DYNAMIKA PŁYNÓW
Dr Stanisław Łuczyński
DYNAMIKA PŁYNÓW
Dr Stanisław Łuczyński
2
Ogólna postać podstawowych równań mechaniki płynów
1. Zasada zachowania pędu (ilości ruchu)
Pochodna pędu płynu zawartego wewnątrz obszaru V względem czasu jest
równa sumie sił zewnętrznych działających na ten obszar
siła bezwładności = siły masowe + siły powierzchniowe
Równania Naviera-Stokesa
dA
P
dV
F
dV
dt
d
V
A
V
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
+
=
r
r
r
ρ
υ
ρ
υ
μ
ρ
υ
ρ
r
r
r
Δ
⋅
+
−
=
gradp
F
dt
d
2. Równanie zachowania krętu (momentu pędu):
Prędkość zmiany momentu pędu płynu zawartego wewnątrz obszaru V równa
się sumie momentów wszystkich sił działających na ten obszar..
dA
P
r
dV
F
r
dV
r
dt
d
V
A
V
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
×
+
×
=
×
)
(
)
(
)
(
r
r
r
r
r
r
ρ
υ
ρ
V
r
r
M
&
r
r
r
r
r
ρ
υ
υ
]
)
(
)
[(
1
2
∞
∞
∞
×
−
×
=
Podstawowe równanie maszyn przepływowych:
σ
λ
ρ
υ
&
& +
+
∇
=
D
T
dt
dT
c
2
3. Równanie zasady energii:
wektor naprężeń
gęstość energii wewnętrznej intensywność wewnętrznego źródła ciepła
strumień energii cieplnej z otoczenia
Zmiana całkowitej energii układu płynnego następuje wskutek pracy sił
masowych i powierzchniowych oraz wskutek dostarczenia energii cieplnej ze
źródeł wewnętrznych i z otoczenia przez powierzchnie kontrolną.
∫∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
+
⋅
+
⋅
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
A
n
V
A
n
V
V
dA
q
dV
dA
dV
F
dV
u
dt
d
&
&
r
r
r
r
σ
υ
τ
υ
ρ
υ
ρ
2
2
intensywność dyssypacji
energii mechanicznej
4. Równanie ciągłości:
+ warunki początkowe i brzegowe
M
z
y
x
dt
d
z
y
x
&
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
υ
υ
υ
ρ
ρ
(
)
0
=
M&
gradp
F
dt
d
m
ρ
υ
1
−
=
r
r
x
p
F
z
y
x
t
x
x
z
x
y
x
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
1
. . .
p
z
y
x
,
,
,
υ
υ
υ
Dynamika płynów doskonałych
)
0
(
=
μ
Równania Eulera
Leonhard Euler
(1707 - 1783).
Traktat „Ogólne
zasady ruchu
płynów” (1755)
0
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
z
y
x
dt
d
z
y
x
υ
υ
υ
ρ
ρ
Założenia:
¾
Przepływ stacjonarny
¾
Płyn bapotropowy
¾
Siły masowe potencjalne
Równanie Bernoulliego
const
gz
p
=
+
+
ρ
υ
ρ
2
2
r
const
gz
p
=
+
+
ρ
υ
2
2
r
Daniel Bernoulli (1700 – 1782),
szwajcarski matematyk i fizyk.
Obszarem jego zainteresowań były
także medycyna i fizjologia.
W Petersburgu przygotował swoją
większą pracę z hydrodynamiki.
W ostatecznej redakcji to klasyczne
dzieło wyszło w Strasburgu w roku
1738 pod tytułem Hydrodynamika,
czyli studia nad siłami i ruchami
cieczy.
W roku 1725 Daniel Bernoulli
został powołany wraz z bratem
Mikołajem do Petersburskiej
Akademii Nauk, w której czynny
był około ośmiu lat.
const
g
p
g
=
+
ρ
υ
2
2
h
g
p =
ρ
4
2
D
A
π
=
3
3
2
2
1
1
A
A
A
⋅
=
⋅
=
⋅
υ
υ
υ
Zastosowania równania Bernoulliego
(
)
∞
∞
∞
−
=
ρ
υ
p
p
2
2
gh
p
p
m
ρ
=
−
∞
2
Rurka Pitota - Prandtla
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
1
2
4
2
1
d
D
p
p
ρ
υ
Zwężka Venturiego
Kryza
gh
2
2
=
υ
Wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór
2
2
(
)
gh
p
p
a
2
2
1
2
+
−
=
ρ
υ
Woda wypływa do otoczenia przez mały otwór w zbiorniku,
który znajduje się na głębokości h = 180 cm. Nad zwierciadłem
wody panuje ciśnienie p
1
= 1,035 bar. Z jaką teoretyczną
prędkością wypływa woda, jeżeli ciśnienie otoczenia jest równe
p
a
= 1,01 bar.
