ELEMENTY LOGIKI DLA PRAWNIKÓW
SEMESTR I, 2010/2011
KOMPLETNY ZBIÓR DEFINICJI
Opracował Duroy (czestnat@op.pl)
dla www.forum-prawo.pl
ELEMENTY LOGIKI DLA PRAWNIKÓW
SEMESTR I, 2010/2011
KOMPLETNY ZBIÓR DEFINICJI
Opracował Duroy (czestnat@op.pl)
dla www.forum-prawo.pl
2
ROZDZIAŁ I (RACHUNEK ZDAŃ)
1. Zdanie w sensie logicznym jest to takie wyrażenie, które jest prawdziwe albo fałszywe.
Inaczej mówiąc, jest to wyrażenie, które opisuje rzeczywistość tak jak się ona ma lub nie tak, jak
się ona ma.
2. Zmienna zdaniowa jest to takie wyrażenie, za które wolno wstawić dowolne zdanie w sensie
logicznym. Jako zmiennych zdaniowych używa się małych liter: "p", "q", "r", "s", "t", "p' ", "p' ' "
itd..
3. Spójniki (spójniki logiczne) to wyrażenia posiadające tę właściwość, że po dodaniu do nich
zdania bądź zdań otrzymuje się nowe zdanie, którego wartość logiczna zależy wyłącznie od
wartości logicznej zdania dołączonego.
4. Spójnik jednoargumentowy jest to takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego jednego
zdania jako argumentu daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej - w szczególny
sposób - przez wartość logiczną zdania dołączonego.
5. Zdanie zanegowane jest to zdanie dołączone do spójnika negacji jako jego argument.
6. Negacja jest to zdanie powstałe przez zanegowanie określonego zdania. Innymi słowy jest to
zdanie zbudowane ze spójnika negacji i jego argumentu.
7. Zdania wzajem sprzeczne to zdanie zanegowane i powstała z niego negacja.
8. Spójnik dwuargumentowy jest to takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego dwóch zdań
jako jego argumentów daje nowe zdanie, którego wartość logiczna jest wyznaczona - w
szczególny sposób - przez wartości logiczne zdań dołączonych.
9. Koniunkcja jest to zdanie zbudowane ze spójnika koniunkcji oraz jego argumentów
3
(czynników).
10. Czynniki są to zdania dołączone do spójnika koniunkcji jako argumenty.
11. Alternatywa jest to zdanie zbudowane ze spójnika alternatywy oraz jego argumentów
(składników).
12. Składniki są to zdania dołączone do spójnika alternatywy jako argumenty.
13. Implikacja jest to zdanie zbudowane ze spójnika implikacji oraz jego argumentów
(poprzednika i następnika)
14. Poprzednik jest to pierwsze zdanie dołączone do spójnika implikacji jako argument.
15. Następnik jest to drugie zdanie dołączone do spójnika implikacji jako argument.
16. Równoważność jest to zdanie zbudowane ze spójnika równoważności oraz jego argumentów
(członów).
17. Człony są to zdania dołączone do spójnika równoważności jako argumenty.
18. Spójnik n-argumentowy jest to wyrażenie, które po dołączeniu do niego n zdań jako jego
argumentów daje nowe zdanie, którego wartość logiczna jest wyznaczona - w szczególny sposób
- przez wartość logiczną zdań dołączonych.
19. Zdanie proste jest to zdanie, w którym nie występują spójniki.
20. Zdanie złożone jest to zdanie, w którym występuje przynajmniej jeden spójnik.
21. Wyrażenia rachunku zdań - zbiór wszystkich wyrażeń rachunku zdań wyznacza
następujące określenie:
4
1. Każda zmienna zdaniowa jest wyrażeniem rachunku zdań,
2. Jeżeli sekwencja postaci A jest wyrażeniem rachunku zdań, to także sekwencja postaci
~ (A) jest wyrażeniem rachunku zdań.
3. Jeżeli sekwencje postaci A oraz B są wyrażeniami rachunku zdań, to wyrażeniami
rachunku zdań są również sekwencje postaci (A) ^ (B), (A) v (B), (A) → (B) oraz (A) ≡
(B).
22. Teza rachunku zdań to takie wyrażenie, które przy wszelkich wstawieniach za występujące
w nim zmienne zdaniowe przekształca się w zdanie prawdziwe.
23. Formalizacja rachunku zdań to operacja polegająca na wyborze pewnych tez rachunku
zdań jako aksjomatów i podaniu reguł wyprowadzania z jednych tez innych tez, przy czym
reguły winny umożliwiać wyprowadzenie z aksjomatów wszystkich i tylko tez rachunku zdań.
24. Aksjomatyzacja to pierwszy etap formalizacji rachunku zdań polegający na wyborze
pewnych tez rachunku zdań jako aksjomatów.
25. Reguła podstawiania to jedna z reguł formalizacji rachunku zdań, która brzmi następująco:
jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to tezą rachunku zdań jest również wyrażenie
postaci B powstałe z tezy A przez konsekwentne podstawianie za występującą w tezie A zmienną
zdaniową dowolnego wyrażenia rachunku zdań.
