Podstawy logiki i teorii mnogości.                                                                                                      Relacje i funkcje - zadania 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

 

RELACJE  I  FUNKCJE  --  ZADANIA 

 
 
 
Zadanie 1.  

Podaj dziedzinę , przeciwdziedzinę oraz relację odwrotną do relacji R, S, T określonych 
następująco: 

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

c

c

c

b

c

a

b

a

R

,

,

,

,

,

,

,

=

==

=

, 

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

d

a

c

a

b

a

a

a

S

,

,

,

,

,

,

,

=

==

=

, 

(((( ))))

{{{{

}}}}

b

a

N

b

N

a

b

a

T

<<<<

∧∧∧∧

∈

∈

∈

∈

∧∧∧∧

∈

∈

∈

∈

====

:

,

 

 
Zadanie 2. 

Poniższe relacje 

A

A

R

××××

⊂

⊂

⊂

⊂

 przedstaw w postaci tabel i diagramów, wyznacz dziedzinę , 

przeciwdziedzinę oraz relację odwrotną 

{{{{ }}}}

2

,

1

,

0

====

A

,     

y

x

xRy

<

<<

<

↔

↔

↔

↔

 

{{{{

}}}}

6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

=

==

=

A

,     

y

x

y

x

xRy

≠

≠≠

≠

∧

∧

∧

∧

↔

↔

↔

↔ |

 

{{{{

}}}}

4

,

3

,

2

,

1

====

A

,     

y

x

xRy

+

++

+

↔

↔

↔

↔ |

2

 

 

Zadanie 3. 

Znajdź na płaszczyźnie obrazy następujących relacji określonych w zbiorze liczb 
rzeczywistych: 
 

1)  

y

x

y

R

x

<

<<

<

⇔

⇔

⇔

⇔

 

2)  

1

=

==

=

+

++

+

⇔

⇔

⇔

⇔

y

x

y

R

x

 

 

3)  

1

<

<<

<

−

−−

−

⇔

⇔

⇔

⇔

y

x

y

R

x

 

 

4)  

x R y

x

y

⇔

+ <

2

1 

 

5)  

x R y

x

y

x

y

⇔

= ∨ − =

 

 

6)  

x R y

x

y

y

⇔

+ ≥ ∧ <

1

5  

 

7)  

x R y

x

y

⇔

<

 

 

8)  

x R y

x

y

x

⇔

≤ ≤ −

6

7

 

 

9)  

x R y

x

y

⇔

+

≤ 1

 

 

10)  

x R y

x y

⇔

⋅ <

0  

Określ dziedziny i przeciwdziedziny tych relacji. 
 

Zadanie 4. 

Niech 

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

2

,

6

,

2

,

5

,

1

,

4

,

1

,

3

,

1

,

2

=

==

=

R

  i   

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

5

,

5

,

4

,

3

,

3

,

3

,

2

,

3

=

==

=

S

. 

Wyznacz następujące relacje: 

((((

))))

1

1

1

1

1

,

,

,

,

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

R

S

S

R

S

R

R

S

S

R

o

o

o

o

o

. Które z tych relacji 

są sobie równe? 

 

Zadanie 5. 

Niech 

Z

Z

S

R

××××

⊂

⊂

⊂

⊂

,

, gdzie Z – liczby całkowite,   

y

x

xRy

=

=

=

=

↔

↔

↔

↔

2

 

y

x

xSy

<

<<

<

↔

↔

↔

↔

 

Które z podanych par należą do 

S

R o

, a które do 

R

S o

.

Podstawy logiki i teorii mnogości.                                                                                                      Relacje i funkcje - zadania 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Zadanie 5. 

Wśród następujących relacji określonych w zbiorze liczb rzeczywistych wskaż relacje R, 
które są funkcjami oraz relacje, dla których relacja odwrotna jest funkcją 
 
 

1)  

x R y

x

y

⇔

<

 

 

2)  

x R y

x

y

⇔

=

 

 

3)  

x R y

x

y

⇔

=

2  

 

4)  

x R y

y

x

⇔

=

2  

 

5)  

x R y

y

x

⇔ = +

2  

 

6)  

x R y

y

x

⇔

=

3

 

 

7)  

x R y

y

x

⇔ =

+

2

2  

 

8)  

x R y

x

y

⇔

=

2

2

 

 

9)  

0

=

==

=

+

++

+

⇔

⇔

⇔

⇔

y

x

y

R

x

 

 

10)  

x R y

x y

⇔

⋅ =

0  

 

11) 

x R y

x

y

⇔

+ − =

2

3

0  

 

l2)  

( )

x R y

x

y

⇔

+

⋅ =

1

1

2

 

 

13)   x R y

y

x

⇔

−

=

3

1 

 

Zadanie 6. 

