plik

Układy dyskretne – odpowiedź układu może być opisana przez skończoną liczbę zmiennych stanu.
Równania równowagi formułujemy dla poszczególnych stopni swobody. W wyniku przyjętej analizy
opisu otrzymujemy algebraiczny układ równań.
Układy  ciągłe  –  opisujemy  przy  pomocy  równań  różniczkowych  (lub  całkowych).  Rozwiązanie
dokładne  równań  różniczkowych  przy  zadanych  warunkach  brzegowych  jest  możliwe  tylko  dla
niewielu przypadków szczególnych. Z reguły do rozwiązania zadań praktyki inżynierskiej stosować
musimy  procedury  numeryczne.  Procedury  te  w  istocie  swojej  wymagają  przedstawienia  układu
ciągłego za pomocą idealizacji dyskretnej.

2.Podać kroki analizy układów dyskretnych

- idealizacja układu – układ przedstawiamy jako zespół elementów
-równowaga elementów–formułujemy wymagane warunki równowagi poszczególnych elementów w
opisie zmiennych stanu
- składanie elementów – rozpatrujemy oddziaływania pomiędzy elementami w celu ustalenia
(zapisania) układów równań z niewiadomymi zmiennymi stanu
- wyznaczenie odpowiedzi – rozwiązujemy układ równań czyli wyznaczamy nieznane zmienne
opisujące stan układu a następnie obliczamy odpowiedź każdego elementu

3.Omówić schematy budowy modelu dyskretnego

- schemat z modelu matematycznego

Przyjmujemy dowolny układ fizyczny w którym wykonujemy
idealizacje i dyskretyzacje, po czym za pomocą modeli
matematycznych otrzymujemy układ dyskretny. Po rozwiązaniu
modelu dyskretnego otrzymujemy rozwiązanie dyskretne czyli
idealny model matematyczny

- schemat modelu fizycznego

4.Idea metody elementów skończonych

Metoda  rozwiązywania  układów  równań  różniczkowych,  opierająca  się  na  podziale  dziedziny
(dyskretyzacja)  na  skończone  elementy,  dla  których  rozwiązanie  jest  przybliżane,  przez  konkretne
funkcje i przeprowadzenie obliczeń tylko dla węzłów tego podziału.
IDEA METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH.
Główne założenie MES to podział modelu geometrycznego ciągłego na elementy skończone, łączące
się w tzw. węzłach, czego efektem jest utworzenie modelu geometrycznego dyskretnego. Należy
podkreślić, iż efektem dyskretyzacji jest
transformacja układu o nieskończonej liczbie stopni swobody (zdolności do zmiany wartości
określonej współrzędnej) do postaci układu o skończonej liczbie stopni swobody. Podczas obliczeń z
zastosowaniem MES dyskretyzacji ulegają również wszelkie inne wielkości fizyczne,
reprezentowane w układzie za pomocą funkcji ciągłych (np. obciążenia, utwierdzenia,
przemieszczenia, naprężenia). Podczas dyskretyzacji określonej wielkości fizycznej dąży się do
maksymalnego zbliżenia jej postaci dyskretnej i ciągłej z zastosowaniem metod aproksymujących.

5.Metody modelowania obiektów inżynierskich za pomocą MES

-metoda residuów ważonych-metoda Galerkina (jest ogólną metodą rozwiązywania w sposób
przybliżony zadań)
-funkcjonał wariacyjny problemu-metoda Rayleigha-Ritza (metody wariacyjne mogą być
wyprowadzone zgodnie z zasadą ekstremum (minimum))energii, znana też pod nazwą zasady
najmniejszego (minimum) działania, lub z metodą residuów ważonych.

6.Od czego zależy dokładność MES

Dokładność metody MES jest tym większa, im:
- złożone funkcje dokładniej opisują rzeczywisty rozkład pola elementu
- stopnia wielomianu
- podział na elementy jest bardziej gęsty (ten warunek nie jest wystarczający, kluczowy jest dobór
funkcji kształtu)
Przy właściwym odwzorowaniu wielkości fizycznych elementu, zmniejszenie obszarów elementów
(zwiększenie ich liczby) powoduje, że wartości węzłowe funkcji poszukiwanej, stanowiące
przybliżone rozwiązanie zadania, zbliżają się do rozwiązania dokładnego.