26. Reguła odrywania to jedna z reguł formalizacji rachunku zdań, która brzmi następująco:
jeżeli wyrażenie postaci A → B jest tezą rachunku zdań i wyrażenie postaci A jest tezą rachunku
zdań, to także wyrażenie postaci B jest tezą rachunku zdań.
27. Reguła zastępowania to jedna z reguł formalizacji rachunku zdań, która brzmi następująco:
jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to tezą rachunku zdań jest także wyrażenie
postaci B powstałe z A przez zastąpienie występującego w A wyrażenia rachunku zdań innym
wyrażeniem na podstawie następujących definicji:
5
(D1) C ^ D =df ~ (C → ~ D)
(D2) C v D =df ~ C → D
(D3) C ≡ D =df ~ [ (C → D) → ( ~ D → C ) ]
28. Dowodem wyrażenia W, na gruncie aksjomatów 1,2 i 3, w oparciu o reguły podstawiania,
odrywania i zastępowania, jest ciąg wyrażeń rachunku zdań, taki że wyrażenie tego ciągu albo
jest jednym z aksjomatów 1 – 3, albo powstaje z wcześniejszego wyrażenia ciągu przez
zastosowanie reguły podstawiania, albo powstaje z wcześniejszych wyrażeń ciągu przez
zastosowanie reguły odrywania, albo powstaje z wcześniejszego wyrażenia ciągu przez
zastosowanie reguły zastępowania, a przy tym ostatnim wyrażeniem tego ciągu jest wyrażenie
W.
29. Dowodzenie to zabieg konstruowania dowodu danego wyrażenia.
ROZDZIAŁ II (RACHUNEK PREDYKATÓW)
30. Imię własne jest to wyrażenie mające za zadanie oznaczać jakieś indywiduum w celu
wyróżnienia go spośród innych obiektów. W rachunku predykatów jako imion własnych używa
się wyrażeń „a”, „b”, „c”, „a
1
”, „a
2
”, itd..
31. Deskrypcja jest to wyrażenie będące charakterystyką odnoszącą się do co najwyżej jednego
obiektu, które przeto oznacza co najwyżej jeden obiekt.
32. Terminy jednostkowe są to imiona własne oraz deskrypcje.
33. Zmienna indywiduowa jest to wyrażenie, za które wolno wstawić dowolny termin
jednostkowy. Jako terminów jednostkowych używamy małych liter „x”, „y”, „z”.
34. Funktor jednoargumentowy jest to wyrażenie, które z jednym terminem jednostkowym
daje termin jednostkowy.
6
35. Funktor dwuargumentowy jest to wyrażenie, które z dwoma terminami jednostkowymi daje
termin jednostkowym.
36. Funktor n-argumentowy jest to wyrażenie, które z n-tką terminów jednostkowym daje
termin jednostkowy. W rachunku predykatów funktorami są: „f
1
1
”, „f
2
1
”, „g
1
1
” itd., gdzie indeks
górny wskazuje, ilu argumentowy jest dany funktor. Gdy nie ma wątpliwości co do liczby
argumentów danego funktora, pomija się indeks górny.
37. Termy – zbiór wszystkich termów wyznacza następujące określenie:
1. Każda zmienna indywiduowa jest termem i każde imię własne jest termem.
2. Jeżeli wyrażenia w
1
, ... ,w
n
są termami to termem jest również wyrażenie f
n
k
(w
1
, ... ,
w
n
) (dla każdego k)
38. Predykat jednoargumentowy jest to takie wyrażenie, które z jednym terminem
jednostkowym daje zdanie.
39. Predykat dwuargumentowy jest to takie wyrażenie, które z dwoma terminami
jednostkowymi daje zdanie.
40. Predykat n-argumentowy jest to takie wyrażenie, które z n-tką terminów jednostkowych
daje zdanie.
41. Formuła zdaniowa atomowa rachunku predykatów jest to wyrażenie powstałe poprzez
stosowne dołączenie do n-argumentowego predykatu n-tki termów.
42. Zdanie atomowe jest to wyrażenie powstałe poprzez stosowne dołączenie do n-
argumentowego predykatu n-tki terminów jednostkowych.
43. Zdanie molekularne jest to zdanie zbudowane z jednego bądź więcej zdań atomowych i co
7
najmniej jednego spójnika.
44. Zasięg dużego kwantyfikatora jest to wyrażenie występujące w nawiasie bezpośrednio po
dużym kwantyfikatorze.
45. Zasięg małego kwantyfikatora jest to wyrażenie występujące w nawiasie bezpośrednio po
małym kwantyfikatorze.
46. Zmienna związana jest to zmienna indywiduowa występująca w zasięgu odnoszącego się do
niej kwantyfikatora.
47. Zmienna wolna jest to zmienna występująca w danym miejscu wyrażenia nie będąc tam
zmienną związaną.
