KRZYSZTOF CHYLA 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

ĆWICZENIA 

  

LABORATORYJNE Z FIZYKI  

 

CZĘŚĆ I 

 

- 2 - 

Spis treści: 

 

Wstęp 

 

str.3 

Ćwiczenie numer 1   „Wyznaczanie gęstości ciał stałych o kształtach 
                                      regularnych”

 

str.9 

Ćwiczenie numer 2   „Badanie rozkładu Gaussa”

 

str.13 

Ćwiczenie numer 3   „Badanie ruchu jednostajnego i jednostajnie zmiennego” 

str.16 

Ćwiczenie numer 4   „Sprawdzanie zasady zachowania pędu” 

str.21 

Ćwiczenie numer 5   „Wyznaczanie gęstości względnej ciał stałych i cieczy na  
                                      podstawie prawa Archimedesa” 

str.24 

Ćwiczenie numer 6   „Wyznaczanie współczynnika spręŜystości spręŜyny” 

str.30 

Ćwiczenie numer 7   „Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła 
                                     matematycznego” 

str.34 

Ćwiczenie numer 8   „Wyznaczanie równowaŜnika cieplnego termosu” 

str.37 

Ćwiczenie numer 9   „Wyznaczanie ciepła właściwego metali” 

str.40 

Ćwiczenie numer 10  „Prosty sposób wyznaczania ciepła parowania” 

str.44 

Ćwiczenie numer 11  „Wyznaczanie ciepła topnienia lodu” 

str.47 

Ćwiczenie numer 12  „Sprawdzanie prawa Ohma” 

str.50 

Ćwiczenie numer 13  „Wyznaczanie oporu wewnętrznego ogniwa Leclanche’go” 

str.53 

Ćwiczenie numer 14  „Wyznaczanie współczynnika załamania światła” 

str.58 

Ćwiczenie numer 15  „Wyznaczanie ogniskowych soczewek skupiających  
                                      i rozpraszających” 

str.64 

Ćwiczenie numer 16  „Wyznaczanie długości fal świetlnych za pomocą siatki  
                                      dyfrakcyjnej” 

str.69 

Ćwiczenie numer 17  „Wyznaczanie krzywej cechowania spektrometru 
                                       pryzmatycznego” 

str.75 

Ćwiczenie numer 18  „Pomiar odległości pomiędzy dwoma ścieŜkami na płycie CD” 

str.79 

 

 

- 3 - 

Wstęp 

  

1.

 

Wielkości fizyczne i związki pomiędzy nimi 

 

Podstawowym pojęciem, którym posługujemy się w całym kursie fizyki, jest pojęcie 

wielkości fizycznej. 

Wielkość fizyczna zwana niekiedy krótko wielkością, jest to 

fizyczna wielkość zjawiska lub ciała, którą moŜna określić ilościowo. 

Innymi słowy wielkościami fizycznymi będziemy nazywali wszystko to, co jesteśmy w 

stanie zmierzyć. Będzie to zatem masa, czas, długość czy opór elektryczny: wielkości 
zaliczane do wielkości fizycznych skalarnych, ale równieŜ wielkości fizyczne wektorowe 
jak prędkość, siła, przyspieszenie czy indukcja magnetyczna. Wielkości te, jak pamiętamy, 
określamy podając kierunek, punkt przyłoŜenia, wartość i zwrot. 

Chcąc zmierzyć daną wielkość fizyczną musimy zawsze dysponować wzorcem tego 

samego rodzaju co mierzona wielkość fizyczna. Tak więc chcąc zmierzyć długość musimy 
dysponować wzorcem długości, aby zmierzyć masę musimy mieć wzorzec masy itd. 

Fizycy bardzo dokładnie określili  podstawowe jednostki pozwalające na odtworzenie 

wzorca nawet wtedy, gdyby wzorce z Międzynarodowego Biura Wag i Miar zostały 
zniszczone. 

Obok trzech podstawowych, powszechnie uŜywanych jednostek: kilograma (kg),  

metra (m) i sekundy (s), fizycy musieli określić jeszcze cztery inne – kelwin (K), amper (A), 
kandelę (cd) i mol (mol). Dopiero te siedem jednostek miar, z takimi pomocniczymi 
jednostkami jak radian (kąt płaski) oraz steradian (kąt bryłowy), pozwala zdefiniować 
jednostki wszystkich wielkości, które występują w fizyce. 

Bardzo często podając jednostki fizyczne uŜywamy przedrostków określających krotność 

w stosunku do jednostki podstawowej np.  

1 km = 1000 m. 

W tym przypadku „k” oznacza kilo, czyli 1000. 

PoniŜej zamieszczono tabelę przedrostków do tworzenia wielokrotności i podwielokrotności 
jednostek. 
 

Przedrostek 

Oznaczenie 

MnoŜnik 

eksa 
peta 
tera 
giga 
mega 
kilo 
hekto 
deka 
decy 
centy 
mili 
mikro 
nano 
piko 
femto 
atto 

E 

P 

T 

G 

M 

k 
h 

da 

d 

c 

m 

µ 

n 
p 

f 

a 

10

18   

= 1000 000 000 000 000 000 

10

15   

= 1000 000 000 000 000 

10

12   

= 1000 000 000 000 

10

9     

= 1000 000 000 

10

6     

= 1000 000 

10

3     

= 1000 

10

2     

= 100 

10

1     

= 10 

10

-1    

= 0,1 

10

-2    

= 0,01 

10

-3    

= 0,001 

10

-6    

= 0,000 001 

10

-9    

= 0,000 000 001 

10

-12  

= 0,000 000 000 001 

10

-15  

= 0,000 000 000 000 001 

10

-18  

= 0,000 000 000 000 000 001 

 

- 4 - 

Pomiędzy wielkościami fizycznymi istnieją zazwyczaj ściśle określone zaleŜności 

wynikające z praw przyrody. W niektórych przypadkach zaleŜności te moŜna przedstawić w 
postaci prostych relacji, w innych związki te są bardziej skomplikowane. MoŜemy je 
przedstawić za pomocą odpowiednich tabel, mniej lub bardziej złoŜonych funkcji lub 
wykresów. 

2.

 

Pomiar i przyrządy pomiarowe 

Jak wspomnieliśmy wcześniej 

 

Pomiarem nazywamy porównywanie danej wielkości fizycznej z 

wielkością fizyczną tego samego rodzaju, którą przyjmujemy za wzorzec. 

Chcąc wykonać pomiar danej wielkości fizycznej musimy dysponować odpowiednim 

przyrządem. Najprostszym przykładem moŜe być pomiar długości za pomocą przymiaru. 
Odległość między dwiema najbliŜszymi kreskami na skali przyrządu pomiarowego (np. 
linijki) będziemy nazywali dokładnością przyrządu. Na linijce odległość ta wynosi 1 mm 
(10

-3 

m), na taśmach pomiarowych 0,5 cm (5 · 10

-3

 m). Suwmiarka pozwala uzyskać 

dokładność pomiaru 0,1 (10

-4

 m), 

 

a śruba mikrometryczna dokładność jeszcze większą, bo wynoszącą 0,01 mm (10

-5

 m). 

Do mierzenia czasu uŜywamy zegarów lub sekundomierzy. O ile za pomocą 

mechanicznego zegarka z sekundnikiem moŜna osiągnąć dokładność rzędu 1 s, to 
sekundomierz zezwala na pomiar, niezbyt długich przedziałów czasowych, z dokładnością 
około 0,2 s. Naturalnie istnieją przyrządy (zegary kwarcowe sprzęŜone z fotokomórkami) 
pozwalające wyznaczyć czas z dokładnością do 10

-3

 s. 

Podobnie jest z wyznaczaniem masy. Stosowane w sklepach, czy na poczcie wagi uchylne 

mają dokładność około 10

-2

 kg. Przy niezbyt duŜych masach, dokładny pomiar moŜemy 

wykonać stosując wagi laboratoryjne, którymi posługujemy się niekiedy w pracowni 
fizycznej czy chemicznej. Pozwalają one uzyskać dokładność około 0,01 g (10

-5

 kg). 

Stosowane w laboratoriach wagi analityczne dają dokładność rzędu 10

-4

 g. 

3.

 

Wyznaczanie niepewności pomiaru 

Wynik pomiaru nie jest wiernym odbiciem rzeczywistości. KaŜdy wynik pomiaru 

obarczony jest jakąś niepewnością, wynikającą z budowy przyrządu pomiarowego, z 
zastosowanej przez nas metody pomiaru itd. 

NaleŜy pamiętać, Ŝe nawet najbardziej starannie przeprowadzone pomiary dają wyniki 

jedynie zbliŜone do wartości rzeczywistej.  

 

- 5 - 

RozróŜniamy trzy rodzaje błędów pomiarowych 

● Błędy systematyczne – wynikają one najczęściej z wadliwego funkcjonowania 
przyrządów (np. źle wyskalowany termometr). 
Błędy systematyczne moŜna zmniejszać nieograniczenie przez doskonalenie metody 
pomiarowej lub stosowanie odpowiednio doskonałych przyrządów. 
● Błędy grube – powstają najczęściej wskutek omyłkowego odczytu na skali 
przyrządu. Błędy te jest stosunkowo łatwo zauwaŜyć. 
● Błędy przypadkowe – są związane z samą istotą pomiaru i nie moŜna ich uniknąć. 
 

 

Źródłami błędów przypadkowych są: 

● niedoskonałość zmysłów (np. refleks) 
● oddziaływanie otoczenia (temperatura, ciśnienie) 
● niedokładność przyrządów itd. 

Wykonując pomiar musimy oszacować o ile wynik pomiaru moŜe się róŜnić od wartości 

„prawdziwej”, ta róŜnica nosi nazwę niepewności pomiaru. 

Warto pamiętać, Ŝe dla fizyka czy inŜyniera pomiar bez podania niepewności niewiele 

znaczy. Zawsze powinniśmy podawać wyniki w postaci; 

 . 

W tablicach, z których korzystamy niepewność pomiaru zawarta jest zazwyczaj w samym 

zapisie. JeŜeli np. odczytujemy wartość współczynnika załamania szkła 

 

to powinniśmy ją odczytywać jako 

 

Oznaczając sposoby szacowania niepewności pomiarowych ograniczamy się do błędów 

przypadkowych. 

 

a)

 

Błędy przypadkowe bezpośrednich pomiarów jednakowo dokładnych 

JeŜeli wielokrotnie będziemy powtarzać pomiar jakiejś wielkości fizycznej to 

stwierdzimy, Ŝe wyniki pomiarów 

 

róŜnią się między sobą. Muszą więc na ogół róŜnić się od wartości prawdziwej x

p

, którą 

ajmni zmierzyć. 

 

Błędem prawdziwym i-tego pomiaru będziemy nazywać 

 

Teoria błędów opracowana przez Gaussa pozwala na podstawienie wartości 

zmierzonych obliczyć pewną wartość   maksymalnie zbliŜoną do wartości prawdziwej 

. 

MoŜna udowodnić, Ŝe jest nią średnia arytmetyczna 

 

 

RóŜnicę 

 

nazywamy błędem pozornym pomiaru. 

 

- 6 - 

Gauss opracowując teorię błędów załoŜył, Ŝe chodzi wyłącznie o błędy przypadkowe oraz, 

Ŝe ich rozkład jest normalny tzn.  

•

 

błędy małe występują w pomiarze częściej niŜ duŜe. 

•

 

błędy o znakach ujemnych są równie częste jak błędy o znakach dodatnich. 

     Teoretyczny rozkład wyników pomiarów przedstawia tzw. „krzywa dzwonowa” zwana 
krzywą błędów Gaussa (1794 r.) 
 

 
Dla duŜej liczby pomiarów krzywa ta jest 
symetryczna. 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

Krzywa Gaussa jest krzywą uniwersalną w przyrodzie, taki rozkład moŜna otrzymać 

analizując: 

a)

 

wzrost itd. męŜczyzn 

b)

 

czas Ŝycia muszek 

c)

 

prędkość cząsteczek gazu   itd. 
 

Przeprowadzając serię pomiarów o tym samym stopniu dokładności jako niepewność 

pomiaru moŜna przyjąć tzw. Średni błąd kwadratowy średniej wartości pomiarów. 

Przez średni błąd kwadratowy rozumiemy takie odchylenie pomiaru od wartości średniej 

, Ŝe w zakreskowanym polu rozkładu Gaussa leŜy 68,3 % wszystkich pomiarów. 

 

Wartość 

 średniego błędu kwadratowego 

jest równa  

 

 
 
 
 
 
 
 

 
Wynik pomiaru zapisujemy wtedy następująco 

 

Chcąc skorzystać z tej metody obliczania niepewności pomiaru musimy wykonać serię  co 

najmniej pięciu pomiarów. 