7.Co to są funkcje kształtu

Są to funkcje interpolacyjne opisujące stan odkształcenia w zależności od wartości przemieszczeń
węzłowych.
Maja gwarantować:
- ciągłość wewnątrz elementu
- zgodność na granicy podziału w elementach sąsiednich
- zapewnić możliwość dążenia wartości f-cji rozwiązującej do pewniej stałej

8.ZAŁOŻENIA MODELU PŁYTOWEGO – PODAĆ SKŁADOWE NAPRĘŻEŃ
UOGÓLNIONYCH.

- płaska płaszczyzna
- obciążenie prostopadłe do powierzchni płyty
- dominujący wpływ zginania
- ugięcie płyty jest małe w porównaniu z grubością
- płaszczyzna środkowa zmienia się w powierzchnię środkową bez zmiany długości elementów i
kątów między nimi
Naprężenia uogólnione:

9.Omówić element płytowy

Założenia modelu płyty



Płaska płaszczyzna



Obciążenie prostopadłe do powierzchni płyty



Dominujący wpływ zginania



Ugięcie płyty jest małe w porównaniu z grubością



Płaszczyzna środkowa zamienia się w powierzchnię środkową bez zmiany długości elementów i
kątów miedzy nimi.

Elementy skończone

Element 4-węzłowy

Stopnie swobody w węźle

Funkcje kształtu dla elementu:

10.CO OZNACZA TERMIN „PŁYTA ŚREDNIEJ GRUBOŚCI”

Płytą  o  średniej  grubości  nazywamy  ciało  trójwymiarowe,  które  w  stanie  nieodkształconym
ograniczone  jest  dwiema  równoległymi  płaszczyznami  leżącymi  blisko  siebie  i  dowolną
powierzchnią w kierunku prostopadłym do tych płaszczyzn. Wymiar grubości tego ciała jest mały w
stosunku  do  pozostałych  wymiarów  i  wszystkie  obciążenia  działają  prostopadle  do  płaszczyzny
środkowej.
Teoria płyt średniej grubości (Mindlina): t/L>1/10 . Ta teoria odrzuca hipotezę:
„Proste  prostopadłe  po  płaszczyzny    środkowej  w  nieodkształconej  płycie,  zostają  po  jej
odkształceniu  proste  i  prostopadłe  do  powierzchni  środkowej.”  Wystąpi  więc  odkształcenie
postaciowe: γ

≠0, γ

≠0.

11.NA CZYM POLEGA I JAKIE SĄ WARUNKI STOSOWANIA OPCJI REDUKCJI SIŁĄ PRZY PODPORACH
(NAD SŁUPAMI I ŚCIANAMI) PRZY ANALIZIE USTROJÓW PŁYTOWYCH Z WYKORZYSTANIEM
PROGRAMU ROBOT?

Redukcja  sił nad  słupami  i  ścianami;  jeśli  ta  opcja  jest  włączona,  to  dla  elementów  płytowych  lub
powłokowych, które są podparte punktowo (przy pomocy dostępnych typów podpór lub słupów) lub
liniowo (przy pomocy panela  ściany  albo  podpory liniowej  ze zdefiniowanym  wymiarem), wartości
momentów  i  naprężeń w  okolicach  punktów  podparcia  zostaną  zastąpione  średnią wartością z
otoczenia tych podpór/słupów/ścian.
Dla  elementów  płytowych  i  powłokowych,  które  są podparte  punktowo  lub  liniowo  (przy  pomocy
dostępnych  typów  podpór,  słupów  lub  ścian)  wartości  momentów  i  naprężeń w  okolicach  punktów
podparcia

mogą być znacznie

większe

niż w

pozostałych

punktach

płyty.