48. Formuły zdaniowe rachunku predykatów – zbiór wszystkich formuł zdaniowych rachunku
predykatów wyznacza następujące określenie:
1. Każda formuła zdaniowa atomowa jest formuła zdaniową rachunku predykatów.
2. Jeżeli wyrażenie postaci (A) jest formuła zdaniową rachunku predykatów, to również
wyrażenie postaci ~ (A) jest formuła zdaniową rachunku predykatów.
3. Jeżeli wyrażenie postaci (A) i wyrażenie postaci (B) są formułami zdaniowymi
rachunku predykatów, to formułami zdaniowymi rachunku predykatów są również
wyrażenia postaci (A) ^ (B), (A) v (B), (A) → (B) oraz (A) ≡ (B).
4. Jeżeli postaci (A) jest formuła zdaniową rachunku predykatów to formułą zdaniową
rachunku predykatów są również sekwencje ^ x
i
(A) oraz V x
i
(A) (dla dowolnego i).
49. Zdanie rachunku predykatów jest to formuła zdaniowa rachunku predykatów nie
zawierająca zmiennych wolnych.
ROZDZIAŁ III (ZBIORY)
8
50. Zbiór w sensie kolektywnym jest to pewna całość składająca się z przedmiotów będących
jej częściami.
51. Zbiór w sensie dystrybutywnym jest to zespół pewnych obiektów wyróżnionych w
określony sposób.
52. Elementy są to obiekty należące do danego zbioru w sensie dystrybutywnym.
53. Teoria mnogości jest to dział szeroko pojętej logiki zajmujący się zbiorami.
54. Zbiór pusty jest to zbiór nieposiadający żadnego elementu.
55. Zbiór jednoelementowy jest to zbiór, który posiada tylko jeden element.
56. Zbiór dwuelementowy jest to zbiór, który posiada tylko dwa elementy.
57. Zbiór skończony jest to zbiór, który posiada skończoną liczbę elementów.
58. Zbiór pełen danej nauki jest to zbiór wszystkich przedmiotów badanych przez tę naukę.
59. Rodzina zbiorów jest to zbiór, którego wszystkie elementy są zbiorami.
60. Dwa zbiory są identyczne wtedy, gdy mają te same elementy.
61. Jeden zbiór zawiera się w drugim (inkluzja) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element
pierwszego zbioru jest też elementem drugiego zbioru. (zbiór Z to podzbiór, a zbiór Y to
nadzbiór)
62. Jeden zbiór właściwie zawiera się w drugim wtedy i tylko wtedy, każdy element
pierwszego zbioru jest elementem drugiego zbioru i gdy jednocześnie istnieje taki obiekt, który
nie jest elementem pierwszego zbioru, ale jest elementem drugiego zbioru.
9
63. Dwa zbiory krzyżują się wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki obiekt, który jest elementem
każdego z tych zbiorów i istnieje taki obiekt, który jest elementem pierwszego zbioru i nie jest
elementem drugiego zbioru i istnieje taki obiekt, który jest nie jest elementem pierwszego zbioru
a jest elementem drugiego zbioru.
64. Dwa zbiory wykluczają się wtedy i tylko wtedy, gdy nie mają one wspólnych elementów.
65. Podział zbioru jest to zabieg wyróżnienia z danego zbioru jego podzbiorów, który spełnia
wymóg rozłączności i wymóg adekwatności.
66. Wymóg rozłączności spełniony jest wtedy, gdy dowolne dwa podzbiory wyróżnione z
danego zbioru wzajemnie się wykluczają.
67. Wymóg adekwatności spełniony jest wtedy, kiedy suma wszystkich wyróżnionych z danego
zbioru podzbiorów jest identyczna ze zbiorem, z którego wyróżniono owe podzbiory.
68. Zbiór dzielony jest to zbiór, z którego wyróżnia się podzbiory dokonując podziału.
69. Człony podziału są to podzbiory wyróżnione ze zbioru dzielonego.
70. Podział nieskończony jest to podział danego zbioru na nieskończenie wiele elementów.
71. Podział nieskończony jest to podział danego zbioru na skończenie wiele elementów.
72. Podział wedle pewnej zasady jest to wyróżnienie ze zbioru dzielonego członów podziału
zawierających elementy posiadające tę samą odmianę cechy będącej zasadą podziału.
Aby podział wedle pewnej zasady mógł być przeprowadzony, muszą być spełnione trzy
warunki:
10
1. Cecha będąca zasadą podziału przysługuje wszystkim elementom zbioru dzielonego.
2. Uwzględniono wszystkie odmiany cechy
3. Żaden element zbioru dzielonego nie posiada dwóch odmian cechy.
73. Zbiory współrzędne ze względu na pewną zasadę są to człony podziału przeprowadzonego
według pewnej zasady.
74. Podział dychotomiczny jest to wyróżnienie ze zbioru dzielonego członu podziału
zawierającego elementy posiadające pewną cechę oraz członu zawierającego pozostałe elementy,
które tej pewnej cechy nie posiadają.