 

- 7 - 

 

b) Obliczanie błędu maksymalnego 

 
RozwaŜmy  przypadek,  kiedy  pomiar  jest  stosunkowo  mało  dokładny  i  powtarzanie 

pomiarów  daje  ten  sam  wynik  lub  pomiarów  jest  mało  2-3.  W  takim  przypadku  szacowanie 
błędu  dokonuje  się  na  podstawie  klasy  przyrządu,  a  jeŜeli  klasa  nie  jest  znana  to 
zakładamy, Ŝe prawidłowy odczyt jest moŜliwy co najwyŜej z błędem 

 

równym połowie najmniejszej działki, w jaką zaopatrzono skalę przyrządu. 

Ogólnie jeŜeli 

 

wtedy róŜniczka 

 

a zastępując nieskończenie małe przez błędy 

 otrzymamy 

 

Weźmy pod uwagę konkretne przykłady. 

Przykład I 
 

Funkcja y jest sumą lub róŜnicą mierzonych wielkości 

 

 

wtedy niepewność pomiaru

 

 

 

a wynik pomiaru zapisujemy jako 

 

 

JeŜeli 

 

 

Wtedy niepewność pomiaru nie jest róŜnicą, a sumą błędów 

 

 

Wynik pomiaru przyjmuje postać 

 

Błędy się zawsze dodają! 

Przykład II (metoda pochodnej logarytmicznej) 
 

JeŜeli  funkcją  jest  iloczyn  stosujemy  metodę  tzw.  pochodnej  logarytmicznej.  Weźmy 

pod  uwagę  wyznaczenie  przyśpieszenia  ziemskiego  za  pomocą  pomiaru  okresu  drgań 
wahadła matematycznego. Jak pamiętamy okres drgań tego wahadła 

 

 

 

- 8 - 

Z wzoru tego mierząc l i T moŜemy wyznaczyć g 

 

 
 

Logarytmując (logarytm naturalny) obie strony równania otrzymujemy 

 

skąd po zróŜniczkowaniu 

 

Zastępując róŜniczki błędami i pamiętając, Ŝe błędy się zawsze sumują otrzymujemy 

 

Przykład III (Metoda zmiennych pomocniczych) 
 

Realizując ćwiczenie nr 8.”Wyznaczanie równowaŜnika cieplnego (R) termosu” 

korzystamy z wzoru 

 

Wielkościami, które mierzymy w ćwiczeniu są: masa wody (

), temperatura 

początkowa ( ), temperatura końcowa ( ). Ciepło właściwe wody (

) jest wartością 

stałą. 

Aby móc skorzystać z poprzednio wprowadzonej metody logarytmicznej musimy 

wprowadzić nową zmienną 

 

Wtedy 

 

co pozwala przedstawić błąd pomiaru w postaci 

 

Musimy jednak pamiętać, Ŝe 

 

tym samym 

 

Najczęściej w ćwiczeniach, jakie w skrypcie tym przedstawiono, będziemy wyliczali błąd 

maksymalny.

 

 

 

- 9 - 

 

Ćwiczenie numer 1 

Wyznaczanie gęstości ciał stałych o kształtach regularnych

.

 

1)

 

Wiadomości wstępne. 
 

Jak pamiętamy gęstość substancji równa jest stosunkowi masy danego ciała m do jego 

objętości V 

V

m

=

ρ

. 

Wymiar gęstości [

ρ

] =

3

m

kg

. Jest to wielkość fizyczna mająca duŜe znaczenie w praktyce. 

PoniŜsza tabela ukazuje gęstość niektórych ciał stałych . 

Tabela 

Gęstość niektórych ciał stałych. 

Nazwa substancji 

gęstość[

3

m

kg

] 

glin 

2700 

Ŝelazo 

7870 

srebro 

10490 

złoto 

19280 

 

2)  Przebieg ćwiczenia. 

 

W  ćwiczeniu  wyznaczamy  gęstość  drewnianego  prostopadłościanu,  metalowego  walca  i 

stalowej kulki. Masę wyznaczamy za pomocą wagi analitycznej, natomiast do pomiaru trzech 
boków  prostopadłościanu,  wysokości  i  średnicy  walca  oraz  średnicy  kulki  uŜywamy 
suwmiarki. KaŜdy pomiar powtarzamy 5 razy. Wyniki notujemy w tabelach. 

 

 

 

 

 

 

- 10 - 

Dla prostopadłościanu ma ona postać: 

Nr 

m 

a 

b 

c 

V[cm

3

] 

ρ

[g/cm

3

] 

1 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

 

 

5 

 

 

 

 

 

 

 

PoniewaŜ objętość prostopadłościanu 

c

b

a

V

=

, 

 tym samym: 

 

V

m

=

ρ

=

c

b

a

m

. 

Dla walca: 

Nr 

m 

h 

φ

 

V[cm

3

] 

ρ

 [g/cm

3

] 

1 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

 

5 

 

 

 

 

 

 

2

)

2

(

φ

π

h

V

=

 

V

m

=

ρ

=

2

4

φ

π

h

m

. 

 

 

 

- 11 - 

Dla kuli: 

Nr 

m 

φ

 

V[cm

3

] 

ρ

[

3

m

g

] 

1 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

5 

 

 

 

 

 

3

)

2

(

3

4

φ

π

=

V

 

 

skąd 

3

6

φ

π

ρ

m

V

m

=

=

. 

3)  Obliczenie niepewności pomiaru. 

 

Za  niepewność  pomiaru  przyjmujemy    w  tym  ćwiczeniu  błąd  maksymalny  wyliczany 

metodą  logarytmiczną.  PoniewaŜ  wielokrotnie  powtarzaliśmy  pomiary  rozmiarów  i  masy 
prostopadłościanu, walca i kulki, ich błędy wyliczamy jako średnie błędy kwadratowe; 

)

1

(

)

(

2

5

1

−

−

=

∆

∑

=

n

n

x

x

x

i

i

. 

Ostatecznie niepewność (błąd) pomiaru w przypadku prostopadłościanu przyjmuje postać; 

)

(

c

c

b

b

a

a

m

m

∆

+

∆

+

∆

+

∆

=

∆

ρ

ρ

, 

w przypadku walca  niepewność dana jest wzorem 

)

2

(

φ

φ

ρ

ρ

∆

+

∆

+

∆

=

∆

h

h

m

m

, 

 

 

- 12 - 

 

a dla kuli 

).

3

(

φ

φ

ρ

ρ

∆

+

∆

=

∆

m

m

 

 

W kaŜdym przypadku wynik pomiaru podajemy w postaci: 

ρ

ρ

ρ

∆

±

=

. 

 

- 13 - 

 

Ćwiczenie numer 2 

Badanie rozkładu Gaussa. 

 

1.

 

Wiadomości wstępne. 

Rozkład zmiennej losowej x to rozkład prawdopodobieństwa, w którym  zmienna losowa 

przyjmuje  określone  wartości.  JeŜeli  zmienna  jest  dyskretna,  to  podlega  rozkładowi 
dyskretnemu  (skokowemu).  Gdy  przyjmujemy  wartości  dowolne  lub  ciągłe,  to  podlega 
rozkładowi ciągłemu. Zmienną losową mogą być wyniki pomiarów. 

 

 

 

RóŜne graficzne sposoby przedstawiania pomiarów. Oś odciętych to wartość pomiaru, a na osi rzędnych 

jest liczba pomiarów lub gęstość prawdopodobieństwa. 

 

- 14 - 

Z punktu widzenia statystyki, najwaŜniejszym rozkładem ciągłym jest rozkład 

normalny. Został on wprowadzony przez Laplace’a (1783) oraz niezaleŜnie przez Gaussa 
(1794). Gęstość prawdopodobieństwa dla tego rozkładu zwanego zazwyczaj rozkładem 
Gaussa określa wzór: 

G, (x, n, )

σ

π

σ

2

1

=

exp













−

−

2

2

2

)

(

σ

m

x

, 

gdzie: 

n – liczba pomiarów, 

x – liczba rzeczywista, 

m – wartość oczekiwana równa z duŜą dokładnością średniej wartości pomiaru 

x

: 

,

1

n

x

m

n

i

i

∑

=

=

 

σ

 – odchylenie standardowe: 

.

)

(

2

1

n

m

x

n

i

i

−

=

∑

=

σ

  

 

Rozkładem  Gaussa  moŜna  opisać  szereg  zaleŜności  występujących  w  przyrodzie  np. 

rozkład  wzrostu  czy  masy  osobników  mających  tyle  samo  lat,  rozkład  masy  ziaren  grochu, 
masy  liści  z  danego  drzewa,  błędów  itd.  Jest  to  krzywa,  którą  najczęściej  wykorzystujemy 
opisując zjawiska statystyczne. 

2.

 

Przebieg eksperymentu. 

W  opisywanym  doświadczeniu  waŜymy  na  wadze  analitycznej  500  ziaren  grochu 

pochodzącego  z  jednej  plantacji.W  tym  przypadku  opracowując  ćwiczenie  wykorzystywać 
będziemy histogram. Jest to taki sposób przedstawienia wyników, w którym kolejne wartości 
grupujemy  w  przedziałach  zwanych  klasami.  Praktyka  pokazuje,  Ŝe  najwięcej  informacji 
uzyskujemy rysując histogram z liczbą klas - k, spełniającą nierówność: 

,

2

n

k

n

<

<

 

gdzie n jest liczbą pomiarów. 

 

 

- 15 - 

Znając liczbę klas obliczmy rozstęp danych R: 

R = 

x

max

x

−

min 

oraz „szerokość” klasy: 

.

k

R

b

=

 

JeŜeli pomiarów było np. n=400, a róŜnica pomiędzy największym, a najmniejszym 

pomiarem np. masy fasoli wynosi 

∆

 =0,40 g, to „szerokość” klasy moŜe wahać się od 

 

2

,

0

20

40

,

0

=

g   

do 

 

4

,

0

10

40

,

0

=

g. 

W  ćwiczeniu  na  osi  y,  wstępnie  odkładać  będziemy  liczbę  zdarzeń  (pomiarów)  w  danej 

klasie.  Od  liczby  zdarzeń  do  prawdopodobieństwa  przechodzimy  dzieląc  liczbę  zdarzeń  w 
danym  przedziale  przez  liczbę  wszystkich  zdarzeń.W  pierwszej  fazie  przedstawiamy 
otrzymane wyniki w postaci histogramu, gdzie na osi x odkładamy masy waŜonych ziaren, a 
na osi y ich liczbę. W drugiej fazie sporządzamy histogram, dla którego na osi y odkładamy 
prawdopodobieństwa zdarzeń: 

n

n

p

i

i

=

, 

gdzie n jest liczbą wszystkich zdarzeń. 

Po wyliczeniu wartości średniej: 

,

1

n

x

m

x

n

i

i

∑

=

=

=

 

oraz odchylenia standardowego: 

,

)

(

2

1

n

m

x

n

i

i

−

=

∑

=

σ

 

wykreślamy krzywą Gaussa. 

 

- 16 - 

 

Ćwiczenie numer 3 

Badanie ruchu prostoliniowego jednostajnego i jednostajnie 

zmiennego 

 

I. Ruch jednostajny 

1.

 

Wiadomości wstępne 

Ruchem prostoliniowym jednostajnym nazywamy ruch w czasie którego prędkość ciała 

=

v

r

constans. 

 

      Z zapisu tego wynika, Ŝe ciało porusza się po prostej, a wartość wektora i jego zwrot nie 
ulegają zmianie. W ruchu prostoliniowym jednostajnym prędkość średnia jest równa w kaŜdej 
chwili prędkości chwilowej, a zaleŜność przebytej drogi x od czasu t przyjmuje postać 

  x = 

v

t. 

 

  Na przedstawionym wykresie x(t)  wartość 
prędkości: 

   

      

v

 = 

α

tg

t

x

=

∆

∆

. 

 

 

2.

 

Przebieg eksperymentu 

 

Uzyskanie  stałej  prędkości  ciała  nie  jest 

wcale  proste.  Jak  wynika  z  I  zasady  dynamiki 
Newtona  aby  taki  ruch  mógł  wystąpić  muszą  się 

równowaŜyć  wszystkie  siły  działania  na  dane  ciało.  Z  takim  właśnie  przypadkiem  mamy 
wtedy,  gdy  kropa  wody  opada  w  oleju.  Gęstość  wody  jest  tylko  nieco  większa  od  gęstości 
oleju  a  tym  samym  pojawia  się  duŜa  siła  wyporu.  Opadająca  kropla  doznaje  równocześnie 

działania  siły  tarcia  T

r

,  która  przy  pewnej  prędkości 

v

0

  dodana  do  siły  wyporu 

W

r

 

równowaŜy siłę cięŜkości  Q

r

. Od tego czasu kropla opada ze stała prędkością 

v

0

. 

 

dla 

                                                                           

Q

r

 = 

W

r

+  T

r

 

0

v

r

= constans 

 
 

Niestety 

krople 

przyjmują 

róŜne  rozmiary  i  ich  prędkości  są 

róŜne. 

W 

doświadczeniu 

wykorzystujemy 

duŜą 

menzurkę 

wypełnioną  olejem,  na  której 

zaznaczono  jednakowe  odcinki  drogi 

jakie  będzie  przebywać  kropla 

wody. 