Obliczyć strumień objętości oleju o gęstości ρ = 0,8 kg/l
wypływającego ze zbiornika jeżeli średnica przewodu
wynosi d = 32 mm. Nadciśnienie na manometrze przy
zamkniętym i otwartym zaworze wynosi odpowiednio
p
z
= 1,035 bar i p
o
= 1,019 bar.
υ
μ
ρ
υ
ρ
r
r
r
Δ
⋅
+
−
=
gradp
F
dt
d
m
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
z
y
x
x
p
F
z
y
x
t
x
x
x
x
x
z
x
y
x
x
x
υ
υ
υ
μ
ρ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
ρ
. . .
. . .
)
(
y
υ
)
(
z
υ
Podstawy dynamiki płynów rzeczywistych
Równania Naviera-Stokesa
Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836)
francuski inżynier i fizyk
George Gabriel Stokes (1819-1903),
irlandzki matematyk i fizyk
Przepływy laminarne i turbulentne
Doświadczenia
Reynoldsa (1883)
ν
υ
μ
ρυ
D
D
Re
=
=
2000
÷ 2300
=
kr
Re
Osborne Reynolds (1842 – 1912),
irlandzki inżynier
Przepływ przez kratkę
Turbulencja jednorodna
Struga
Re =10000
wody dymu
Reguły Reynoldsa Reguły uśredniania
x
x
x
υ
υ
υ
′
+
=
P
P
P
′
+
=
y
y
y
υ
υ
υ
′
+
=
z
z
z
υ
υ
υ
′
+
=
wartość
wartość
pulsacja
chwilowa średnia (fluktuacja)
0
=
−
=
−
=
′
x
x
x
x
x
υ
υ
υ
υ
υ
0
≠
′
′
y
x
υ
υ
x
x
υ
υ
=
L
0
2
≠
′
=
′
′
x
x
x
υ
υ
υ
jednopunktowe momenty korelacyjne
∫
−
=
2
1
1
2
1
t
t
x
x
dt
t
t
υ
υ
Przepływ turbulentny, nieściśliwy, stacjonarny
, gdzie
0
=
∂
∂
t
i
υ
,
const
=
ρ
Równania Reynoldsa
z
y
x
z
y
x
x
p
F
z
y
x
z
x
y
x
x
x
x
x
x
x
z
x
y
x
x
∂
′
′
∂
−
∂
′
′
∂
−
∂
′
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
υ
υ
ρ
υ
υ
ρ
υ
ρ
υ
υ
υ
μ
ρ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
ρ
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′
−
′
′
−
′
′
−
′
′
−
′
−
′
′
−
′
′
−
′
′
−
′
−
=
2
2
2
z
y
z
x
z
z
y
y
x
y
z
x
y
x
x
ij
υ
ρ
υ
υ
ρ
υ
υ
ρ
υ
υ
ρ
υ
ρ
υ
υ
ρ
υ
υ
ρ
υ
υ
ρ
υ
ρ
τ
L
Tensor naprężeń turbulentnych (Reynoldsa)
x
x
x
υ
υ
ε
2
′
=
y
y
y
υ
υ
ε
2
′
=
z
z
z
υ
υ
ε
2
′
=
Stopień lub intensywność turbulencji
2
2
2
2
2
z
y
x
q
υ
υ
υ
′
+
′
+
′
=
Energia kinetyczna turbulencji
Współczynnik korelacji (autokorelacji)
2
2
y
x
y
x
xy
R
υ
υ
υ
υ
′
′
′
′
=
Makro- i mikroskale turbulencji
( )
dx
x
R
xx
x
Δ
Λ
∫
∞
=
0
2
1
0
2
2
2
1
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
x
xx
x
dx
R
d
Δ
λ
Warstwa przyścienna
−
)
x
(
δ
grubość
warstwy
przyściennej
Ludwig Prandtl (1875 - 1953),
niemiecki fizyk
v =
1
mm/s
Re = 13
Re = 26
Walec
Ścieżka wirowa Karmana
Theodore von Kármán (węg. Szőllőskislaki
Kármán Tódor) (1881 - 1963) jest uważany za
pioniera nowoczesnej aerodynamiki.
Re = 26,8
Re = 15000
Kula
Ciecz o gęstości ρ = 0,85 kg/l płynie rurociągiem o
średnicy d = 30 mm z natężeniem przepływu Q = 2,5 l/s.
Lepkość dynamiczna cieczy µ = 0,05 Pa·s. Określić
charakter przepływu.
Przy jakim natężeniu przepływu cieczy nastąpi stan
krytyczny, jeżeli średnica rury d = 20 mm, a lepkość
kinematyczna ν = 0,05·10־³ m²/s?