75. Podział jest naturalny z pewnego punktu widzenia, gdy obiekty zawarte w poszczególnych
członach są, z tego punktu widzenia, bardziej do siebie podobne niż obiekty należące do różnych
członów.
76 Podział uchodzi za sztuczny z pewnego punktu widzenia, gdy obiekty zawarte w
poszczególnych członach są, z tego punktu widzenia, mniej do sobie podobne niż obiekty
należące do różnych członów.
77. Klasyfikacja jednostopniowa jest to każdy podział zbioru.
78. Klasyfikacja dwustopniowa jest to podział każdego członu klasyfikacji jednostopniowej.
79. Klasyfikacja trójstopniowa jest to podział każdego członu klasyfikacji dwustopniowej.
App: działania na zbiorach
ROZDZIAŁ IV (RELACJE)
80. Człony relacji są to obiekty, między którymi zachodzi dana relacja
81. Cechy są to relacje jednoczłonowe.
11
82. Relacja dwuczłonowa jest to relacja zachodząca zawsze między dwoma obiektami.
83. Relacja trójczłonowa jest to relacja zachodząca zawsze między trzema obiektami.
84. Dziedzina relacji R jest to zbiór wszystkich tych obiektów, które pozostają w relacji R do
pewnych obiektów.
85. Przeciwdziedzina relacji R jest to zbiór wszystkich tych obiektów, do których pewne
obiekty pozostają w relacji R.
86. Pole relacji R jest to suma dziedziny relacji R i przeciwdziedziny relacji R.
87. Relacja R jest zwrotna wtedy, gdy każdy obiekt pozostaje w niej do samego siebie.
88. Relacja R jest zwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy każdy element zbioru Z pozostaje w niej do
samego siebie.
89. Relacja R jest niezwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że każdy element zbioru Z
pozostaje w niej do samego siebie,
90. Relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy żaden element zbioru Z nie
pozostaje w niej do samego siebie.
App.:
Relacje:
symetryczna,
niesymetryczna,
przeciwsymetryczna,
przechodnia,
nieprzechodnia i przeciwprzechodnia.
91. Relacja R1 jest konwersem relacji R2 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwóch
elementów relacja R1 zachodzi między pierwszym i drugim elementem wtedy i tylko wtedy, gdy
relacja R2 zachodzi między drugim i pierwszym elementem.
12
92. Relacja R1 jest iloczynem właściwym relacji R2 i R3 wtedy i tylko wtedy, gdy dla
dowolnych dwóch elementów relacja R1 zachodzi między pierwszym i drugim elementem wtedy
i tylko wtedy, gdy istnieje taki przedmiot, że relacja R2 zachodzi między pierwszym elementem i
tym przedmiotem i relacja R3 zachodzi między tym przedmiotem i drugim elementem.
93. Relacja równościowa w zbiorze jest to relacja, która jest w tym zbiorze jednocześnie
zwrotna, symetryczna i przechodnia.
94. Klasa abstrakcji od x w zbiorze Z, ze względu na relację R jest to zbiór tych wszystkich
elementów zbioru Z, które pozostają w relacji R do x. { [x]
R, Z
}
95. Relacja R jest spójna w zbiorze Z wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi ona między wszelkimi
dwoma różnymi jego elementami.
96. Relacja liniowo porządkująca zbiór jest to relacja, która w danym zbiorze jest jednocześnie
spójna, przeciwsymetryczna i przechodnia.
97. Dwuczłonowa relacja R jest funkcją jednoargumentową wtedy i tylko wtedy, gdy każdy
element jej dziedziny pozostaje w niej do jednego tylko elementu przeciwdziedziny. Jeśli
bowiem jakikolwiek element jej dziedziny pozostaje w tej relacji do dwóch elementów
przeciwdziedziny, to owe dwa elementy okazują się identyczne.
98. Zbiór argumentów funkcji jest to dziedzina dwuczłonowej relacji będącej
jednoargumentową funkcją.
99. Zbiór wartości funkcji jest to przeciwdziedzina dwuczłonowej relacji będącej
jednoargumentową funkcją.
ROZDZIAŁ V (JĘZYK)
13
100. Reguły ustalające słownik danego języka są to reguły, które wyznaczają podstawowe
wyrażenia tego języka zwane słowami.
101. Reguły gramatyczne są to reguły, które dzielą się na reguły ustalające kategorie
gramatyczne oraz reguły ustalające sposób budowania wyrażeń złożonych z wyrażeń o
określonych kategoriach gramatycznych.
102. Kategoria gramatyczna danego języka jest to zbiór tych wszystkich wyrażeń określonego
języka, które pozwalają się wzajemnie zastępować w dowolnym zdaniu tego języka, dając w
efekcie zdanie tego języka.
103. Reguły ustalające kategorię gramatyczną są to reguły, które kwalifikują poszczególne
słowa oraz złożone wyrażenia danego języka jako elementy określonych jego kategorii
gramatycznych.
104. Reguły ustalające sposób budowania wyrażeń złożonych z wyrażeń o określonej
kategorii gramatycznej są to reguły, które ustalają sposób łączenia wyrażeń prostszych w
bardziej złożone.