Może

powodować wyliczanie  niepoprawnych  zbrojeń w  okolicach  podpór  i  słupów;  aby  tego  uniknąć,
można  modelować takie  połączenia  przy  pomocy  dostępnych  w  programie  połączeń sztywnych  lub
wykorzystać opcję  ‘Redukcja sił nad słupami i ścianami’. Redukcja wartości przy podporach polega
na  zastąpieniu  wartości  wynikowych  w  okolicach  podpór,  słupów  i  ścian  wartością zredukowaną z
otoczenia tych podpór.

12.Omówić element powłokowy

Powłoka

Występują w niej siły membranowe oraz momentowe

Definicja elementu powłokowego:
Element powłokowy jest złożeniem elementu płytowego i płaskiego stanu naprężenia.

Element powłokowy posiada 6 stopni swobody 3 przesuwy plus 3 obroty względem osi x,y,z.

13.OMÓWIĆ RÓWNANIE RUCHU.

Kinematyczne  równanie  ruchu  ciała  jest  bardzo  wygodną  metodą  opisu  ruchu.  Pozwala  ono  na
proste obliczenie:
równania toru ciała(przez wyeliminowanie z równań parametru czasu t)
prędkości chwilowej ciała (jest ona pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu)
przyspieszenia chwilowego ciała (jest ono drugą pochodną wektora położenia względem czasu)
Przykłady prostych równań ruchu

Ruch jednostajny prostoliniowy (x0 – położenie początkowe, v – prędkość)

Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony (x0 – położenie początkowe, v0 - prędkość

początkowa, a – przyspieszenie)

Rzut ukośny w górę przy osi OY skierowanej pionowo w górę ((x0,y0) – położenie początkowe, v0 -

prędkość początkowa, α – kąt wyrzucenia)

Ruch harmoniczny (A – amplituda, ω – częstość kołowa, φ0 – faza początkowa)

Ruch po elipsie może być opisany np. równaniami (a, b – długości półosi elipsy)

Gdy a = b jest to ruch po okręgu a ω jest prędkością kątową.

C*q’- Tłumienie; rozproszenie energii (np. podczas wyginania pręta następuje zmiana energii
sprężystej na energię termiczną na skutek tarcia wewnętrznego-energia się „rozchodzi”)
K- siła sprężystości

14.OMÓWIĆ ZAGADNIENIE WŁASNE W DYNAMICE

Zagadnienie własne jest to rozwiązanie liniowego jednorodnego układu równań postaci:

Zagadnienie własne liniowego układu dynamicznego bez tłumienia

Uogólniony problem własny

Analiza zagadnień własnych opisuje drgania swobodne konstrukcji, rozważa problem rezonansu.

Znajomość form i częstości własnych pozwala na wykonanie analizy modalnej, tzn. rozseparowanie

zagadnienia względem tzw. współrzędnych modalnych. Z widma częstości drgań własnych możemy

wyciągnąć szereg wniosków co do zachowania sił konstrukcji pod wpływem obciążeń o charakterze

harmonicznym.

15.Jaki wpływ na obliczaną pierwszą częstotliwość drgań
własnych ma zwiększenie liczby stopni swobody/zagęszczenie
siatki MES? Odpowiedź zilustruj odpowiednim wykresem.

Wraz z zagęszczaniem siatki MES(dodawaniu stopni swobody). Wartość pierwszej częstotliwości
drgań maleje ponieważ jest to częstotliwość o najniższym poziomie energetycznym najczęściej
pojawiająca się.

16.OD CZEGO ZALEŻY LICZBA MOŻLIWYCH DO OBLICZENIA WARTOŚCI I
POSTACI DRGAŃ WŁASNYCH.

Liczba możliwych postaci zależy od SSD (stopni swobody dynamicznej) – możliwości ruchu mas w
określonych kierunkach.
A wartość zależy od parametrów geometrycznych i fizycznych np. EJ, m

17.JAKIE MODELE MAS MOŻNA STOSOWAĆ W OBLICZENIACH
DYNAMICZNYCH W ROBOCIE?