Woda płynie rurociągiem z natężeniem przepływu Q = 0,2
l/s. Lepkość dynamiczna wody µ = 0,001 Pa·s. Jaka może
być wartość średnicy rury aby przepływ został
laminarnym?
Przepływy w przewodach pod ciśnieniem
2
2
ρυ
λ
d
L
p =
Δ
Straty liniowe
L
p
L
p
p
x
p
Δ
−
=
−
=
∂
∂
1
2
0
=
∂
∂
y
p
p
p
p
Δ
=
−
2
1
λ
- współczynnik oporów liniowych
U
A
d
h
4
=
d
k
=
ε
)
(Re,
f
ε
λ
=
A - powierzchnia przekroju
U - obwód zwilżony
P
1
P
2
d
x
y
L
O
Re
64
=
λ
dla przepływów laminarnych
Re < 2000 ÷ 2300
(wzów Pioseuille’a)
λ
λ
Re
,
lg
51
2
2
1
−
=
k
L
>
δ
dla rur hydraulicznie gładkich
Re > 4 000 (wzór Prandtla – Karmana)
4
1
3164
0
/
Re
,
=
λ
(wzór Blasiusa ) 4 000 < Re < 100 000
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
71
3
51
2
2
1
,
Re
,
lg
ε
λ
λ
(wzór Colebrooka – White’a)
w strefie przejściowej
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
71
3
2
1
,
lg
ε
λ
(wzór Prandtla – Nikuradsego)
w strefie kwadratowej
Straty miejscowe
-współczynnik oporów
miejscowych
ζ
2
2
ρυ
ζ
=
Δp
Gazy rzeczywiste
T
R
z
p
′
=
ρ
Równanie stanu gazu rzeczywistego
ρ
d
dp
a
=
T
R
k
p
k
a
′
=
=
ρ
Prędkość dźwięku
z
– współczynnik ściśliwości
Prędkość rozchodzenia się dźwięku dla różnych ośrodków:
•lód - 3300 m/s
•beton - 3800 m/s
•stal - 5100 m/s - 6000 m/s
•szkło - 6000 m/s
•powietrze - 340 m/s
•hel – 965 m/s
•woda - 1500 m/s
•rtęć - 1500 m/s
Ciepło właściwie
Ze względu na liczbę Macha można podzielić rodzaje przepływu na:
•nieściśliwy: Ma << 1
•poddźwiękowy: Ma < 1
•dźwiękowy: Ma = 1
•okołodźwiękowy: 0.8 < Ma < 1.2
•naddźwiękowy: Ma > 1
• hiperdźwiękowy: Ma >> 1
a
Ma
υ
=
Liczba Macha
v
v
c
v
T
u
T
q
c
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
p
p
c
p
T
i
T
q
c
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
R
c
c
v
p
′
=
−
κ
=
v
p
c
c
Równanie Hugoniota
(
)
A
dA
d
Ma
=
−
υ
υ
1
2
Fale uderzeniowe
Dysza de Lavala
1
<
Ma
1
=
Ma
1
>
Ma
Przepływy w ośrodkach porowatych
Porowatość powierzchniowa.
Porowatość objętościowa.
(0,259 ÷0,476)
p
rz
A
Q
=
υ
A
Q
=
υ
prędkość filtracji
A
A
m
p
A
=
V
V
m
p
V
=
Henry Philibert Gaspard Darcy
(1803 - 1858) – francuski naukowiec.
k
- współczynnik filtracji
I
- spadek hydrauliczny
L
- droga filtracji
Prawo Darcy’ego
I
k
⋅
=
υ
dL
dh
I
=
Przepuszczalność
p
k
gradp
k
p
p
∇
−
=
−
=
μ
μ
υ
r
h
k
gradh
k
∇
−
=
⋅
−
=
υ
r
p
k
g
k
μ
ρ
=
0
=
∂
∂
+
x
h
k
x
x
υ
0
=
∂
∂
+
y
h
k
y
y
υ
0
=
∂
∂
+
z
h
k
z
z
υ
Równania Darcy’ego dla ośrodka niejednorodnego
.
1. Obliczyć minimalną moc silnika
, niezbędnego do napędu pompy
przetłaczającej wodę w ilości Q = 300 l/min ze studni na głębokości
do
zbiornika, znajdującego się na wysokości od pompy. Długość rurociągu
ssawnego a rurociągu tłocznego . Przyjąć
współczynniki oporów miejscowych
, ,
, sprawność
pompy , ciśnienie , wysokość
.
e
N
m
h
6
2
=
m
h
18
3
=
m
l
h
h
12
1
2
1
=
+
+
m
l
h
l
24
3
3
2
=
+
+
3
,
9
=
s
ζ
3
,
0
=
k
ζ
0
,
1
=
d
ζ
76
0,
=
η
bar
p
g
5
,
1
=
m
h
2
4
=