105. Reguły formowania są to reguły ustalające słownik oraz reguły gramatyczne.
106. Reguły dedukcyjne są to reguły wyróżniające pewne zdania określonego języka jako
zdania prawdziwe. Dzielą się one na reguły aksjomatyczne i inferencyjne.
107. Tezy danego języka są to zdania określonego języka wyróżnione jako prawdziwe przez
reguły dedukcyjne tego języka.
108. Reguły aksjomatyczne są to reguły, które wyróżniają pewne zdania jako prawdziwe
niezależnie od wartości logicznej jakichkolwiek innych zdań.
109. Aksjomaty danego języka są to zdania wyróżnione jako tezy przez reguły aksjomatyczne.
14
110. Reguły inferencyjne są to reguły, które wyróżniają pewne zdania jako prawdziwe pod
warunkiem, że wyróżnione są jako prawdziwe określone inne zdania danego języka.
111. Bezpośrednia konsekwencja interferencyjna danej tezy jest to zdanie zakwalifikowane
jako teza w wyniku jednokrotnego zastosowania jednej reguły inferencyjnej do określonej tezy.
112. Pośrednia konsekwencja inferencyjna danej tezy jest to zdanie zakwalifikowane jako
teza w wyniku wielokrotnego zastosowania jednej reguły inferencyjnej lub zastosowania wielu
reguł inferencyjnych do określonej tezy.
113. Tautologie są to zdania powstałe z tez rachunku zdań i tez rachunku predykatów.
114. Reguły składniowe są to reguły dedukcyjne i reguły formowania.
115. Kontrtezy danego języka są to zaprzeczenia tez danego języka.
116. Kontrtautologie danego języka są to zaprzeczenia tautologii danego języka.
117. Reguły semantyczne są to reguły, które dzielą się na reguły odniesienia przedmiotowego i
reguły prawdziwościowe.
118. Reguły odniesienia przedmiotowego są to reguły, które dzielą się na reguły ustalające
uniwersum danego języka oraz reguły denotowania.
119. Uniwersum danego języka jest to zbiór obiektów, których właściwości i wzajemne
powiązania opisuje określony język.
120. Reguły ustalające uniwersum danego języka są to reguły wyznaczające uniwersum
określonego języka.
15
121. Reguły denotowania są to reguły, które przyporządkowują poszczególnym wyrażeniom
określone obiekty, czyli wskazują, co poszczególne wyrażenia oznaczają.
122. Reguły prawdziwościowe są to reguły, które określają warunki, pod jakimi poszczególne
zdania danego języka są zdaniami prawdziwymi.
123. Zdanie Z
1
danego języka jest równoznaczne ze zdaniem Z
2
tego języka wtedy, gdy tezą
owego języka jest implikacja, której poprzednik stanowi zdanie Z
1
, a następnik stanowi zdanie
Z
2
, oraz tezą tego języka jest implikacja, której poprzednikiem jest zdanie Z
2
, a następnikiem jest
zdanie Z
1
124. Niezdaniowe wyrażenie W
1
jest równoznaczne w danym języku z niezdaniowym
wyrażeniem W
2
wtedy, gdy wszelkie dwa zdania tego języka tym się tylko różniące, że w
jednym z nich występuje wyrażenie W
1
, a w drugim występuje wyrażenie W
2
, są równoznaczne.
125. Znaczenie określonego wyrażenia w danym języku jest to własność przysługująca temu
wyrażeniu oraz wszystkim wyrażeniom owego języka z nim równoznacznym.
126. Ze zdań Z
1
, Z
2
, … , Z
k
wynika w danym języku zdanie Z
n
wtedy, gdy implikacja, której
poprzednik tworzy koniunkcja zdań Z
1
, Z
2
, … , Z
k
, a następnik stanowi zdanie Z
n
jest tezą tego
języka.
127. Ze zdań Z
1
, Z
2
, … , Z
k
wynika logicznie zdanie Z
n
wtedy, gdy implikacja, której
poprzednik tworzy koniunkcja zdań Z
1
, Z
2
, … , Z
k
, a następnik stanowi zdanie Z
n
jest tautologią.
128. Język J jest fragmentem języka J’ wtedy, gdy: 1) zbiór reguł słownikowych języka J jest
podzbiorem właściwym zbioru reguł słownikowych języka J’, zaś 2) zbiory reguł gramatycznych,
dedukcyjnych i semantycznych są podzbiorami zbiorów reguł – odpowiednio – gramatycznych,
dedukcyjnych i semantycznych języka J’.
129. Język J jest jednorodny gramatycznie z językiem J’ wtedy, gdy 1) zbiór reguł
16
formowania języka J jest identyczny ze zbiorem reguł formowania języka J’, zaś 2) zbiór reguł
dedukcyjnych języka J jest różni się od zbioru reguł dedukcyjnych języka J’
130. Język J jest metajęzykiem języka J’ wtedy, gdy: 1) dla każdego wyrażenia języka J’
istnieje w języku J termin jednostkowy oznaczający to wyrażenie oraz 2) dla każdego wyrażenia
języka J’ występuje w języku J wyrażenie stanowiące jego przekład.