 

 

- 17 - 

 

Stoper  włączamy  gdy  kropla 

mija  pierwsza  kreskę  a  następnie  rejestrujemy  czasy 
pokonywania 

odcinków 

S

0

,

 

  2  S

0

,  3  S

0

  itd.  Wyniki  notujemy  w  tabeli.  Wcześniej  za 

pomocą  suwmiarki  mierzymy  odcinki  drogi  S

0

.  Otrzymane 

wyniki  przedstawiamy  na  wykresie  zaleŜności  drogi  od  czasu. 
Pomiar przeprowadzamy dla pięciu kropel.

 

 

UWAGA! 

Kropla wody musi zostać wpuszczona do oleju wewnątrz oleju. 

 

 

 

 

       

 
Otrzymane  dane  nanosimy  na  wykres  zaleŜności          

drogi  przebytej przez kroplę wody od czasu t. Z wykresu 
tego  moŜemy  otrzymać  wartość  prędkości 

v

  z  jaką 

porusza się kropla; 

v

 =

α

tg

. 

 
 
 
 

 
 
 

 

 

 
 
 

II. Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny 

1.  Wiadomości wstępne. 

RozwaŜmy ciało poruszające się po linii prostej, które w chwili t

o

 ma prędkość 

0

v

r

, a w 

chwili t > t

0 

prędkość 

0

v

v

r

r

>

. Jak z tego wynika w czasie: 

0

t

t

t

−

=

∆

, 

prędkość ciała zwiększa się o 

 

0

v

v

v

r

r

r

−

=

∆

. 

Nr 

przebyta 

droga 

czas 

t 

 

S

0

 

 

    

2 S

0

 

 

 

3 S

0

 

 

 

4 S

0

 

 

 

5 S

0

 

 

 

- 18 - 

Wprowadzamy wielkość fizyczną zwaną przyspieszeniem: 

 

Przyspieszeniem  średnim 

α

r

  nazywamy  wielkość  fizyczną  równą  stosunkowi  przyrostu 

prędkości   v

r

∆

 do czasu, w którym ten przyrost nastąpił. 

 

t

v

∆

∆

=

r

r

α

. 

 

Przyspieszenie jest wektorem. Wymiar przyspieszenia: 

 

[ ] [ ]

[ ]

2

s

m

t

v

=

=

α

. 

 

RozwaŜmy przypadek ruchu prostoliniowego, w którym: 

 

α

r

= constans. 

 

W ruchu takim wartość przyspieszenia średniego jest równa wartości przyspieszenia 

chwilowego. 

JeŜeli  w  rozwaŜanym  ruchu  zwrot  przyspieszenia  jest  zgodny  ze  zwrotem  wektora 

prędkości, to ruch taki nazywamy ruchem jednostajnie przyspieszonym. 

Zgodnie z definicją przyspieszenia 
 

0

0

t

t

v

v

t

v

−

−

=

∆

∆

=

r

r

r

r

α

. 

 

przyjmując t

0

 = 0 otrzymujemy 

t

v

v

0

r

r

r

−

=

α

, 

stąd 
 

.

0

t

v

v

α

r

r

r

+

=

 

 

PoniewaŜ  ruch  taki  odbywa  się  po  prostej  będącej  kierunkiem 

α

r

,  a  zwrot  wektorów 

moŜemy  zaznaczyć  podając  „+”  lub  „-”,  nie  musimy  korzystać  z  zapisu  wektorowego  i  tym 
samym moŜemy napisać; 

v

 = 

v

0

 + at. 

 

Stojący  przed  przyspieszeniem  znak  „+”  wskazuje,  Ŝe  ruch  jest  ruchem  jednostajnie 

przyspieszony.  Szczególnie  przypadkiem  ruchu 
jednostajnie  przyspieszonego  jest  ruch  bez 
prędkości początkowej (

v

0

 = 0) 

 

v

 = at. 

 

 

α

tg

a

t

v

=

=

∆

∆

. 

 

- 19 - 

2.  Przebieg eksperymentu. 

 

W  doświadczeniu  wykorzystujemy  równię  pochyłą  wykonaną  z  kątownika,  po  której  z 

bardzo niewielkim tarciem stacza się stalowa kulka z łoŜyska. 

 

Na  kulę  działa  siła  cięŜkości 

mg

Q

=

,  którą 

moŜemy rozłoŜyć na dwie składowe: 
 
 

  

Q

α

cos

mg

=

⊥

  

 
równowaŜoną  przez  siłę  spręŜystości  podłoŜa 

o wartości 

S

r

, oraz niezrównowaŜoną siłę  

 
 

  

Q

α

sin

||

mg

=

. 

 
 

  

 

 

 

      Pod wpływem tej właśnie składowej siły cięŜkości Q  kula uzyskuje przyspieszenie; 

 

a = 

α

sin

g

. 

 

Zmniejszając  kąt  nachylenia  równi  moŜemy  otrzymać  niewielkie  przyspieszenie 

staczającej się kuli. 

Na równi zaznaczono odcinki drogi: 

s

1

 = 0,01 m, 

s

2

 = 0,40 m, 

s

3 

= 0,90 m, 

s

4

 = 1,60 m. 

 

 

       0      s

1 

 

          s

2 

 

 

s

3

 

 

 

 

    s

4

 

  

 

Za  pomocą  stopera  mierzymy  czas,  w  którym  kulka  pokonuje  wspomniane  wcześniej 

odcinki  drogi.  Wyniki  notujemy  w  tabeli.  W  kaŜdym  przypadku  pomiar  powtarzamy  pięć 
razy. 

 

Pomiar 

t

1 

t

2 

t

3 

t

4 

t

5 

t

i 

s

1 

 

 

 

 

 

 

s

2 

 

 

 

 

 

 

s

3 

 

 

 

 

 

 

s

4 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 

 

- 20 - 

 

 

Obliczamy  średnie  prędkości  jakie  osiągnęła  kulka  w  ciągu  czasu  gdy  pokonywała 

poszczególne  odcinki  drogi.  Pierwszy  odcinek  drogi 

0

1

1

−

=

∆

s

s

  został  przebyty  w  czasie 

1

1

1

0

t

t

t

=

−

=

∆

, odcinek 

1

21

2

s

s

s

−

=

∆

 w czasie 

1

2

2

t

t

t

−

=

∆

 itd. 

 

s(m) 

i

t  

i

s

∆

 

i

t

∆

 

i

i

i

t

s

v

∆

∆

=

 

0,10 

 

0,10 

 

 

0,40 

 

0,30 

 

 

0,90 

 

0,50 

 

 

0,60 

 

0,70 

 

 

 

 

Otrzymane wyniki nanosimy na wykres, na którym na osi y odkładamy średnią prędkość 

v   na  osi  x  czas 

t

.  Musimy  jednak  pamiętać,  Ŝe  średnia  prędkość  dopowiada  środkowi 

przedziału czasowego: 

 
 

a

t

v

tg

=

∆

∆

=

α

 

 

 

Przez  punkty  na  wykresie  przeprowadzamy  prostą  i  obliczamy  przyspieszenie  z  jakim 

stacza się kulka.W obu opisanych wstępnych doświadczeniach badamy zaleŜności pomiędzy 
wielkościami fizycznymi i nie będziemy przeprowadzali analizy błędów. 

 

- 21 - 

 

Ćwiczenie numer 4 

Sprawdzanie zasady zachowania pędu. 

 

1.

 

Wiadomości wstępne  

 

Niezwykle przydatną w fizyce okazała się wielkość fizyczna zwana pędem.  

 

Pędem nazywamy wektorową wielkość fizyczną, która jest 

równa iloczynowi masy i prędkości poruszającego się ciała. 

v

m

p

r

r

=

 

 Prześledzimy, w jaki sposób wielkość ta wiąŜe się z drugą zasadą dynamiki. 

Jak pamiętamy                                    

a

m

F

r

r

=

 

ale 

,

1

2

t

v

v

t

v

a

∆

−

=

∆

∆

=

r

r

r

r

 

MoŜemy napisać 

t

p

p

t

v

m

v

m

t

v

v

m

t

v

m

F

∆

−

=

∆

−

=

∆

−

=

∆

∆

=

1

2

1

2

1

2

)

(

r

r

r

r

r

r

r

r

, 

Skąd:

                                                  

t

p

F

∆

∆

=

r

r

. 

Siła jest wielkością fizyczną równa stosunkowi zmiany pędu 

do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła. 

Jedną z najwaŜniejszych prawidłowości fizyki jest zasada zachowania pędu. Brzmi ona 

następująco: 

W  układach  odosobnionych,  tzn.  takich,  na  które  nie 
działają  Ŝadne  siły  zewnętrzne,  pęd  całkowity  układu, 
będący sumą wektorową pędów poszczególnych ciał układu, 
jest wielkością stałą.  

 

- 22 - 

Zasada  zachowania  pędu  pozwala  rozwiązać  problem  tzw.  zdarzeń  niespręŜystych,  w 

trakcie których dwa zderzające się  ciała zlepiają się ze sobą. Sprawdzając zasadę zachowania 
pędu  ograniczmy  się  do  dwu  ciał  poruszających  się  po  prostej,  którą  w  doświadczeniu 
zastępuje „tor powietrzny” pozwalający przemieszczać się ciałom bez tarcia. Tor powietrzny  

jest rurą, w której „od góry” nawiercono setki otworów.  JeŜeli do rury będziemy pompować 
powietrze, umieszczona na niej nakładka unosi się tuŜ nad torem, nie dotykając rury. Jej ruch 
odbywa się praktycznie bez tarcia.  

2.  Przebieg eksperymentu 

W połowie wypoziomowanego toru pokazanego na poniŜszym rysunku umieszczamy 

nakładki,  

 

na  których  zamocowane  są  magnesy  w  ten  sposób  mogły  by  się  odpychać.  Oba  magnesy 
związane  są  nitką,  którą  przepalamy.  W  chwili  przepalania  nitki  włączamy  stopery  mierząc 
czasy  (t

1

,  t

2

)  potrzebne,  aby  nakładki  przebyły  jednakowe  drogi(s).Pierwszy  pomiar 

przeprowadzamy dla nieobciąŜonych nakładek, których masy m

o   

 są równe i wynoszą 500g. 

Wyniki notujemy w tabeli. 

Nr 

s 

t

1 

t

2 

v

1

=

1

t

s

 

v

1

=

2

t

s

 

p

1 

p

2 

p

1

- p

2

 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 23 - 

Drugą serię pomiarów dokonujemy dla dwu nakładek, których masy spełniają relację: 

m

1

 = m

0                              

m

2 

= 2m

0 

Nr 

s 

t

1 

t

2 

v

1

 

v

1

 

p

1 

p

2 

p

1

- p

2

 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   Występująca  w  ostatniej  rubryce  róŜnica  pędów  (p

1

-  p

2

)  wynika  z  faktu,  Ŝe  pęd  jest 

wielkością  wektorową,  co  musimy  uwzględnić  w  przypadku  ciał  poruszających  się  w 
przeciwnym  kierunku.  PoniewaŜ  przed  przepaleniem  nitki  pęd  układu  był  równy  zero,  tym 
samym pęd układu po przepaleniu nitki  

p = p

1

- p

2 

zgodnie z zasadą zachowania pędu, powinien być bliski zeru. 

 

3.  Dyskusja błędów 

 

W przypadku, kiedy dokonujemy pięciu niezaleŜnych pomiarów, błąd moŜemy policzyć jako 
średni błąd kwadratowy. Wyznaczamy go dla końcowej wartości pędu  (p

1

- p

2

) 

[

]

4

5

)

(

)

p

 

-

p

(

p

5

1

2

2

1

2

1

⋅

−

−

=

∆

∑

=

i

p

p

 

Wynik podajemy w postaci: 

p

1

-p

2

=

)

(

)

(

2

1

2

1

p

p

p

p

−

∆

±

−

 

 
 

 

- 24 - 

 

Ćwiczenie numer 5 

Wyznaczanie gęstości względnej ciał stałych i cieczy na podstawie 

prawa Archimedesa. 

 

I.  Wyznaczanie gęstości względnej ciała stałego. 

 

1.

 

Wiadomości wstępne. 

Prawo Archimedesa, które poniŜej przedstawiono , jest jednym z najstarszych praw fizyki. 

           Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu W, skierowana prostopadle 

           do góry, równa co do wartości cięŜarowi cieczy wypartej przez to ciało. 

 

Zgodnie  z  tym  prawem,  jeŜeli  cięŜar  ciała  jest  większy  od  siły  wyporu  to  ciało  tonie,  w 

przypadku gdy jest on równy sile wyporu ciało pływa pod powierzchnią cieczy, natomiast w 

przypadku  gdy  siła  wyporu  jest  większa  od  cięŜaru  ciało  wypływa  na  powierzchnie. 

Ostatecznie ustala się wtedy równowaga  - siła cięŜkości jest równowaŜona przez siłę wyporu 

części  ciała  zanurzonej  w  cieczy.  Prawo  Archimedesa  pozwala  na  proste  wyznaczanie 

względnej gęstości ciał stałych cieczy, odnoszonej do gęstości wody. 

2.