Niech 

{{{{ }}}}

3

,

2

,

1

=

==

=

X

, 

{{{{ }}}}

4

,

3

,

2

=

==

=

Y

. Zbadaj, czy następujące relacje są funkcjami 

Y

X

f

a

:

 

1) 

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

3

,

3

,

4

,

2

,

3

,

1

 

2) 

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

3

,

3

,

5

,

2

,

4

,

1

 

3) 

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

2

,

2

,

4

,

3

,

2

,

3

 

4) 

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

2

,

4

,

4

,

1

,

2

,

1

 

5) 

(((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

4

,

2

,

3

,

1

 

6) 

(((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

1

,

2

,

4

,

1

 

 

Zadanie 7. 

Niech f

1

, f

2

, f

3

 będą funkcjami określonymi w zbiorze liczb rzeczywistych: 

 

a) 

(((( ))))

1

1

++++

==== x

x

f

  

 

b) 

(((( ))))

3

2

2

−

−−

−

=

==

=

x

x

f

  

 

c) 

(((( ))))

x

x

f

2

3

=

==

=

  

Wyznacz funkcje: 

2

1

f

f o

,  

3

1

f

f

o

,  

3

2

f

f

o

,  

1

1

f

f o

,  

2

2

f

f o

,  

3

3

f

f

o

,  

1

2

f

f o

,  

1

3

f

f

o

, 

2

3

f

f

o

,  

((((

))))

3

2

1

f

f

f

o

o

,  

((((

))))

3

1

2

f

f

f

o

o

,  

((((

))))

2

1

3

f

f

f

o

o

. 

 

Zadanie 8. 

Zbadać, czy funkcja w podanym przedziale jest różnowartościowa i wyznaczyć jej funkcję 
odwrotną . Przedstaw obie funkcje  f  i  

1

−

−

−

−

f

 na jednym wykresie 

 
1) 

5

3

++++

==== x

y

 ,  

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

∈

∈

∈

∈

x

 

Podstawy logiki i teorii mnogości.                                                                                                      Relacje i funkcje - zadania 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

2) 

1

2

−

−−

−

−

−−

−

=

==

=

x

y

,  

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

∈

∈

∈

∈

x

 

3) 

1

3

1

++++

==== x

y

,   

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

∈

∈

∈

∈

x

 

4) 

2

3

−

−−

−

=

==

=

x

y

,    

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

∈

∈

∈

∈

x

 

5) 

{{{{ }}}}

0

\

,

1

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

∈

∈

∈

∈

=

==

=

x

x

y

 

6) 

∞

+

∈

−

=

,

0

,

1

2

x

x

y

 

7) 

∞

+

∈

−

=

,

0

,

1

2

x

x

y

 

8) 

∞

+

−

∈

+

+

=

,

2

3

,

3

3

2

x

x

x

y

 

9) 

2

3

,

,

3

3

2

−

∞

−

∈

+

+

=

x

x

x

y

 

 

 

Zadanie 8. 

Dla danych funkcji f i zbiorów A, B, C, D wyznacz 

[[[[ ]]]]

A

f

, 

[[[[ ]]]]

B

f

, 

[[[[ ]]]]

C

f

1

−

−

−

−

, 

[[[[ ]]]]

D

f

1

−

−

−

−

 . 

 
1) 

(((( ))))

2

++++

==== x

x

f

, 

3

,

2

=

==

=

A

,  

2

,

3

−

−−

−

=

==

=

B

,  

3

,

2

=

==

=

C

,  

{{{{ }}}}

4

,

1

−

−−

−

=

==

=

D

 

2) 

(((( ))))

x

x

f

2

3

−

−−

−

=

==

=

, 

3

,

2

=

==

=

A

,  

2

,

3

−

−−

−

=

==

=

B

,  

3

,

2

=

==

=

C

,  

{{{{ }}}}

4

,

1

−

−−

−

=

==

=

D

 

3) 

(((( )))) ((((

))))((((

))))

4

2

−−−−

++++

====

x

x

x

f

, 

{{{{ }}}}

5

,

3

−

−−

−

=

==

=

A

,  

2

,

1

−

−−

−

=

==

=

B

,  

7

,

5

=

==

=

C

,  

{{{{ }}}}

8

−

−−

−

=

==

=

D

 

 
Wykonaj odpowiednie rysunki, oddzielnie dla każdego zbioru.