ROZDZIAŁ VI (DEFINICJE)
131. Definicja metajęzykowa jest to definicja, która została sformułowana w języku będącym
metajęzykiem języka, dla którego ją sformułowano.
132. Definicja przedmiotowa (inaczej wewnątrzjęzykowa) jest to definicja, którą
sformułowano w tym samym języku, dla którego jest ona sformułowana.
133. Definiendum jest to zwrot definicji równościowej zawierający wyrażenie definiowane.
134. Definiens jest to zwrot definiujący w definicji równościowej.
135. Spójka definicyjna jest to zwrot łączący definiendum z definiensem w definicji
równościowej.
136. Definicja wyraźna jest to definicja równościowa, w której wyrażenie definiowane jest
identyczne z definiendum.
137. Definicja kontekstowa jest to definicja równościowa, w której wyrażenie definiowane nie
jest identyczne z definiendum.
138. Definicja równościowa jest to definicja o postaci równoważności albo identyczności.
Każda definicja równościowa jest zbudowana z trzech części. Jedną z nich tworzy zwrot
zawierający wyrażenie definiowane, zwany definiendum. Drugą część definicji równościowej
17
tworzy zwrot definiujący zwany definiensem. Wreszcie trzecią część definicji równościowej
tworzy zwrot łączący definiendum z definiensem zwany spójką definicyjną. Ze względu na
właściwość definicji równościowych, polegającą na umożliwianiu przełożenia wszystkich zdań
zawierających wyrażenia w nich definiowane na zdania nie zawierające tych wyrażeń, definicje
te nazywa się również definicjami normalnymi. Przez wzgląd na stosunek wyrażenia
definiowanego do definiendum definicje równościowe dzielą się definicje kontekstowe i definicje
wyraźne. Definicja równościowa jest definicją wyraźną, gdy wyrażenie definiowane jest
identyczne z definiendum. Natomiast definicja równościowa jest definicją kontekstową, gdy
wyrażenie definiowane nie jest identyczne z definiendum.
139. Definicje przez abstrakcję stanowią szczególną odmianę definicji kontekstowych. Każda
definicja przez abstrakcję jest zdaniem o postaci równoważności, dlatego też jest definicją
równościową. W jej definiensie występuje predykat denotujący relację równościową w
określonym zbiorze, a więc relację, która jest w tym zbiorze jednocześnie zwrotna, symetryczna i
przechodnia. Przypomnijmy, że taka relacja dzieli ów zbiór na klasy abstrakcji od niej będące
podzbiorami tego zbioru, a zawierające elementy, między którymi zachodzi owa relacja.
Wyrażeniem definiowanym w definicji przez abstrakcję jest zawsze pewien funktor. Funktor ten
nie jest identyczny z definiendum tej definicji, lecz występuje w owym definiendum w typowym
dla siebie kontekście. Funktor ten z kolei denotuje pewną funkcję. Argumentami tej funkcji są
obiekty należące do zbioru, w którym relacja denotowana przez predykat z definiensa tej definicji
jest właśnie relacją równościową. Wartości zaś owej funkcji denotowanej przez definiowany
funktor tym się charakteryzują, że gdy między argumentami tej funkcji zachodzi relacja
denotowania przez predykat występujący w definiensie owej definicji to wartości tej funkcji dla
tych argumentów są identyczne, co właśnie stwierdza się w definiendum.
140. Definicje cząstkowe stanowią odmianę definicji nierównościowych. Każda definicja
cząstkowa jest zdaniem o postaci implikacji albo sekwencją zdań o postaci implikacji. W
definicji cząstkowej wyrażeniem definiowanym jest zawsze predykat. Definicja cząstkowa
podaje warunek wystarczający, albo warunek konieczny, albo też warunek wystarczający i
warunek konieczny stosowalności definiowanego wyrażenia. Definicje cząstkowe podpadają pod
następujące schematy (w schematach tych predykat „P” stanowi wyrażenie definiowane):
18
1. /\x [R(x) → P(x)]
2. /\x {S(x) → ~ [P(x)]}
3. /\x {R(x) → [T(x) → P(x)]}
4. /\x |S(x) → {W(x) → ~[P(x)]}|
5. /\x {R(x) → [P(x) ≡ T(x)]}
141. Definicje indukcyjne stanowią odmianę definicji nierównościowych. Definicje indukcyjne
nazywa się również definicjami rekurencyjnymi. Każda definicja indukcyjna zbudowana jest z
dwóch części, a mianowicie z warunku wstępnego i warunku indukcyjnego. W zdaniu
stanowiącym warunek wstępny podaje się najprostszy kontekst, w którym występuje wyrażenie
definiowane. Z kolei w zdaniu stanowiącym warunek indukcyjny zawarta jest zasada
przekształcania bardziej złożonych kontekstów zawierających wyrażenia definiowane w
konteksty prostsze.