Masy używane w obliczeniach dynamicznych konstrukcji mogą być definiowane na podstawie:
-Ciężaru własnego konstrukcji
-Ciężaru własnego konstrukcji i skupionych mas dodanych
-Ciężarów pochodzących od sił – użytkownik może zmieniać wszystkie siły zdefiniowane wcześniej
na masy, które mogą być użyte w trakcie prowadzonej dynamicznej analizy konstrukcji. Na
przykład, gdy konstrukcja została obciążona siłami zewnętrznymi (np. ciężarem własnym), ciężary

wyznaczone na podstawie tych sił mogą być brane pod uwagę podczas obliczeń dynamicznych
konstrukcji.

18.Na czym polega całkowanie bezpośrednie równań ruchu.

Termin „całkowanie bezpośrednie” oznacza że równanie to nie jest przekształcane do innej postaci.
Istnieje wiele metod całkowania bezpośredniego równań ruchu, bazują one na następujących
założeniach:
-przedział czasu dzielimy na odcinki Δt, z reguły na odcinki stałe;
-równanie ruchu jest spełnione na granicach tych odcinków, czyli w punktach t=k• Δt (k=1,2,3...)
-zakłada się arbitralnie określoną zmienność przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia na odcinku
czasu
Wśród metod jawnych możemy wymienić: metode róznic skończonych, Newmarka, modalną.

Tak dla zrozumienia o co chodzi



W metodach bezpośredniego całkowania równanie ruchu w postaci (9.5) jest całkowane krok po kroku. Termin
"całkowanie bezpośrednie" oznacza, że równanie to nie jest przekształcane do innej po-staci (w odróżnieniu od
metody superpozycji modalnej). Istotą metody całkowania bezpośredniego jest założenie, że równanie ruchu (9.5) ma
być spełnione w wybranych chwilach t, a nie w całym przedziale całkowania oraz założenie o charakterze zmienności
przemieszczeń, prędkości i przyspieszeń pomiędzy tymi chwilami.

19.OMÓW WPŁYW OBCIĄŻENIA NA CZĘSTOTLIWOŚCI WŁASNE

Obciążenia  wpływają  na  charakterystykę  modalną  obiektu.  Generalnie,  obciążenia  ściskające
zmniejszają  częstotliwości  rezonansowe,  a  obciążenia  rozciągające  zwiększają  je.  Można  to  łatwo
zaobserwować  zmieniając  napięcie  struny  w  skrzypcach.  Im  wyższe  napięcie,  tym  wyższa
częstotliwość (ton)

20.Podaj i omów trzy rodzaje obliczeń dynamicznych możliwych do przeprowadzenia w programie
ROBOT.

W programie użytkownik może przeprowadzić różne rodzaje obliczeń dynamicznych konstrukcji.
Analiza modalna
Podczas  analizy  modalnej  konstrukcji  wyznaczane  są  wszystkie  podstawowe  wielkości  opisujące
postaci  drgań  własnych  konstrukcji,  tzn.  wartości  własne  i  wektory  własne  konstrukcji,
współczynniki udziału oraz masy udziału.
Liczba postaci wyznaczanych w trakcie analizy może być definiowana przez użytkownika lub można
ją  określić  poprzez  podanie  zakresu  wartości  niektórych  wielkości  opisujących  drgania  własne
konstrukcji.
Analiza czasowa (całkowanie równań ruchu)
Całkowanie równań ruchu jest to analiza pozwalająca otrzymać odpowiedź konstrukcji w wybranych
punktach  czasowych  na  zadane  wymuszenia  w  czasie  (w  przeciwieństwie  do  innych  typów  analiz
dostępnych  w  ROBOCIE,  które  dają  odpowiedź  w  formie  amplitud  wyłącznie  w  jednej,  ustalonej
chwili).
Istnieje wiele metod całkowania bezpośredniego równań ruchu.
Bazują one na założeniach:
- przedział czasu dzielimy na odcinki Δt – z reguły odcinki stałe
-  równanie  ruchu  jest  spełnione  na  granicach  tych  odcinków,  czyli  w  punktach