 

Przebieg ćwiczenia 

W pomiarze wykorzystujemy wodę destylowaną. W takim przypadku siła wyporu cieczy 

W  przyjmuje wartość: 

 

gdzie: 

V – objętość ciała, 

ρ

w

 – gęstość wody w danej temperaturze (patrz tabela), 

g – przyspieszenie ziemskie. 

W pierwszej kolejności waŜymy ciało w powietrzu. CięŜar ciała w powietrzu P

0

 wynosi: 

 

gdzie:  m

0

 – masa ciała,   ρ

c

 – gęstość badanego ciała. 

 

- 25 - 

Siła jaka działa na ciało po zanurzeniu w wodzie P

w

 jest równa 

 

  

Otrzymujemy dwa równania: 

 

 

 

 

Po podzieleniu stronami mamy: 

 

skąd 

 

PoniewaŜ siłę P

0

 równowaŜymy (na wadze) odwaŜnikami o masie m

0

 zatem: 

 

natomiast siłę P

w

 równowaŜymy odwaŜnikami o masie m

1, 

tym samym 

 

 

 

 

- 26 - 

Podstawiając otrzymujemy 

 

W wyliczeniach nie musimy operować siłami (P

0

,P

w

) a jedynie masą odwaŜników, które 

na wadze te siły równowaŜą. Wyniki pomiarów notujemy w tabeli. Pomiary przeprowadzamy 

dla dwóch ciał. 

r 

m

0

 

m

1 

t

w

 

ρ

w

(t) 

ρ

ciało 

1 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

 

 

Gęstość  wody  destylowanej,  po  wcześniejszym  zmierzeniu  jej  temperatury  (t

w

), 

odczytujemy z tabeli: 

ZaleŜność gęstości wody od temperatury (

3

3

10

m

kg

⋅

 ) 

T 

[˚C] 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

0 

0,99984  0,9999 

0,99994  0,99996  0,99997  0,99996  0,99994  0,9999 

0,99985  0,99978 

10 

0,9997 

0,9996 

0,9995 

0,99937  0,99924  0,9991 

0,99894  0,99877  0,9986 

0,9984 

20 

0,9982 

0,99799  0,99777  0,99753  0,99729  0,99704  0,99678  0,99651  0,99623  0,99594 

30 

0,99564  0,99534  0,99502  0,9947 

0,99437  0,99403  0,99368  0,99333  0,99296  0,99259 

40 

0,99221  0,99183  0,99144  0,99104  0,99063  0,99022  0,98978  0,98937  0,98893  0,98849 

 

 

 

- 27 - 

3.  Obliczenia niepewności pomiaru. 

JeŜeli  pomiar  powtórzymy  co  najmniej  czterokrotnie,  niepewność  pomiaru  moŜemy 

określić licząc średni błąd kwadratowy: 

 

Wynik zapisujemy w postaci 

 

II .Wyznaczanie gęstości względnej cieczy (denaturatu). 

 

1.  Wiadomości wstępne 

Aby zmierzyć gęstość cieczy względem cięŜaru ciała w powietrzu (P

0

), siłę jaka działa na 

to ciało po zanurzeniu w wodzie (P

w

) oraz siłę jaka działa na to samo ciało po zanurzeniu w 

badanej cieczy (P

c

). 

Siły te równowaŜne są odpowiednio na wadze odwaŜnikami o masie m

0

, m

1

 i m

2

. Czyli są 

równe  

 

, 

 

, 

 

 

. 

PoniewaŜ: 

, 

, 

stąd 

, 

. 

 

 

 

 

- 28 - 

Dzieląc stronami otrzymujmy: 

 

 

skąd: 

 

 Po podstawieniu 

 

,

, oraz 

 i uproszczeniu przez g otrzymujemy 

 

Wyniki pomiaru notujemy w tabeli 

Nr 

m

0

 

m

1 

m

2 

t

w

 

ρ

w

(t) 

ρ

cieczy 

 

1 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pomiar  jest  dokładniejszy  jeŜeli  gęstość  ciała  stałego  uŜytego  w  eksperymencie  zbliŜona 

jest  do  gęstości  wody.  W  pomiarze  tym  moŜemy  częściowo  wykorzystać  pomiary  z  części 

pierwszej. 

 

 

 

 

 

- 29 - 

2.  Wyznaczenie niepewności pomiaru 

Podobnie  jak  poprzednio  niepewność  pomiaru  obliczamy  wyznaczając  średni 

błąd kwadratowy. 

Wynik podajemy w postaci 

 

W jednym i drugim przypadku, zamiast średniego błędu kwadratowego moŜemy policzyć 

błąd maksymalny (np. metoda zmiennych pomocniczych). 

 

 

- 30 - 

  

Ćwiczenie numer 6 

 

Wyznaczenie współczynnika spręŜystości spręŜyny 

 

I.

 

Wyznaczenie współczynnika spręŜystości z zaleŜności wychylenia     spręŜyny  od 

działającej na niej siły. 

1.

 

Wiadomości ogólne 

Działając na spręŜynę siłą F powodujemy jej wydłuŜenie o x. WydłuŜenie to jest 

proporcjonalne do działającej siły 

x ~ F. 

Zmieniając strony, proporcję tą moŜemy zapisać jako: 

F ~ x 

Stawiając zamiast znaku proporcjonalności współczynnik proporcjonalności 

otrzymujemy: 

F = k

⋅

x. 

Stała k nosi nazwę współczynnika spręŜystości spręŜyny i wyraŜona jest w 









m

N

. 

Odkładając  na  osi  y  wartość  siły  rozciągającej,  na  osi  x  wychylenie  spręŜyny  z 

połoŜenia 

równowagi 

(x) 

otrzymujemy 

następującą zaleŜność: 

 

Z funkcji tej moŜemy odczytać wartość 
współczynnika spręŜystości: 
 
 

 

α

tg

k

=

 

 
 

 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

- 31 - 

2.  Przebieg ćwiczenia 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
W  doświadczeniu  jako  siłą  rozciągającą  spręŜynę  jest  cięŜar  zawieszonych  na  niej 

odwaŜników.W pierwszej fazie eksperymentu, aby rozciągnąć wstępnie spręŜynę zawieszamy 
na  niej  odwaŜnik  o  masie  m

0

  i  stan  ten  przyjmujemy  za  stan  zerowy. 

      Na  suwmiarce  zero  odpowiada  połoŜeniu  x

0

    (górna  powierzchnia  odwaŜnika). 

      JeŜeli na spręŜynie zawiesimy odwaŜnik o masie m

0 

= 50g, będzie na nią działać siła 

 

F

1

 = m

0

⋅

g, 

Wtedy górna powierzchnia odwaŜnika przesunie się w dół ,a suwmiarka wskaŜe  

x

1 

<x

0. 

WydłuŜenie spręŜyny wynosi zatem  

1

0

1

x

x

x

−

=

∆

 

dla siły F

1

, 

2

x

∆

dla siły F

2

 = 2

⋅

m

0

⋅

g itd. 

 
Wyniki pomiaru notujemy w tabeli przy czym wychylenie z mierzymy przy 
zawieszeniu (x

p

) a później przy zdejmowaniu odwaŜników (x

k

). 

 

Nr

 

m 

F

i 

x

p 

x

k 

2

k

p

x

x

x

+

=

 

1 

m

0 

 

 

 

 

2 

2 m

0

 

 

 

 

 

3 

3 m

0

 

 

 

 

 

4 

4 m

0

 

 

 

 

 

5 

5 m

0

 

 

 

 

 

 

Korzystając  z  otrzymanych  danych  sporządzamy  wykres  zaleŜności  F(x),  z  którego 

wyznaczamy  stałą  spręŜystości  spręŜyny  k,  Pomiar  przeprowadzamy  dla  dwóch  róŜnych 
spręŜyn. 
 

 

- 32 - 

II.

 

 Wyznaczenie  stałej  spręŜystości  spręŜyny  k  za  pomocą  wahadła    

spręŜynowego 

1.

 

Wiadomości ogólne 

JeŜeli obciąŜoną ciałem o masie m spręŜynę wychylimy z połoŜenia równowagi, a 
następnie zwolnimy, to na ciało działać będzie siła harmoniczna. 

F = - k

⋅

x. 

Ciało drgać będzie ruchem harmonicznym. 
Okres drgań takiego układu dany jest wzorem: 

 

T = 2π

k

m

 

gdzie: 

m – masa obciąŜająca spręŜynę, 

 

 

 

k – stała spręŜystości. 

JeŜeli  dokonamy  pomiaru  okresu  T  to  znając  masę  ciała  m  moŜemy  wyznaczyć 

stałą spręŜystości k 

k = 4π

2

2

T

m

 

2.

 

Przebieg doświadczenia 

W celu dokonania pomiaru obciąŜamy spręŜynę odwaŜnikami o masie m znacznie 

większej  od  masy  spręŜyny  i  wyznaczamy  czas  t  w  którym  obciąŜona  spręŜyna  dokona 
20 pełnych drgań. Pomiar powtarzamy 4 razy. Następnie zamieniamy masę odwaŜników 
i jeszcze raz mierzymy czas 20 okresów. Wyniki notujemy w tabeli: 

 

Nr 

m 

t

i 

T

i 

T

śr 

k 

1 

 

 

2 

 

 

3 

 

 

4 

 

 

 

 

 

 
Pomiar  wykonujemy  dla  spręŜyn  wykorzystanych  w  pierwszej  części  ćwiczenia. 

Wyniki pomiarów powinny być zbliŜone. 

 
 

 

 

 

 

- 33 - 

3.  Dyskusja błędów 

Błąd liczymy podobnie jak w przypadku wahadła matematycznego  

T

T

m

m

k

k

∆

+

∆

=

∆

2

 

m

∆

wyznaczamy waŜąc odwaŜniki,    T

∆

 jest średnim błędem kwadratowym 

przeprowadzonych pomiarów 

)

1

(

)

(

1

2

−

⋅

−

=

∆

∑

=

n

n

T

T

T

n

i

i

 

Wyniki pomiaru podajemy w postaci 

k

k

k

∆

±

=

. 

 

 

- 34 - 

 

Ćwiczenie numer 7 

 

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła 

matematycznego. 

 

1.  Wiadomości ogólne. 

Wyznaczanie  przyspieszenia  ziemskiego  g  na  podstawie  obserwacji  i  pomiarów  spadku 

ciał  jest  dość  kłopotliwe.  Główną  trudność  stanowi  mało  dokładny  pomiar  czasu  spadania, 
który jest bardzo krótki nawet przy spadku ciał z duŜej wysokości. Wobec tego uciekamy się 
do  metod  doświadczalnie  łatwiejszych.  Jedną  z  tych  metod  jest  pomiar  przyspieszenia 
ziemskiego w oparciu o prawa ruchu harmonicznego wahadła matematycznego.  Przez 
wahadło  matematyczne  rozumiemy  cięŜką  niewielką  kulkę  zawieszoną  na  cienkiej 
(niewaŜkiej)  nici.  Kulka  wychylona  z  połoŜenia  równowagi  w  ten  sposób,  Ŝe  nic  odchylona 
jest  od  pionu  o  kąt  mały,  swobodnie  puszczona    porusza  się  ruchem  drgającym  zwanym 
harmonicznym. 

 

Przez kąt mały rozumiemy kąt  

α<5º 

 

dla takich kątów sinα=tgα=α(r). 

 

Okres drgań takiego wahadła dany jest wzorem 

g

l

T

π

2

=

 

 

gdzie: l - długość wahadła 

 

 

g - przyspieszenie ziemskie. 

Nie zaleŜy on ani od masy wahadła ani od amplitudy, okres zaleŜy jedynie od długości 

wahadła i od przyspieszenia ziemskiego w danym punkcie na powierzchni Ziemi. 

JeŜeli znamy długość  wahadła i okres drgań  moŜemy obliczyć przyspieszenie ziemskie g; 

2

2

4

T

l

g

π

=

 . 

  

 

 

 

- 35 - 

2.

 

Wykonanie ćwiczenia. 

Na  wstępie  przeprowadzamy  pomiar  długości  wahadła  (pomiar  wykonujemy 

czterokrotnie  i  obliczamy  średnią).  Mierzymy  czas,  w  którym  wahadło  dokona  20  drgań 
(20T).  Musimy  uwaŜać  aby  kąt  odchylenia  nitki  od  pionu  nie  był  większy  od  pięciu  stopni. 
Pomiary  te  powtarzamy  równieŜ  czterokrotnie.  Tak  samo  postępujemy  po  zmianie  długości 
wahadła. Pomiary wykonujemy dla trzech róŜnych długości wahadła. 

Uwaga: długość wahadła wyznaczamy mierząc odległość od punktu zawieszenia do 

środka kulki. 

Wyniki umieszczamy w tabeli. 

Lp.  Ø kulki 

Długość 

nici 

d 

Długość 
wahadła 

l=(d+

2

1

 Ø) 

l

 

Czas 20 

okresów 

Okres T 

Średnia 

wartość 

T

 

2

4

T

l

g

π

=

 

1 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Analiza błędów. 

