
) (
)(
)
m
kg
kg
Nm
s
r
T
9
3
2
26
2
2
11
2
6
10
22
.
1
4
10
69
.
5
10
6726
.
6
10
38
.
1
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
−
−
π
25
Przykłady
Grawitacja
17.XII.2011
Promień Ziemi jest 6370 km, a promień księŜyca 1738 km. Przyspieszenie
grawitacyjne na powierzchni KsięŜyca wynosi 1.62 m/s
2
. Jaki jest
stosunek średniej gęstości KsięŜyca do Ziemi?
Wyraźmy przyspieszenie ziemskie na powierzchni Ziemi przez średnią gęstość Ziemi:
2
3
2
2
3
4
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
R
R
G
R
V
G
R
GM
g
π
ρ
ρ
=
=
=
Przyspieszenie grawitacyjne na księŜycu
K
K
K
R
G
g
π
ρ
3
4
=
Dzieląc oba równania przez siebie otrzymujemy:
65
.
0
=
=
⇒
=
K
Z
Z
K
Z
K
Z
Z
K
K
Z
K
R
g
R
g
R
R
g
g
ρ
ρ
ρ
ρ
26
Przykłady
Grawitacja
17.XII.2011
Cztery identyczne planety są ułoŜone w kwadrat, jak pokazano na rysunku. JeŜeli
masa kaŜdej planety wynosi M i długość kwadratu a, jakie są ich prędkości, jeŜeli
krąŜą po orbicie względem wspólnego środka pod wpływem ich wzajemnego
przyciągania?
27
Przykłady
Grawitacja
17.XII.2011
Wyraźmy przyspieszenie ziemskie na powierzchni Ziemi przez średnią gęstość Ziemi:
∑
=
rad
rad
a
m
F
r
r
PoniewaŜ
+
=
⇒
=
=
2
1
2
2
2
2
/
2
2
2
2
2
a
GM
a
Mv
a
Mv
a
Mv
F
C
Rozwiązując dalej:
a
GM
a
GM
v
16
.
1
2
2
1
1
=
+
=
2
1
cos
2
F
F
F
c
+
=
θ
Podstawiając za F
1
, F
2
oraz θ i upraszczając:
( )
+
=
+
=
+
°
=
2
1
2
2
2
1
2
2
45
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
GM
a
GM
a
GM
a
GM
a
GM
F
C