Przykładem definicji indukcyjnej jest na przykład następująca definicja dodawania: 1) x + 0 = x,
2) x + następnik(y) = następnik(x+y)
142. Definicje przez postulaty stanowią odmianę definicji nierównościowych. Definicje przez
postulaty nazywa się również definicjami aksjomatycznymi. Definicja przez postulaty składa się
z dwóch lub więcej zdań zawierających wyrażenie definiowane. Każde z tych zdań uznaje się za
zdanie prawdziwe. Oczywiście, prawdziwość zdania zawierającego zdanie definiowane nakłada
pewne restrykcje na pojmowanie tego wyrażenia. Tylko bowiem przy pewnym rozumieniu
wyrażenia definiowanego zawierające je zdanie jest prawdziwe. Zdania tworzące definicję przez
postulaty muszą więc być dobrane tak, aby ich łączna prawdziwość wyznaczała tylko jedno
znaczenie zawartego w nich wyrażenia definiowanego.
143. Podział definicje ze względu na zadania
Definicje ze względu na realizowane przez nie zadania dzielą się na definicje sprawozdawcze i
definicje projektujące.
19
Definicją sprawozdawczą danego wyrażenia dla określonego, zastanego języka jest taka
definicja, która informuje o znaczeniu, jakie definiowane wyrażenie ma już w tym języku.
Definicje sprawozdawcze nazywa się też definicjami analitycznymi. Definicje sprawozdawcze
formułuje się przede wszystkim w celach dydaktycznych.
Definicje projektujące informują o projektowanych dopiero znaczeniach wyrażeń.
Definicją projektującą danego wyrażenia dla określonego, budowanego właśnie języka jest taka
definicja, która informuje o znaczeniu, jakie definiowane wyrażenie będzie mieć w tym języku.
Definicje projektujące nazywa się też definicjami syntetycznymi. Projektują one znaczenia
wyrażeń, a więc wyznaczają znaczenia definiowanych wyrażeń na przyszłość. Definicje
projektujące dzielą się na definicje konstrukcyjne i definicje regulujące.
144. Eksplikacje.
Szczególną odmianę definicji projektujących stanowią eksplikacje.
Pierwszy etap eksplikowania polega na sformułowaniu definiowanego wyrażenia.
Drugi etap eksplikowania polega na podaniu tak zwanych kryteriów adekwatności eksplikacji. Są
nimi zdania wyrażające określone intuicje związane z definiowanym wyrażeniem, których
prawdziwość winna być na gruncie danej eksplikacji zagwarantowana. Jeżeli przy proponowanej
eksplikacji zdania te okazują się prawdziwe, to sama ta eksplikacja może uchodzić za trafną.
Jeżeli natomiast któreś z tych zdań okazuje się na gruncie danej eksplikacji fałszywe, to
dyskwalifikuje to ową eksplikację.
Trzeci etap eksplikowania polega na sformułowaniu oczekiwanej definicji.
Czwarty etap eksplikowania polega na wykazaniu trafności podanej definicji przez wykazanie, iż
zapewnia ona prawdziwość zdań stanowiących kryteria jej adekwatności.
145. Błędy w definiowaniu.
145A. Błąd nieznane przez nieznane
Jednym z błędów popełnianych przy definiowaniu jest błąd zwany nieznane przez
nieznane, czyli po łacinie ignotum per ignotum. Należy zauważyć, że kwalifikacja definicji jako
błędnej ze względu na błąd ignotum per ignotum uzależniona jest od ustalenia, do kogo dana
definicja jest skierowana – błąd ten występuje, gdy definiens jest niezrozumiały dla odbiorcy
definicji.
20
145B. Błędne koło
Inny błędem popełnianym przy definiowaniu jest tzw. błędne koło. Błąd polega tu na
tym, że wyrażenie definiowane występuje nie tylko w definiendum, gdzie jest jego miejsce, ale
także w definiensie, gdzie nie powinno się pojawić. Stanowi to szczególną odmianę błędnego
koła zwaną błędnym kołem bezpośrednim albo po łacinie idem per idem, czyli to przez to
samo.
Inną o wiele bardziej skomplikowaną odmianę błędu stanowi błędne koło pośrednie.
Błąd obarczający tu nie tyle jedną definicję, ile ich zestaw, polega na tym, że wyrażenie
pierwotnie definiowane zostaje użyte dla zdefiniowania wyrażenia je definiującego. Pośrednio
powstaje tu swoiste błędne koło, stąd i nazwa tego błędu. Zestaw obarczony błędnym kołem
pośrednim może składać się z wielu definicji.
145C. Błąd sprzeczności
Innym błędem popełnianym przy definiowaniu jest błąd sprzeczności. Jeśli do pewnego
języka dodaje się określoną definicję, to wówczas powstaje tym samym nowy język, którego
jednym z aksjomatów jest właśnie owa definicja. Jeżeli wśród tez języka wyjściowego nie zdań
wzajem sprzecznych, a wśród tez języka nowego są zdania wzajem sprzeczne, to współtworząca
go definicja jest obarczona błędem sprzeczności.