 

Błąd pomiaru wyliczamy korzystając z metody pochodnej logarytmicznej wg wzoru 

T

T

l

l

g

g

∆

+

∆

=

∆

2

 

 

gdzie: 

∆

l i 

∆

T są średnimi błędami kwadratowymi długości wahadła  

i 

okresu jego drgań 

)

1

(

)

(

1

2

−

−

=

∆

∑

=

n

n

l

l

l

n

i

i

            n=4 

 

 

 

 

 

 

- 36 - 

natomiast 

)

1

(

)

(

1

2

−

−

=

∆

∑

=

n

n

T

T

T

n

i

i

 . 

Wynik pomiaru przedstawiamy w postaci 

g

g

g

∆

±

=

. 

 

- 37 - 

 

Ćwiczenie numer 8 

 

Wyznaczanie równowaŜnika cieplnego termosu. 

 

1.

 

Wiadomości wstępne. 

Kalorymetr  (w  naszym  przypadku  termos),  który  wykorzystujemy  jako  układ 

zapobiegający  wymianie  ciepła  z  otoczeniem,  stanowi  element  mogący  w  znaczny  sposób 

zmienić  wyniki  pomiaru.  Kalorymetr  podobnie  jak  inne  ciała  układu  pochłania  lub  oddaje 

ciepło. Jest ono równe 

 

gdzie:   

m

k

 – masa kalorymetru (termosu), 

 

 

c

wk

 – ciepło właściwe materiału, z którego wykonano kalorymetr (termos), 

 

 

∆

t – zmiana temperatury. 

 

Dla eksperymentatora nie jest waŜna masa kalorymetru i ciepło właściwe materiału, z 

którego  go  wykonano  lecz  iloczyn  tych  dwu  wielkości,  którą  oznaczamy  przez  R  zwaną 

równowaŜnikiem cieplnym kalorymetru 

 

Chcąc  przeprowadzić  jakikolwiek  eksperyment  z  wykorzystaniem  kalorymetru 

(termosu) musimy znać stałą R. 

 

2.

 

Wyznaczanie równowaŜnika cieplnego termosu. 

Do  termosu  ochłodzonego  wcześniej  wodą  z  lodem  do  temperatury  0˚C,  wlewamy 

pewną  ilość  wody  o  masie  m

w

  (około  200  g)  i  temperaturze  początkowej  t

p

  (temperatura 

pokojowa).  Po  ochłodzeniu  wody  w  termosie  mierzymy  jej  temperaturę  końcową  t

k

,  jest  to 

równieŜ temperatura końcowa termosu. 

Oznaczmy przez Q

1

 ciepło pobrane przez termos 

 

natomiast  przez Q

2

 ciepło oddane przez wodę 

 

Zgodnie z bilansem cieplnym 

Q

1

 = Q

2

 

 

- 38 - 

 

a zatem 

’ 

skąd 

 

Ciepło właściwe wody jest znane i temperaturze pokojowej jest równe c = 4190 

. 

JeŜeli  zamiast  wody  uŜyjemy  w  eksperymencie  nafty,  której  ciepło  właściwe  jest  prawie 

dwukrotnie mniejsze  

 

otrzymamy  większą  róŜnicę  pomiędzy  temperatura  początkową  a  końcową.  W  ten  sposób 

moŜna znacznie zwiększyć dokładność pomiaru. 

 

Wyniki notujemy w tabeli. 

Nr 

m

w 

t

p 

t

k 

R 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podobny  pomiar  moŜemy  wykonać  ogrzewając  termos  wlaną  do  niego  wodą  o 

temperaturze 60˚C. Po nagrzaniu wnętrza termosu mierzymy temperaturę wody i termosu t

T

 a 

następnie wodę wylewamy. Do ogrzanego termosu wlewamy wodę o masie m

w

 (około 200 g) 

i  temperaturze  t

w

  bliskiej  zeru.  Mieszając  ja  doprowadzamy  do  wyrównania  temperatury 

wody i termosu (t

k

). 

Oznaczmy przez Q

1

 ciepło oddane przez termos: 

 

JeŜeli przez Q

2

 oznaczymy ciepło pobrane przez wodę 

, 

to z bilansu cieplnego moŜemy uzyskać wartość cieplnego równowaŜnika termosu: 

, 

 

 

- 39 - 

 

 

Skąd 

 

 

Podobnie  jak  w  pierwszym  przypadku,  uŜywając  zamiast  wody  nafty  moŜemy 

zwiększyć dokładność pomiaru. 

Wyniki pomiaru notujemy w tabeli. 

Nr 

m

w 

t

w

 

t

T 

t

k 

R 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

Dyskusja błędu. 

W  jednym  i  drugim  przypadku  liczymy  błąd  maksymalny  wykorzystując  metodę 

zmiennych pomocniczych. Wynik podajemy w postaci 

 

 

 

- 40 - 

 

Ćwiczenie numer 9 

Wyznaczanie ciepła właściwego metali. 

 

1.  Wiadomości wstępne. 

Jak pamiętamy dostarczenie ciału ciepła prowadzi do wzrostu jego energii wewnętrznej, a 

co za tym idzie – do wzrostu jego temperatury o 

.

T

∆

  MoŜemy zapisać: 

Q~

T

m

∆

 

gdzie m -  masa ciała. 

Zamiast zapisać znak proporcjonalności moŜemy wstawić współczynnik 

proporcjonalności, noszący nazwę ciepła właściwego.  

,

w

Q

c m T

=

∆

 

a stąd 

[ ]

,

.

w

w

Q

J

c

c

m T

kgK

=

=

∆

 

MoŜemy powiedzieć: 

Ciepło właściwe jest liczbowo równe  ilości ciepła 

potrzebnego do ogrzania 1 kg danej substancji o 1 K. 

 

Ciepło  właściwe  jest  wielkością  makroskopową,  dostępną  naszym  pomiarom. 

Zastanówmy  się,  w  jaki  sposób  wiąŜe  się  ona  z    mikroskopowymi  właściwościami  ciała,  z 
jego budową  cząsteczkową. Zgodnie z tym co wiemy, dla gazu doskonałego średnia energia 
kinetyczna cząsteczki zaleŜy jedynie od temperatury 

E~T 

JeŜeli  zaleŜność  ta  jest  równieŜ  słuszna  dla  ciał  stałych  lub  cieczy,  ciepło  potrzebne  do 

ogrzania  tej  samej  liczby  cząsteczek  róŜnych  substancji  powinno  być  takie  same.  Porcją 
substancji, w której znajduje się zawsze taka sama liczba cząsteczek, jest mol. 

Zastępując w przedstawionym wcześniej wzorze masę m danej substancji liczbą moli 

,

m

n

µ

=

gdzie 

µ

-masa molowa pierwiastka,  

 

 

- 41 - 

otrzymujemy: 

.

w

w

w

m

Q

c m T

c

T

c

n T

µ

µ

µ

=

∆ =

∆ =

∆

 

Iloczyn ciepła właściwego 

w

c i masy molowej 

µ

 nazywamy ciepłem molowym; 

,

mol

w

c

c

µ

=

 

Ciepło molowe jest liczbowo równe ilości ciepła, jaka jest potrzebna  

do ogrzania jednego  mola danej substancji o 1 K. 

 

Ostatecznie mamy: 

.

mol

Q

c

n T

=

∆

 

W doświadczeniu wykorzystujemy zasadę bilansu cieplnego, która mówi, Ŝe: 

W układach odosobnionych tzn. w takich, które nie wymieniają ciepła z otoczeniem 

ciepło  pobrane  przez  jedne  ciało  układu  jest  równe  ciepłu  oddanemu  przez  inne  ciało 
tego układu. 

Mówimy teŜ niekiedy: 

      Suma energii wewnętrznej ciał układu nie wymieniającego energii z otoczeniem ma 
wartość stałą. 

Przedstawiona  powyŜej  zasada  bilansu  cieplnego  jest  niczym  innym  jak  zasadą 

zachowania  energii  odnoszącą  się  do  energii  wewnętrznej.  W    naszym  przypadku  układem, 
którego zadaniem jest moŜliwe duŜe utrudnienie wymiany ciepła z otoczeniem jest termos. 

2.  Przebieg eksperymentu

. 

Do  termosu  wlewamy  pewną  ilość  wody  o  określonej  masie 

w

m   (około  200  g).  Po 

pewnym czasie, po ustaleniu się temperatury wody i termosu, mierzymy temperaturę wody i 

termosu  (

p

t )  .Do  wrzącej  wody,  której  temperaturę  wyznaczamy  (

m

t ),  wkładamy  kawałek 

metalu o masie 

m

m .Po wyjęciu z wody ( i szybkim osuszeniu) wkładamy go do termosu. Po 

chwili  temperatura  wody  i  kawałka  metalu  wyrówna  się.  Musimy  uwaŜać  aby  dobrze 

wymieszać  wodę.  Mierzymy  temperaturę  końcową  wody  w  termosie  (

k

t ).  Sporządzamy 

bilans cieplny. 

Ciepło oddaje metal o masie 

m

m  i temperaturze 

m

t  (temperatura wrzenia wody), 

ochładzając się do temperatury końcowej 

k

t . Jest ono równe: 

(

)

1

wm

m

m

k

Q

c m

t

t

=

−

 

gdzie 

wm

c

 jest ciepłem właściwym metalu. 

 

- 42 - 

Ciepło to zostaje przekazane wodzie oraz termosowi 

(

)

(

)

2

wt

term

k

p

ww

w

k

p

Q

c m

t

t

c m

t

t

=

−

+

−

 

gdzie: 

       

wt

c  - ciepło właściwe termosu, 

       

ww

c

 - ciepło właściwe wody. 

Iloczyn  

wt

term

c m

R

=

, zwany równowaŜnikiem cieplnym termosu, wyznaczamy wcześniej w 

osobnym ćwiczeniu.  

Tym samym moŜemy napisać : 

1

2

Q

Q

=

 

czyli 

(

) (

)

(

)

,

wm

m

m

k

ww

w

k

p

c

m

t

t

R

c m

t

t

−

=

+

−

 

a  stąd ciepło właściwe metalu: 

(

)

(

)

(

)

.

ww

w

k

p

wm

m

m

k

R

c m

t

t

c

m

t

t

+

−

=

−

 

Wynik notujemy w tabeli: 

Nr 

m

t  

p

t  

k

t  

m

m  

w

m  

wm

c

 

1 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

 

 

 

Temperaturę moŜemy podawać w stopniach Celsjusza bowiem dla róŜnicy temperatur 

( )

( )

.

t C

T K

∆ ° = ∆

 

Naturalnie zakładamy Ŝe ciepło właściwe wody 

ww

c

 jest znane. Wynosi on 

( )

4190

.

w

w

J

c

kgK

=

 

 

 

- 43 - 

3.

 

Analiza błędu pomiaru 

 

JeŜeli uda nam się w ciągu wyznaczonego czasu przeprowadzić co najmniej cztery 

pomiary niepewność pomiaru określamy jako średni błąd kwadratowy: 

5

2

1

(

1)

wm

wm

i

x

c

c

c

n n

=

−

∆ =

−

∑

. 

Wynik zapisujemy 

wm

wm

wm

c

c

c

=

± ∆

 

Pomiar powtarzamy dla  trzech róŜnych metali, miedzi, aluminium i Ŝelaza. W przypadku, 

kiedy pomiarów wykonamy mniej liczymy błąd maksymalny. JeŜeli załoŜymy Ŝe masa wody 

w

m   jest  wyznaczona  z  bardzo  dobrą  dokładnością  (wodę  wyraŜamy  z  dokładnością  10  mg) 

wtedy we wzorze  

)

(

)

)(

(

k

m

w

p

k

w

ww

wm

t

t

m

t

t

m

c

R

C

−

−

+

=

 

czynnik 

)

(

w

ww

m

C

R

+

 

moŜemy przyjąć jako wielkość stałą. ZałoŜenie to pozwala, po wprowadzeniu zmiennych 

pomocniczych na wykorzystanie metody pochodnej logarytmicznej, a wtedy: 

2

2

.

wm

m

k

p

m

k

m

wm

c

m

t

t

t

t

t

t

m

c

∆

∆

∆

∆

=

+

+

−

−

 

Otrzymane wyniki pozwalają obliczyć ciepła molowe metali: 

Nazwa 

metalu 

kg

mol

µ













 

wm

J

c

kgK













 

mol

J

c

molK













 

miedz 

0,064 

 

 

aluminium 

0,027 

 

 

Ŝelazo 

0,056 

 

 

 

 

 

- 44 - 

Ćwiczenie numer 10 

Prosty sposób wyznaczania ciepła parowania. 

 

1.