𝑡 = 𝑘 ∙ ∆𝑡 (𝑘 =

1,2,3, … )
-zakłada się arbitralnie określoną zmienność: przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia na odcinku
czasu

< (𝑘 − 1) ∙ ∆𝑡, 𝑘 ∙ ∆𝑡 >

Analiza harmoniczna
Użytkownik powinien zdefiniować geometrię konstrukcji i jej obciążenia jak dla przypadku statyki
liniowej. Przyłożone siły są w analizie harmonicznej interpretowane jako amplitudy sił
wymuszających. Ich częstość, kąt fazowy oraz okres są definiowane przez użytkownika.

21.JAKI WPŁYW NA WYNIKI OBLICZEŃ ANALIZY HARMONICZNEJ MA
UWZGLĘDNIENIE TŁUMIENIA? ODPOWIEDŹ ZILUSTRUJ ODPOWIEDNIM
WYKRESEM.

Jeżeli do układu dynamicznego zostaną zastosowane warunki początkowe, to układ drga z coraz
mniejszą amplitudą, aż do zatrzymania. Zjawisko to jest nazywane tłumieniem. Tłumienie jest
zjawiskiem złożonym, które polega na rozpraszaniu energii za pośrednictwem wielu mechanizmów,
jak np. tarcie wewnętrzne i zewnętrzne, efekty termiczne cyklicznego odkształcania materiałów
sprężystych na poziomie mikroskopowym oraz opór powietrza.

22.PODAĆ ZAGADNIENIA W KTÓRYCH NALEŻY ZASTOSOWAĆ NIELINIOWĄ ANALIZĘ.

W strukturach podlegających dużym przemieszczeniom mogą występować znaczne zmiany geometrii
spowodowane deformacjami wywołanymi obciążeniem, które mogą powodować nieliniową reakcję
struktury - bardziej sztywną lub bardziej miękką. Na przykład struktury kablowe generalnie wykazują
wzrost sztywności przy zwiększaniu stosowanych obciążeń, natomiast łuki mogą najpierw
wykazywać zmniejszenie sztywności, po czym wzrost sztywności - zachowanie znane powszechnie
jako wyboczenie z przeskokiem.
Nieliniowe zachowanie materiału może być spowodowane wieloma czynnikami. Zależność relacji
naprężenie-odkształcenie materiału od historii obciążenia (np. w problemach plastyczności), czas
trwania obciążenia (np. a analizie pełzania) oraz temperatura (np. termoplastyczność) to tylko
niektóre spośród tych czynników.
Szczególną klasą problemów nieliniowych jest sytuacja, gdy następuje zmiana natury warunków
brzegowych struktur uczestniczących w analizie podczas ruchu. Sytuacja ta występuje w analizie
problemów kontaktowych.
Uderzanie struktur, kontakt kół zębatych, problemy pasowania, połączenia gwintowe i zderzenia
obiektów to kilka przykładów wymagających oszacowania granic kontaktowych. Oszacowanie granic
kontaktowych (węzłów, linii lub powierzchni) można uzyskać używając elementów przerwy
(kontaktu) pomiędzy węzłami na przylegających granicach.

23.PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ.

Przyczyny nieliniowości:

a) geometryczne – wynikające z uwzględnienia konfiguracji początkowej i końcowej, z uwzględnienia

deformacji;

b)  fizyczne – ze względu na przyjęty materiał ( nieliniowość stali czy betonu)
c)  uwzględnienie tarcia
d)  uwzględnienie zmieniających się warunków brzegowych

24.OMÓWIĆ CECHY ANALIZY NIELINIOWEJ.

Cechy nieliniowej analizy
-Zasada superpozycji nie obowiązuje
-Historia obciążenia wpływa na odpowiedź
-Wpływ stanu początkowego konstrukcji
-Analiza dla poszczególnych kroków czasowych

25.TYPY NIELINIOWOŚĆI

Gładkie:
-Nieliniowość geometryczna-Nieliniowość materiałowa
-Obciążenie śledzące
Ostre:
Więzy jednostronne ( punkt materialny może znajdować się na płaszczyżnie lub nad nią, to
płaszczyzna ta będzie stanowiła dla tego punktu więzy jednostronne f(x,y,z)

≥0)

26.NIELINIOWOŚĆ GEOMETRYCZNA

Źródła nieliniowości:

-duże przemieszczenia, duże gradienty przemieszczeń,
-duże odkształcenia.