145D. Błąd nieadekwatności
Definicja obarczona błędem nieadekwatności jest to taka definicja, która nie informuje
należycie o znaczeniu definiowanego w niej wyrażenia. Błąd ten, którym dotknięte mogą być
jednie definicje sprawozdawcze, może przejawiać się na wiele sposobów.
Po pierwsze, definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją za szeroką.
Przypuśćmy, że podano następującą definicję n – argumentowego predykatu „P” sprawozdawczą
w danym języku: P(x
1
,…,x
n
)≡R(x
1
,…,x
n
). Otóż definicja ta jest za szeroka, jeżeli tezą tego języka
jest zdanie „/\x
1
…/\x
n
[P(x
1
,…,x
n
)→R(x
1
,…,x
n
)]”, ale nie jest tezą tego języka zdanie
/\x
1
…/\x
n
[R(x
1
,…,x
n
)→P(x
1
,…,x
n
)]”.
Po drugie, definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją za wąską.
Podana wyżej definicja predykatu „P” jest za wąska, jeżeli tezą rzeczonego języka jest zdanie
„/\x
1
…/\x
n
[R(x
1
,…,x
n
)→P(x
1
,…,x
n
)]”, ale nie jest tezą tego języka zdanie „/\x
1
…/\x
n
[P(x
1
,…,x
n
)→R(x
1
,…,x
n
)]”.
21
Po trzecie, definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją krzyżującą.
Podana wyżej definicja predykatu „P” jest krzyżująca, jeżeli nie jest tezą rzeczonego języka
zdanie „/\x
1
…/\x
n
[P(x
1
,…,x
n
)→R(x
1
,…,x
n
)]” ani nie jest jego tezą zdanie „/\x
1
…/\x
n
[R(x
1
,…,x
n
)→P(x
1
,…,x
n
)]”, ale jego tez jest zdanie „Vx
1
…Vx
n
[P(x
1
,…,x
n
)
^
R(x
1
,…,x
n
)]”.
ROZDZIAŁ VII (WNIOSKOWANIE)
146. Wnioskowanie jest to rozumowanie, w którym na podstawie pewnych przekonań dochodzi
się do jakiegoś przekonania.
147. Przesłanka danego wnioskowania jest to zdanie wyrażające jedno z jego przekonań
wyjściowych.
148. Wniosek danego wnioskowania jest to zdanie wyrażające przekonanie, do którego do
którego dochodzi się w danym wnioskowaniu.\
149. Przesłanka entymematyczna jest to domyślna, nie odtworzona przesłanka
zrekonstruowanego wnioskowania (od greckiego „en thymo”, co znaczy zatrzymaną „w
umyśle”).
150. Wnioskowanie entymematyczne jest to wnioskowanie, które zawiera choć jedną
przesłankę entymematyczną.
151. Wnioskowanie dedukcyjne jest to takie wnioskowanie, z którego przesłanek wynika
logicznie wniosek.
152. Wnioskowanie dedukcyjne entymematyczne jest to wnioskowanie, w którym wniosek
wynika logicznie z jego przesłanek zrekonstruowanych i przesłanek entymematycznych.
153. Wnioskowanie niededukcyjne jest to takie wnioskowanie, którego przesłanek nie wynika
logicznie wniosek.
22
154. Wnioskowanie redukcyjne jest to takie wnioskowanie niededukcyjne, którego przesłanki
wynikają logicznie z wniosku albo też którego przesłanki wynikają logicznie z koniunkcji
wniosku i innych jego przesłanek.
156. Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną niezupełną jest to wnioskowanie
niededukcyjne, w którym dochodzi się do wniosku opisującego jakąś ogólną prawidłowość,
wychodząc od przesłanek opisujących pewne jednostkowe przypadki tej prawidłowości.
157. Wnioskowanie przez analogię jest to wnioskowanie niededukcyjne, w którym od
przesłanek przypisujących wskazanym obiektom jakiegoś rodzaju pewną cechę dochodzi się do
wniosku, przypisującego tę cechę kolejnemu obiektowi tego rodzaju.
158. Błędy we wnioskowaniu
158A. Błąd materialny
Wnioskowanie jest obarczone błędem materialnym wtedy, gdy choć jedna z jego
przesłanek jest fałszywa.
158B. Błąd bezpodstawności
Wnioskowanie jest obarczone błędem bezpodstawności wtedy, gdy choć jedna z jego
przesłanek jest bezpodstawna.
158C. Błąd formalny
Wnioskowanie jest obarczone błędem formalnym, gdy wedle wnioskującego jest ono
wnioskowaniem dedukcyjnym, a w rzeczywistości z przesłanek tego wnioskowania nie wynika
logicznie jego wniosek.
158D. Błędne koło
Wnioskowanie jest obarczone błędnym kołem wówczas, gdy wniosek tego wnioskowania
jest identyczny z którąś z jego przesłanek.
POWODZENIA NA EGZAMINIE!