 

Wiadomości ogólne 

 

Ogrzanie względnie oziębienie nie jest jedynym procesem towarzyszącym zmianie energii 

wewnętrznej danego ciała. Przykładem mogą być przemiany energii wewnętrznej zachodzące 
bez zmian temperatury ciała. Takimi przemianami są topnienie i krzepniecie oraz parowanie 
i skraplanie.W przypadku parowania niektóre cząsteczki wewnątrz cieczy maja na tyle duŜą 
prędkość, a co za tym idzie energię kinetyczną, Ŝe mogą pokonać siły przyciągania i opuścić 
powierzchnie  cieczy.  Opuszczające  powierzchnie  cieczy  cząsteczki  unoszą  energię.  Chcąc 
utrzymać  proces  parowania  na  stałym  poziomie,  musimy  dostarczać  ciepła.  Parowanie 
związane jest zatem  z pochłanianiem energii. Wzrost temperatury cieczy powiększa szybki 
wzrost tempa parowania.W pewnej temperaturze, zwanej temperaturą wrzenia, rozpoczyna 
się  wrzenie,  czyli  parowanie  w  całej  objętości  cieczy.  Ciecz  paruje  do  wnętrza  nawet 
najmniejszych pęcherzyków gazu, jakie znajdują się w cieczy. Od tej chwili całe dostarczane 
z  zewnątrz  ciepło  jest  unoszone  przez  cząstki  opuszczające  ciecz  i  temperatura  cieczy 
pozostaje  stała.  JeŜeli  przez  Q   oznaczymy  ciepło  potrzebne  do  wyparowania  w  stałej 

temperaturze cieczy o masie m, to 

                                                          

m

Q ~

 

lub 

                                                          

m

c

Q

p

=

, 

gdzie 

p

c - stały dla danej cieczy współczynnik noszący nazwę ciepła parowania. 

Z wzoru  tego wynika, Ŝe 

  

m

Q

c

p

=

, 

  

kg

J

c

p

=

]

[

. 

Ciepło parowania

)

(

p

c

 jest równe ilości  ciepła potrzebnego do wyparowania  

1 kg cieczy w stałej temperaturze i pod stałym ciśnieniem.  

 

Jedno  z  najwyŜszych  ciepłe  parowania  (skraplania)  posiada  woda.  Wynosi  ono  2260000 

J/kg. 

 
 
 
 
 

 

- 45 - 

2.Wyznaczanie ciepła parowania wody 
 
Do  termosu  wlewamy  wodę  do  takiej  wysokości,  aby  móc  w  niej  zanurzyć  grzałkę  o 

mocy około 500W. Termos z wodą waŜymy (m

1

), a następnie wkładamy do wody grzałkę i  

włączamy prąd. Otwór termosu zamykamy, aby w trakcie podgrzewania wody do temperatury 
wrzenia  jak  najmniejsza  ilość  wody  opuściła  układ.  W  momencie  kiedy  rozpoczyna  się 
wrzenie  zdejmujemy  osłonę  otworu,  zaczynamy  mierzyć  czas  oraz  odczytywać  wskazania 
przyrządów – amperomierza (I) i woltomierza (U).  

 

W trakcie wrzenia cząsteczki wody wyparowują na zewnątrz, a tym samym maleje masa 

wody wewnątrz termosu. Po pewnym czasie t (około 20 minut) dopływ prądu przerywamy i 
równocześnie  wyłączamy  stoper.  Po  wyjęciu  grzałki  waŜymy  termos  i  zawartą  w  nim  wodę 
(m

2

). 

Zakładając, Ŝe moc prądu UI w trakcie eksperymentu nie uległa zmianie, cała dostarczona 

przez prąd energia zamieniła się w ciepło 

                                                       

UIt

Q

=

, 

które zostało uŜyte do wyparowania wody. PoniewaŜ cały czas temperatura była stała i 

była równa temperaturze wrzenia wody , zatem: 

                

m

c

Q

p

∆

⋅

=

, 

gdzie 

m

∆

 jest masą wyparowanej wody 

                  

2

1

m

m

m

−

=

∆

. 

Tym samym 

              

m

UIt

c

p

∆

=

. 

Pomiar powtarzamy czterokrotnie. 

 

- 46 - 

 3.   Obliczanie błędu pomiaru 

 
W  przypadku  kiedy  mamy  dostateczną  liczbę  pomiarów,  błąd  moŜemy  wyrazić  przez 

średni błąd kwadratowy  

       

)

1

(

)

(

1

2

−

−

=

∆

∑

=

=

−

u

u

c

c

c

n

i

i

pi

p

top

. 

Kiedy pomiarów jest mniej niŜ cztery  

        

m

m

I

I

U

U

c

c

p

∆

+

∆

+

∆

=

∆

, 

gdzie  I

∆

 i 

U

∆

 -

 

połowa najmniejszej działki na przyrządzie, 

m

∆

 - błąd masy. 

Wynik przedstawiamy w postaci: 

p

p

p

c

c

c

∆

±

=

. 

 

- 47 - 

 

Ćwiczenie numer 11 

Wyznaczanie ciepła topnienia lodu. 

1.  Wiadomości wstępne 

Ogrzanie względnie oziębienie nie jest jedynym procesem towarzyszącym zmianie energii 

wewnętrznej  ciała.  Istnieją  przemiany  energii  wewnętrznej  zachodzące  bez  zmiany 
temperatury.  Takimi  przemianami  są  między  innymi  topnienie  i  krzepnięcie.  Weźmy  pod 
uwagę lód o temperaturze niŜszej niŜ 0˚C. Dostarczenie bryle lodu ciepła powoduje wzrost jej 
temperatury  do  temperatury  topnienia  lodu,  która  wynosi  0˚C.  Od  tej  chwili  gdy  bryła  lodu 
(będąca kryształem) osiągnęła temperaturę 0˚C, całe dostarczone ciepło zamienia się na pracę 
potrzebną  do  pokonania  wiązań  cząsteczek  w  krysztale  lodu.  Temperatura  nie  będzie 
wzrastać, aŜ cały lód zostanie stopiony. Zakładamy, Ŝe dostarczanie ciepła przebiega powoli. 
Aby stopić  ciało o masie 

m

 musimy dostarczyć mu ilość ciepła  Q  proporcjonalną do masy 

ciała 

m

Q ~

, 

skąd  

m

c

Q

top

⋅

=

. 

Współczynnik 

top

c

 nazywamy ciepłem topnienia 

[ ]

K

J

c

top

=

 

Ciepło topnienia jest równe ilości ciepła jaka jest potrzebna do stopienia 1 kg ciała 

stałego w stałej temperaturze. 

 

2.   Wyznaczanie ciepła topnienia lodu 

 Do  termosu  wlewamy  wodę  o  masie 

w

m   (około  300g)  i  temperaturze  pokojowej.  Po 

pewnym  czasie,  kiedy  ustali  się  temperatura  wody  i  termosu  mierzymy  temperaturę  wody  - 

p

t .  Na  chusteczkę  higieniczną  kładziemy  kilka  kawałków  lodu  wyjętych  z  wody, 

wyznaczamy  masę  lodu  i  chusteczki,  a  następnie  „osuszone”  kawałki  lodu  wrzucamy  do 
wody  w  termosie.  Odejmując  od  masy  lodu  i  chusteczki  masę  mokrej  chusteczki 

otrzymujemy masę wrzuconego lodu 

l

m .  Po  chwili,  gdy  lód  się  stopi  dokładnie  mieszamy 

wodę w termosie i mierzymy jej temperaturę końcową 

k

t .  Przy 

załoŜeniu, 

Ŝe 

znamy 

równowaŜnik  cieplny  termosu  R   moŜemy  ułoŜyć  bilans  cieplny.  Ciepło  oddaje  woda  i 

termos ochładzając się od temperatury 

p

t  do 

k

t . 

 

- 48 - 

 

 Jest ono równe: 

)

(

)

(

1

k

p

ww

w

k

p

t

t

c

m

t

t

R

Q

−

+

−

=

. 

Ciepło to zostało zuŜyte na stopienie lodu  

l

top

m

c

Q

⋅

=

2

, 

oraz na ogrzanie powstałej z niego wody od 0˚C do temperatury końcowej 

k

t  

k

ww

l

k

ww

l

t

c

m

t

c

m

Q

⋅

⋅

=

°

−

⋅

=

)

0

(

3

. 

Zgodnie z bilansem cieplnym  

3

2

1

Q

Q

Q

+

=

 

czyli 

k

ww

l

l

top

k

p

ww

w

k

p

t

c

m

m

c

t

t

c

m

t

t

R

+

=

−

+

−

)

(

)

(

, 

a stąd 

l

k

ww

l

k

p

ww

w

top

m

t

c

m

t

t

c

m

R

c

−

−

+

=

)

)(

(

. 

Wyniki pomiarów notujemy w tabeli 

Nr 

p

t  

w

m  

l

m  

k

t  

R  

top

c

 

 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pomiar powtarzamy trzykrotnie. 

 

 

 

 

- 49 - 

3.  Dyskusja błędu 

W przypadku tego ćwiczenia liczymy błąd maksymalny.  

 
Jest on równy: 

.

|

)

)(

(

|

|

)

)

(

|

|

)

(

|

|

)

(

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

2

l

l

k

p

ww

w

k

l

ww

l

ww

w

p

l

ww

w

w

l

k

p

ww

l

top

k

k

top

p

p

top

w

w

top

top

m

m

t

t

c

m

R

t

m

c

m

c

m

R

t

m

c

m

R

m

m

t

t

c

m

ml

c

t

t

c

t

t

c

m

m

c

C

∆

−

+

+

+

∆

+

+

+

∆

+

+

∆

−

=

=

∆

∆

∂

+

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

∆

 

Wynik pomiaru podajemy w postaci: 

.

top

top

top

c

c

c

∆

±

=

 

 

- 50 - 

 

Ćwiczenie numer 12 

Sprawdzanie prawa Ohma. 

1.  Wiadomości wstępne. 

Na wstępie zdefiniujemy, co rozumiemy przez pojęcie prądu elektrycznego. 

Prądem elektrycznym nazywamy uporządkowany 

ruch ładunków elektrycznych. 

Nośnikami  przemieszczających  się  ładunków  mogą  być  elektrony,  ale  równieŜ  dodatnie 

czy  ujemne  jony.Aby  pomiędzy  dwoma  punktami  połączonymi  przewodnikiem  przepłynął 
prąd,  musi  pomiędzy  nimi  istnieć  róŜnica  potencjału.  Przyjęto,  Ŝe  prąd  płynie  od  potencjału 
wyŜszego  do  niŜszego.  Dla  ładunków  dodatnich  kierunek  przepływu  prądu  pokrywa  się  z 
kierunkiem ruchu nośników. W przypadku prądu elektronowego, z którym mamy najczęściej 
do czynienia, kierunek ruchu elektronów (ładunek ujemny) jest akurat przeciwny do kierunku 
prądu.  Jedną  z  wielkości  fizycznych  charakteryzujących  prąd  elektryczny  jest  natęŜenie 
prądu. 

NatęŜenie  prądu  elektrycznego  jest  równe  stosunkowi  ładunku,  jaki  przepłynął 
przez  poprzeczny  przekrój  przewodnika,  do  czasu,  w  którym  ten  przepływ 
nastąpił. 

JeŜeli przez  Q

∆

oznaczymy przepływający ładunek, przez

t

∆

 czas przepływu, to natęŜenie 

prądu I jest równe 

t

Q

I

∆

∆

=

. 

Jednostką  natęŜenia  jest  1A(amper).  Jest  to  jednostka  podstawowa  międzynarodowego 
układu  jednostek  (SI).  JeŜeli  natęŜenie  prądu  nie  zaleŜy  od  czasu,  to  mówimy  o  prądzie 
stałym. 

Przemieszczające się w przewodniku elektrony, zderzają się z atomami sieci krystalicznej 

przekazują  jej  swą  energię  kinetyczną,  uzyskaną  dzięki  polu  elektrycznemu.  Opór  sieci 
krystalicznej  jest,  zatem  wynikiem  tarcia,  jakiego  doznają  elektrony  wędrujące  pomiędzy 
atomami metalu. Jak w kaŜdym zjawisku tarcia i tu zachodzi wytwarzanie ciepła (tzw. ciepło 
Joule’a).  Makroskopowo  tarcie  elektronów  zauwaŜamy  jako  opór  przewodnika.  Zgodnie  z 
tym jest on wprost proporcjonalny do długości przewodnika l, a odwrotnie proporcjonalny do 
pola powierzchni przekroju przewodnika: 

R~

S

l

. 

 

 

- 51 - 

JeŜeli  wprowadzimy  stałą  proporcjonalności  ρ  noszącą  nazwę  oporu  właściwego 

otrzymujemy 

R= ρ

S

l

. 

Wymiar oporu właściwego jest równy [ρ]=Ω m. 

2.

 

Przebieg ćwiczenia. 

 

Schemat  układu,  za  pomocą  którego  będziemy  sprawdzać  prawo  Ohma,  pokazuje 

rysunek: 

 

     R 

                                                          R 

A 

                                                         V 

        

 

 

                            

 

 

I

 

     

Jako  źródła  napięcia  uŜywamy  zasilacza  prądu  stałego  o  zmiennym  napięciu.  Pomiar 

dokonujemy  dla  trzech  oporników  (rezystorów)  o  oporach  100Ω-1000  Ω.  NatęŜenie 
przepływającego prądu powinno być na tyle małe, aby ich temperatura nie zmieniała się. Dla 
danego opornika mierzymy natęŜenia przepływającego prądu I dla pięciu róŜnych napięć.  