W przypadku dużych przemieszczeń:
-  obciążenie  zachowawcze  (potencjalne):  nie  zmienia  swojej  wielkości  i  orientacji  na  wskutek
przemieszczeń konstrukcji,
-  obciążenie  niezachowawcze  (nie  konserwatywne):  zmienia  swoją  orientacje  w  zależności  od
przemieszczeń  konstrukcji,  np.  obciążenie  śledzące,  zawsze  prostopadłe  do  aktualnej  powierzchni
ciała

27.NIELINIOWOŚĆ MATERIAŁOWA

Nieliniowości materiałowe
-Plastyczność, uszkodzenie materiału i mechanizmy zniszczenia
-Zależność właściwości materiałów od temperatury, zmiennych stanu oraz zmiennych zależnych od
rozwiązań

28.Podać miary naprężeń i odkształceń

Miary naprężeń:
-Naprężenia fizyczne σ (Cauchy stress)
-Naprężenia nominalne P ( first Piola-Kirchhoff stress)
-Naprężenia drugiego stopnia S (secondo Piola-Kirchhoff stress)

Dla poszczególnych miar:

𝑛 𝜎 𝑑𝛤 = 𝑑𝑓 = 𝑡 𝑑𝛤

𝑛

𝑜

𝑃 𝑑𝛤

= 𝑑𝑓 = 𝑡

𝑑 𝛤

𝑛

𝑜

𝑆 𝑑𝛤

= 𝐹

−1

𝑑𝑓 = 𝐹

−1

𝑡

𝑑𝛤

Miary odkształceń:
-Tensor odkształceń inżynierskich P

𝑒

𝑙 − 𝑙

𝑙

-Tensor odkształceń Greena (Greena- Lagrangea) E

𝜀 =

1
2

∗ (

𝑙

−𝑙

𝑙

)

-Tensor odkształceń Almansiego A

𝜀

𝑎𝑙

1
2

∗ (

𝑙

− 𝑙

𝑙

)

-Tensor odkształceń logarytmicznych

𝑒

𝑥

= ∫

𝑑𝑙

𝑙

= ln

𝑙

= ln (𝜆

𝑥

)

𝑙

Naprężenie - odkształcenie

29.Co to są równania konstytutywne

Równania konstytutywne są związkami materiałowymi, definiujące materiał.
W  procesach(zagadnieniach)  mechanicznych  takimi  związkami  są  zależności  pomiędzy  tensorem
naprężenia  a  miarami  deformacji(odkształcenia).  W  szczególności  prawo  Hooke’a  jest  związkiem
konstytuowanym ciał liniowo sprężystych.
Ogólna charakterystyka równań konstytuowanych:
-nie wynikają z ogólnych zasad, zachowania termodynamiki,
-mają charakter postulatywny
-nie ma uniwersalnych zasad konstruowania równań konstytutywnych
teoria równań konstytutywnych jest w ciągłym rozwoju i jest uzupełniana w miarę rozwoju inżynierii
materiałowej oraz bazy doświadczalnej.
Równania konstytutywne:
-Prawo Hooke’aσ=Eε
-Prawo Clapeyrona p=Rρθ
-Prawo dla naprężeń dyssypacyjnych(ciecz Newtona)

𝛕

𝐢𝐣=𝛍𝐕

𝐢;𝐣

30.ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

1.  Metoda Bisekcji
2.  Metoda „Regula falsi”
3.  Metoda Siecznych
4.  Metoda kolejnych przybliżeń
5.  Metoda Stycznych (Newtona)

31.OMÓWIC ZAGADNIENIE PLASTYCZNOŚCI.

