W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

 

 

1

1

5

5

 

 

N

N

I

I

E

E

S

S

T

T

A

A

T

T

E

E

C

C

Z

Z

N

N

O

O

Ś

Ś

Ć

Ć

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

 

 
 
 
 

Weźmy pewne pole prędkości i wprowadźmy do 

niego 

małe zaburzenie. Może ono znikać z upływem czasu, rosnąć 

lub pozostawać niezmienne. 

 

 

1

v

 

- 

pole prędkości we wnętrzu obszaru Ω przy zadanych 

warunkach brzegowych i przy warunku początkowym

 

 

 

1

v (0)

. 

 

 

2

v

 

- 

pole prędkości w tym samym obszarze, przy takich samych 

warunkach brzegowych, ale przy warunku początkowym

  

 

2

v (0)

. 

Powodem turbulencji jest niestateczność. 

 

 
Miarą odchyłki obu pól prędkości 

E(t) 

jest 

 

 
 
 
 
 

Odchyłkę  

E(0) 

 znamy

, bo określa się ją na podstawie 

 

1

v (0)

 

i 

 

2

v (0)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





2

1

2

1

(t)

v

v

d

2















 

 
Gdy 

 

To rozwiązanie jest 
stabilne.

 

t

lim

(t)

0







 

Fizycznie oznacza to, że obydwa 
pola prędkości z upływem czasu 
nie różnią się. Warunek 
początkowy – odrębny dla obu 
rozw

iązań, nie ma znaczenia, 

jeśli badamy ruch dostatecznie 
długo. 

Mapa określająca zachowania zaburzeń

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dla liczby Reynoldsa Re > Re

kr

 

każde zaburzenie nie znika, lecz 

zmienia ruch.   

 

E(0) 

Niestateczny  

E(t) 

nie znika

 

Stateczny 

E(t) znika 

dla t→∞

 

 

 
Niech                            i                      . 
 
 

 

 

 
 
Wstawmy nasze 

v

 i 

p

 

do 

równania ciągłości i Naviera – Stokesa. 

Otrzymamy wtedy: 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

k

0k

k

k

0i

i

k

i

i

k

k brzeg

brzeg

u

0

x

v

u

u

1

v

u

u

t

x

x

x

u

0

0

 























 

 













 

0

v

v

u





 

0

p

p







 

0

0

v , p

 

- 

to rozwiązania  hydrodynamiki

 

u,



 

-  to zaburzenia

 

Zaburzenie znika na 

brzegu obszaru 

Równanie N-S dla 

zaburzeń 

Równanie ciągłości dla 

zaburze

ń 

Równania powyższe są liniowe. Współczynniki przy 

0i

v

  

i  

0k

i

v

x





 

są 

znane, bo znamy zaburza

ne rozwiązanie. 

 
Rozwiązanie może być przedstawione w postaci sumy rozwiązań 
szczególnych: 
 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
Jedną z harmonik podstawiamy do równań. 

 

p

p

i

t

p

k

k

p

i

t

p

p

u

q e

e
















 

Dostajemy wtedy : 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rozwiązanie niezerowe zachodzi dla pewnych wartości 

p



 

zwanych 

wartościami własnymi

 

 
 
 

 

 

 

 

 

 

p

k

k

p

p

p

p

p

0k

k

k

p

0i

k

k

i

i

k

p

k

brzeg

brzeg

q

0

x

v

q

1

q i

v

q

q

x

x

x

0

q

0



























 

 











 

p

p

p

i











 

 
Czynnik wykładniczy zapisujemy wtedy w sposób następujący : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 

p

p

p

i

t

i

t

t

e

e

e











 

Jeśli choć jedna wartość własna 

ma UJEMNĄ część rzeczywistą to 

zaburzenie będzie narastać! 

Jeśli wszystkie wartości własne są 

dodatnie to zaburzenie znika.