Wyniki notujemy w tabeli. 

Nr 

U(V) 

I(A) 

I

U

 

1 

 

 

 

2 

 

 

 

3 

 

 

 

4 

 

 

 

5 

 

 

 

  

 

 

 

- 52 - 

Otrzymane  wyniki  pomiaru  nanosimy  na  wykres,  odkładając  na  osi  y  napięcie,  a  na  osi  x 
natęŜenie płynącego w przewodniku prądu. 

  U(V) 

 

Otrzymujemy 

prostą 

nachyloną  

                                                                                           pod  kątem  α  do  osi  x.  Z  zaleŜności                                                                   
                                                                                           tej  moŜemy  wyznaczyć  wartość  
                              α                                                             oporu badanego przewodnika  

                                                                  I(A)                                              

α

tg

R

=

 

                                                                                        

Pomiar powtarzamy dla trzech oporników. 

Jak z doświadczenia wynika: 

Stosunek  napięcia  mierzonego  na  końcach  przewodnika  do  natęŜenia  prądu,  

który przez ten przewodnik płynie, jest w danej temperaturze wielkością stałą. 

I

U

=constans=R 

Stała R nosi nazwę oporu (rezystancji). 

Jednostką oporu jest 1Ω(om). 

1Ω jest to opór przewodnika, przez który pod napięciem 1V 

płynie prąd o natęŜeniu 1A. 

 

 

3.  Dyskusja błędu. 
PoniewaŜ  pomiar  został przeprowadzony  kilkakrotnie  błąd  moŜemy  obliczyć  jako  średni 

błąd kwadratowy 

1

(

)

(

2

1

−

−

=

∆

∑

=

n

n

R

R

R

i

n

i

. 

MoŜemy alternatywnie obliczyć błąd maksymalny 

I

I

U

U

R

R

∆

+

∆

=

∆

 

gdzie 

U

∆

i  I

∆

 liczymy jako średnie błędy kwadratowe. 

Wynik pomiaru podajemy w postaci: 

R

R

R

∆

±

=

. 

 

- 53 - 

Ćwiczenie numer 13 

Wyznaczanie oporu wewnętrznego ogniwa Leclanche’go. 

 

1.

 

Wiadomości wstępne. 

Chcąc wywołać w przewodniku przepływ prądu o stałym natęŜeniu musimy dysponować 

mechanizmem,  który  mógłby  pomiędzy  dwoma  punktami  wytworzyć  –  istniejąca 
odpowiednio  długo  –  róŜnice  potencjałów.  Nosi  on  nazwę  źródła  siły  elektromotorycznej 
zwanej w skrócie SEM.Źródłami siły elektromotorycznej, mogą być ogniwa, termoogniwa 
i prądnice. Kosztem określonej energii: chemicznej mechanicznej czy wewnętrznej następuje 
rozdział  ładunków,  co  prowadzi  do  powstawania  róŜnicy  potencjałów  pomiędzy  biegunami 
źródła. 

Ogniwem galwanicznym nazywamy układ dwu płytek wykonanych z róŜnych metali 

lub  związków  metali  (jedna  moŜe  być  węglowa),  zanurzonych  w  roztworze  wodnym 
kwasu, zasady lub soli. 

Przedstawiona definicja jest najbardziej ogólną definicja ogniwa galwanicznego i słuszna 

jest dla wszystkich rodzajów ogniw, z jakimi spotykamy się obecnie. Ogniwo chemiczne, bo 
ograniczamy się w tej chwili jedynie do ogniw tego typu, jest urządzeniem przekształcającym 
energię  chemiczną  w  energię  elektryczną.  W  przeprowadzanym  eksperymencie  uŜywamy 
ogniwa  Leclanche’go.  Jest  to  ogniwo  uŜywane  powszechnie  do  zasilania  latarek, 
radioodbiorników itd. Elektrodami w ogniwie  Leclanche’go są: blacha cynkowa, stanowiąca 
równocześnie  obudowę  ogniwa  oraz  elektroda  węglowa  –  grafitowy  pręt  umieszczony  w 
środku. Elektrolitem jest otwór wodny chlorku amonu NH

4

Cl (salmiak). Ogniowo takie moŜe 

pracować  stabilnie  jedyne  wtedy,  gdy  elektroda  węglowa  owinięta  jest  woreczkiem 
zawierającym  dwutlenek  magnezu  MnO

2

.  Zadaniem  dwutlenku  magnezu  jest  utlenianie 

wodoru wydzielającego się na elektrodzie węglowej. Gdybyśmy wodoru nie usuwali, ogniwo 
przestało  by  działać.  Tego  typu  ogniwa  nie  moŜna  regenerować.  Jest  to  ogniwo 
jednorazowego uŜytku – ogniwo nieodwracalne. 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 54 - 

PoniŜszy rysunek pokazuje schemat tego ogniwa. 

 

Budowa ogniwa Leclanche’go 

Powróćmy do omawianych wcześniej ogniw galwanicznych. Jak pamiętamy, 

ogniwo takie składa się z dwu róŜnych elektrod zanurzonych w elektrolicie. JeŜeli 
elektrody połączymy oporem zewnętrznym R

z

 w obwodzie popłynie prąd. 

 

Prąd płynie zarówno z obwodzie 

zewnętrznym (przez opornik R

z

) jak i przez 

elektrolit, który przepływającemu prądowi 
stawia pewien opór zwany oporem 
wewnętrznym (R

w

). W obwodzie takim 

spełniona jest relacja; 

I(R

z

+R

w

)=constans=

ε

 

 

noszącą nazwę uogólnionego prawa 

Ohma. Stała 

ε

 jest równa wspomnianej 

wcześnie sile elektromotorycznej ogniwa.

 

 

 

 

 

 

 

 

- 55 - 

PoniewaŜ: 

IR

z

=U 

jest napięciem mierzonym na oporniku zewnętrznym o wartości R

z

 , prawo to 

moŜemy zapisać w następującej postaci: 

U+IR

w

=

ε

, 

a stąd 

U= 

ε

-IR

w.

 

ZaleŜność napięcia U od natęŜenia płynącego w obwodzie prądu przedstawia 

poniŜszy rysunek: 

 

Jak z niego wynika SEM ogniwa jest równa napięciu na jego zaciskach wtedy, 

gdy przez obwód nie płynie prąd. Napięcie na zaciskach ogniwa obciąŜonego 

oporem R jest równe SEM 

ε

 pomniejszonej o spadek potencjału na oporze 

wewnętrznym R

w

. Z nachylenia wykresu moŜemy odczytać wartości oporu 

wewnętrznego  R

w

. Jest to właśnie uogólnione prawo Ohma. 

 

tgα=R

w

 . 

 

 

- 56 - 

 

2.  Przebieg ćwiczenia 

Celem  ćwiczenia  jest  wyznaczanie  oporu  wewnętrznego  ogniwa,  którym  w 

naszym  przypadku  jest  bateria  płaska  złoŜona  z  trzech  ogniw  Laclanche’go. 
PoniewaŜ pojedyncze ogniwo Laclanche’go posiada siłę elektromotoryczna (SEM) o 
wartości: 

ε

=1,5V, 

zatem SEM baterii złoŜonej z trzech ogniw połączonych szeregowo wynosi: 

ε

=4,5V 

 

Zgodnie  z  wcześniejszymi  relacjami,  dla  rozwartego  ogniwa  (nie  połączonego 

oporem)  natęŜenie  prądu      I  =  0    a  tym  samym  napięcie  U  jest  równe  sile 

elektromotorycznej 

ε

. Wynik ten jest pierwszym rezultatem pomiaru.  

Przyrządy montujemy według przedstawionego poniŜej schematu: 

 

 

 

 

 

 

- 57 - 

Zmieniając wartości oporu R

z

 powodujemy zmianę napięcia i natęŜenia prądu 

płynącego w obwodzie. Wyniki notujemy w tabeli. 

 

R

z

 

U(V) 

I(A) 

∞

 

ε =4,5 V 

0 

100Ω 

 

 

10 Ω 

 

 

5 Ω 

 

 

 

Kiedy  R

z

  osiąga  bardzo  duŜe  wartości  U  zbliŜa  się  do 

ε

=4,5  V,  kiedy  opór 

maleje  w  obwodzie  płynie  coraz  większy  prąd,  bateria  grzeje  się  i  ulega  szybkiemu 
zniszczeniu.  Otrzymane  wyniki  nanosimy  na  wykres  zaleŜności  U,  z  którego 
moŜemy otrzymać wartości oporu wewnętrznego ogniwa R

w

. 

 

 

- 58 - 

Ćwiczenie numer 14 

Wyznaczanie współczynnika załamania światła. 

1.  Wiadomości wstępne. 

Prawo odbicia i załamania światła to dwa podstawowe prawa, na których opiera się cała 

struktura optyki geometrycznej. 

Prawo odbicia światła 

Weźmy pod uwagę promień światła padający na doskonale gładką powierzchnie. Jego 

zachowanie określa prawo odbicia: 

 

 

 

Promień  padający,  normalna  i 
promień  odbity  leŜą  w  jednej 
płaszczyźnie,  a  kąt  odbicia  jest 
równy kątowi padania 

 

Bieg promienia świetlnego w zjawisku odbicia. 

Prawo załamania światła. 

RozwaŜmy monochromatyczny promień światła, a więc promień światła o ściśle 

określonej długości fali, padający na granicę dwóch ośrodków. Jak pamiętamy, światło taki 
przechodząc z jednego ośrodka do drugiego, jeŜeli tylko porusza się w nich z róŜnymi 
prędkościami, zmienia kierunek swojego biegu – ulega załamaniu. 

Prawo załamania świtała rządzące tym zjawiskiem brzmi następująco: 

Promień padający, normalna oraz 

promień załamany leŜą w jednej płaszczyźnie. 
Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta 
załamania jest równy stosunkowi prędkości 
światła w ośrodku pierwszym  do prędkości w 
ośrodku drugim. 

2

1

12

v

v

sin

sin

=

=

β

α

n

 

 

 

- 59 - 

Stosunek prędkości światła w ośrodku pierwszym do prędkości światała w 

ośrodku drugim 

,

v

v

2

1

21

=

n

 

nosi nazwę współczynnika załamania światła. 

Najczęściej  mówimy  o  współczynniku  załamania  danej  substancji  mierzonego 

względem  próŜni.  Jest  on  w  przybliŜeniu  równy  współczynnikowi  mierzonemu 
względem powietrza. Współczynnik taki nosi nazwę bezwzględnego współczynnika 
załamania i taki właśnie współczynnik znajdziemy w tablicach. 

2.  Proste sposoby sprawdzenia praw optyki geometrycznej – metoda „szpilek” 

W metodzie tej promień światła przedstawiamy za pomocą dwu szpilek 

wbitych w punkty A i B. 

 

Promień światła przedstawia prosta przechodząca przez punkt A i punkt B. 

RozwaŜmy pierwszy z wymienionych problemów, tzn. prawo odbicia światła. 

Odbicie  światła  moŜna  zrealizować  wykorzystując  wąski  skrawek  wypolerowanego 
metalu  szerokości  ok.  10  mm  i  długości  kilku  cm.  Na  środku  „lusterka”  rysujemy 
wąską,  prostopadłą  linię.  Zamiast  niej,  juŜ  po  ustawieniu  lusterka  moŜna  wbić 
szpilkę. 

 

Sprawdzenie prawa odbicia 

 

Na  kartce,  rysujemy  dwie  prostopadłe  linie,  i  z  punktów  ich  przecięcia  O  zataczamy 

półokrąg.  Linia  przerywana  odpowiada  normalnej  która  musi  przechodzić  przez  rysę 
nakreślona na lusterku względnie punkt wbicia szpilki w punkcie O. Cały układ pomiarowy 
ustawiamy na kawałku styropianowej płytki, w która wyjątkowo łatwo wbić szpilkę.  

 

- 60 - 

W  dowolnie  obranym  punkcie  A  leŜącym  na  wcześniej  nakreślonym  łuku  wbijamy 
prostopadle szpilkę a następnie szukamy takiego kierunku aby szpilka A i rysa nakreślona na 
lusterku  /  względnie  szpilka  wbita  w  punkcie  O/  pokryły  się.  Na  kierunku  tym,  na  łuku, 
wbijamy szpilkę B. Patrząc z zaznaczonego na rysunku kierunku widzimy  na jednej prostej 
szpilkę  A,  rysę  i  szpilkę  B.  Po  zdjęciu  z  kartki  lusterka,  przez  punkt  A  i  O  oraz  O  i  B 
prowadzimy  proste  odpowiadające  biegowi  promienia  i  mierzymy  za  pomocą  kątomierza 
kąty α i β. 