Plastyczność - zdolność do ulegania nieodwracalnym odkształceniom powstającym na skutek
działania na ciało stałych naprężeń mechanicznych, przekraczających zakres, w którym jest
ono  zdolne  do  odkształceń  sprężystych  i  jednocześnie  na  tyle  małe,  że  nie  powodują
zniszczenia  ciągłości  jego  struktury.  Naprężenie  przy  którym  rozpoczyna  się  proces
plastyczny nazywane jest granicą plastyczności.
Dla  złożonego  stanu  naprężenia  niezbędne  jest  kryterium  uplastycznienia  (umożliwia
określenie czy materiał przekroczył granicę plastyczności). Geometrycznym przedstawieniem
opisującego  kryterium  uplastycznienia  jest  powierzchnia  plastyczności.  Najczęściej
stosowane warunki określające kryterium uplastycznienia:
-Tresca (

𝐹 = 2𝜎𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑌(𝜅) = 0)

-Hubera–von Mises
-Mohr-Coulomb
-Drucker-Prager

Rys. Powierzchnie plastyczności

32.Co to jest ścieżka równowagi

Ścieżka równowagi – krzywa obrazująca model zachowania konstrukcji ( do stanu utraty
stateczności)
Przykłady ścieżek równowagi:

W teorii stateczności wyróżnia się dwa typy utraty stateczności (czyli obciążeń wywołujących te
stany: utrata stateczności przez osiągnięcie punktu granicznego (maksimum obciążenia) i utrata
stateczności przez wyboczenie bi-furkacyjne.

33.METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH.

- metoda Newtona-Raphsona
- zmodyfikowana metoda Newtona-Raphsona
- metoda Quasi-Newton

34.PODAĆ RÓŻNICE MIĘDZY METODĄ NEWTONA-RAPHSONA, ZMODYFIKOWANĄ METODĄ
NEWTONA-RAPHSONA A QUASI-NEWTONA.

Metoda Newtona – Raphsona
Dla typowych zadań jest metodą najszybciej zbieżną przy spełnieniu warunków :
– właściwie dobrany punkt początkowy (startu)
– macierz styczna nie jest osobliwa w obszarze iteracji

Rozwiązanie przykładowego zadania jednowymiarowego metodą
Newtona-Raphsona (na lewo)

Rozwiązanie przykładowego zadania jednowymiarowego modyfikowaną metodą Newtona-Raphsona
(na prawo)

Metoda modyfikowana Newtona-Raphsona jest zazwyczaj szybsza od metody
Newtona-Raphsona bez modyfikacji.

Metoda Quasi-Newtona - algorytm:
– start jak dla metody NR,
– dla kolejnych punktów iteracyjnych wyznacza się macierz lokalnie sieczną

Metoda Quasi-Newtona może być używana, gdy obliczenie Hessianu (macierzy drugich pochodnych
funkcji) wymaganego przez metodę Newtona jest trudne lub czasochłonne. Idea metody polega na
przybliżeniu Hessianu lub jego odwrotności za pomocą pierwszych pochodnych.

35.Metody rozwiązywania zadań dynamiki.

- Zagadnienia dynamiczne liniowe (drgania liniowe) M,C,K są to stałe niezależne od



q ,q

- Zagadnienia dynamiczne liniowe (drgania liniowe parametryczne)

M(t),C(t),K(t) są jawnymi funkcjami czasu, niezależne od



q ,q

-Zagadnienia nieliniowe-drgania nieliniowe M,C,K zależą od czasu t,



q ,q

- Zagadnienie własne
b=0

-Normowanie wektora własnego
-Metoda Rayleigha-Ritza

)

(

)

(

)

(

)

(





























)















)

(

)

(

)

(

)

(















- Zagadnienia dynamiczne nieustalone:
Problem rozwiązania równania:

Mamy dwa sposoby rozwiązania:

-poprzez całkowanie numeryczne
-poprzez analizę modalną

36.NARYSUJ EFEKT ZAGĘSZCZENIA SIATKI PRZY UŻYCIU RÓŻNYCH TYPÓW ZAGĘSZCZEŃ