MoŜemy się przekonać, Ŝe kąty spełniają warunek: 

α = β 

Chcąc sprawdzić prawo załamania światła  wykorzystujemy płytkę w postaci półokręgu 

wykonana  w  pleksiglasu.  Grubość  płytki  nie  ma  większego  znaczenia,  waŜnym  jest 
natomiast  aby  krawędzie  płytki  były  wypolerowane.  Na  krawędzi  płaskiej  części  płytki 
kreślimy prostopadłą rysę pokrywającą się z osią obrotu płytki. Zamiast rysy i tutaj moŜemy 
wbić  szpilkę.Tak  spreparowaną  płytkę  ustawiamy  na  kartce  papieru,  na  której  wcześniej 
kreślimy  dwie  wzajemnie  prostopadłe  proste  i  okrąg  o  promieniu  tylko  nieco  większym  od 
promienia płytki. 

 

Sprawdzenie prawa załamania 

W  punkcie  A  tuŜ  przy  płytce  wbijamy  szpilkę,  a  następnie  szukany  takiego 

kierunku /patrząc przez krawędź płytki / aby się pokryła ona z rysunku przechodzącą 
przez punkt O. Na kierunku tym, na łuku, wbijamy szpilkę .Podobnie jak to była  w 
przypadku  zwierciadła,  szpilka  A,  rysa  O  oraz  szpilka  B  leŜą  dla  obserwatora  na 
jednej prostej. Po zdjęciu płytki prowadzimy odcinek AO i OB., tak jak pokazuje to 
rysunek i mierzymy kąty α i β. Wyznaczamy stosunek sinusów:      

n

=

β

α

sin

sin

. 

 

- 61 - 

Do  pokazania  przesunięcia  promienia  świetlnego  w  płytce  płasko-równoległej 

wykorzystujemy płytkę z pleksiglasu w kształcie prostokąta o wymiarach ok. 6 cm i 10 cm. 
Podobnie jak uprzednio musi mieć ona dobrze wypolerowane krawędzie. 

 

Bieg promienia świetlnego przez płytkę płasko-równoległą 

Na kartce zaznaczmy kąt α, a kierunek biegu promieni zaznaczamy wbijając szpilkę A i 

B.  Obserwując  płytkę  z  przeciwnej  strony  wyznaczamy  kierunek,  dla  którego  szpilki  A  i  B 
znajdują  się  na  jednej  linii.  Kierunek  ten  zaznaczymy,  wbijając  szpilki  C  i  D.  Prowadząc 
odcinek  AB  i  BC  oraz  CD  wyznaczamy  bieg  promienia  w  płytce  płasko-równoległej.W 
podobny  sposób moŜna dokonać pomiaru kąta odchylenia w pryzmacie. MoŜemy do tego 
celu wykorzystać jeden z rogów prostokątnej płytki uŜytej w poprzednim doświadczeniu/ kat 
łamiący  α=90/  ale  lepiej  wykorzystać  jest  do  tego  celu  płytkę  pleksiglasu  w  postaci 
równobocznego  trójkąta  o  boku  ok.  10  cm.  Naturalnie  warunkiem  dokonania  pomiaru 
podobnie  jak  w  poprzednich  eksperymentach  jest  wypolerowanie  brzegów  płytki.Podobnie 
jak  to  robiliśmy  w  przypadku  płytki  płasko-równoległej,  dwiema  szpilkami  A  i  B 
zaznaczamy  kierunek  promienia  padającego,  a  następnie  szukamy  takiego  kierunku 
obserwacji  /patrząc  z  drugiej  strony  pryzmatu/,  dla  którego  szpilki  A  i  B  leŜą  na  jednej 
prostej. Kierunek ten zaznaczamy szpilkami C i D.  

 

 

Wyznaczanie Kąta odchylenia. 

 

 

- 62 - 

Korzystając  z  kątomierza  jesteśmy  w  stanie  dość  dokładnie  wyznaczyć  kąt 

odchylenia ε. Pomiaru moŜna dokonać dla róŜnych wartości kąta. 

3.  Wyznaczanie współczynnika załamania światła z pleksiglasie. 

Przedstawiony  wcześniej  pokaz,  w  którym  sprawdzaliśmy  prawo  załamania 

światła  pozwala  wyznaczyć  współczynnik  załamania  światła  w  pleksiglasie.  W  tym 
celu co najmniej pięciokrotnie powtarzamy pomiar kątów padania i załamania, które 
wyznaczyliśmy sprawdzając prawo załamania. 

Wyniki pomiarów notujemy w tabeli: 

No 

α 

β 

sin α 

sin β 

β

α

sin

sin

 

1. 

 

 

 

 

 

2. 

 

 

 

 

 

3. 

 

 

 

 

 

4. 

 

 

 

 

 

5. 

 

 

 

 

 

 

4.  Dyskusja błędu. 

 

Mając do dyspozycji pięć pomiarów współczynnik załamania jako niepewność  

pomiaru przyjmujemy średni błąd kwadratowy: 

 

5

4

)

(

5

1

2

⋅

−

=

∆

∑

=

i

i

n

n

n

 

 

Wynik przedstawiamy w postaci; 

n

n

n

∆

±

=

. 

 

 

 

 

- 63 - 

Wartości funkcji trygonometrycznych: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α  

sin α 

tg α 

ctg α 

cos α 

   

0 

0 

0 

∞  

1 

90 

1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 

10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 
31 
32 
33 
34 
35 
36 
37 
38 
39 
40 
41 
42 
43 
44 
45 

0,017 
0,035 
0,052 
0,070 
0,087 
0,105 
0,122 
0,139 
0,156 
0,174 
0,191 
0,208 
0,225 
0,242 
0,259 
0,276 
0,292 
0,309 
0,326 
0,342 
0,358 
0,375 
0,391 
0,407 
0,423 
0,438 
0,454 
0,469 
0,485 

0,5     

0,515 
0,530 
0,545 
0,559 
0,574 
0,588 
0,602 
0,616 
0,629 
0,643 
0,656 
0,669 
0,682 
0,695 
0,707 

0,017 
0,035 
0,052 
0,070 
0,087 
0,105 
0,123 
0,141 
0,158 
0,176 
0,194 
0,213 
0,231 
0,249 
0,268 
0,287 
0,308 
0,325 
0,344 
0,364 
0,384 
0,404 
0,424 
0,445 
0,466 
0,488 
0,510 
0,532 
0,554 
0,577 
0,601 
0,625 
0,649 
0,675 
0,700 
0,727 
0,754 
0,781 
0,810 
0,839 
0,869 
0,900 
0,933 
0,966 

1  

57,290 
28,636 
19,081 
14,301 
11,430 

9,514 
8,144 
7,115 
6,314 
5,671 
5,145 
4,705 
4,331 
4,011 
3,732 
3,487 
3,271 
3,078 
2,904 
2,747 
2,605 
2,475 
2,356 
2,246 
2,145 
1,050 
1,963 
1,881 
1,804 
1,732 
1,664 
1,600 
1,540 
1,483 
1,428 
1,376 
1,327 
1,280 
1,235 
1,192 
1,150 
1,111 
1,072 
1,036 

1  

1,000 
0,999 
0,999 
0,998 
0,996 
0,995 
0,993 
0,990 
0,988 
0,985 
0,982 
0,978 
0,974 
0,970 
0,966 
0,961 
0,956 
0,951 
0,946 
0,940 
0,934 
0,927 
0,921 
0,914 
0,906 
0,899 
0,891 
0,883 
0,875 
0,866 
0,857 
0,848 
0,839 
0,829 
0,819 
0,809 
0,799 
0,788 
0,777 
0,766 
0,755 
0,743 
0,731 
0,719 
0,707 

89 
88 
87 
86 
85 
84 
83 
82 
81 
80 
79 
78 
77 
76 
75 
74 
73 
72 
71 
70 
69 
68 
67 
66 
65 
64 
63 
62 
61 
60 
59 
58 
57 
56 
55 
54 
53 
52 
51 
50 
49 
48 
47 
46 
45  

  

  cos α 

ctg α 

tg α 

sin α 

α  

 

- 64 - 

Ćwiczenie numer 15 

Wyznaczanie ogniskowych soczewek skupiających  

i rozpraszających. 

 

1.  Wiadomości ogólne. 

a)

 

Parametry charakteryzujące soczewkę. 

Soczewka  to  bryła  przezroczysta  ograniczona  dwiema  powierzchniami  sferycznymi. 

Soczewki  dzielimy  na  skupiające  i  rozpraszające.  Soczewka  skupiająca  skupia  w  jednym 
punkcie wszystkie promienie biegnące równolegle do głównej osi optycznej. Punkt skupienia 
promieni  nosi  nazwę  ogniska,  a  jego  odległość  do  środka  soczewki  nazywamy  ogniskową. 
Gdy  grubość  soczewki,  liczona  wzdłuŜ  kierunku  głównej  osi  optycznej,  jest  znacznie 
mniejsza  od  promieni  krzywizn  sfer  ograniczających  soczewkę,  wtedy  taką  soczewkę 
nazywamy  soczewką  cienką.  W  przypadku  soczewki  cienkiej  promień  świetlny 
przechodzący  przez  środek  soczewki  nawet  wtedy,  gdy  pada  na  nią  pod  pewnym  kątem  do 
głównej osi optycznej, ulega tak małemu przesunięciu, Ŝe moŜemy je zaniedbać. 

 

 

Podstawowe parametry charakteryzujące soczewkę skupiającą. 

 

Bieg promieni równoległych do osi optycznej po przejściu przez soczewkę rozpraszającą

. 

 

 

- 65 - 

b)

 

Równanie soczewki. 

Konstrukcję obrazu, który powstaje w soczewce skupiającej pokazuje poniŜszy rysunek. 

 

Na rysunku przez x oznaczono odległość przedmiotu od środka soczewki, a przez y 

odległość obrazu od środka soczewki. ZaleŜność pomiędzy odległością x przedmiotu oraz 
obrazu y od soczewki, a ogniskową f soczewki, zwana równaniem soczewki cienkiej 
przyjmuje identyczną postać jak zwierciadła: 

,

1

1

1

f

y

x

=

+

 

gdzie   x- odległość przedmiotu od środka soczewki, 

 

y- odległość obrazu od środka soczewki, 

 

f- ogniskowa soczewki. 

Bardzo często, szczególnie w okulistyce, charakteryzujemy soczewkę przez podanie 

zdolności skupiającej, którą wyraŜamy w dioptriach. 

Zdolnością skupiającą D soczewki nazywamy odwrotność ogniskowej soczewki 

wyraŜonej w metrach. 

f

D

1

=

. 

JeŜeli na przykład soczewka ma ogniskową  f = 1m, to jej zdolność skupiająca D będzie 

wynosiła 1 dioptrię. 

c)

 

Układy soczewek. 

Do tej pory braliśmy pod uwagę jedynie pojedyncze cienkie soczewki. W rzeczywistości 

pojedyncze  soczewki  stosowane  są  stosunkowo  rzadko.  Najczęściej  stosuje  się  układy 
optyczne,  w  skład,  których  moŜe  wejść  kilka  soczewek.  Dla  uproszczenia  rozwaŜymy 
najprostszy  z  moŜliwych  układów  optycznych  złoŜony  z  dwu  cienkich  soczewek.  MoŜemy 
tutaj rozpatrywać dwa przypadki: 

•

 

Układu  dwu  cienkich  soczewek  zlepionych  ze  sobą  (odległość  między  środkami 
soczewek d = 0). 

 

- 66 - 

•

 

Układu dwu cienkich soczewek umieszczonych w ten sposób, Ŝe odległość między 
środkami jest róŜna od zera(d ≠ 0). 

W pierwszym przypadku otrzymujemy układ o ogniskowej danej wzorem: 

,

1

1

1

2

1

1

f

f

f

u

+

=

 

 

gdzie f

1 

i  f

2

 – ogniskowe soczewek. 

JeŜeli  zamiast  ogniskowych  soczewek  wprowadzimy  zdolności  skupiające,  wzór  ten 

przyjmie postać: 

.

2

1

1

D

D

D

u

+

=

 

W przypadku drugim otrzymujemy nieco bardziej skomplikowaną relację: 

.

1

1

1

2

1

2

f

d

f

f

u

+

−

=

 

W podanych wzorach ogniskowej  f

1 

i  f

2

 mogą przybierać zarówno wartości dodatnie 

(soczewki skupiające) jak i ujemne (soczewki rozpraszające). 

2.  Pomiar ogniskowej soczewki skupiającej. 

Pomiar przeprowadzamy na ławie optycznej pozwalającej zmierzyć odległość przedmiotu 

od soczewki (x) oraz odległość soczewki od obrazu (y). 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 67 - 

Tak dobieramy x, aby na ekranie otrzymać ostry obraz przeźrocza. Wyniki notujemy w 

tabeli. Dla danej soczewki wykonujemy pięć niezaleŜnych pomiarów. 

 

x

i 

y

i

 

f

i

 

  f  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przy pięciu pomiarach niepewność określamy jako średni błąd kwadratowy: 

)

1

(

)

(

5

1

2

−

−

=

∆

∑

=

u

u

f

f

f

i

i

. 

Wynik podajemy w postaci: 

f

f

f

∆

±

=

. 

 

3.  Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej. 

Jak pamiętamy, ogniskowa układu soczewek dana jest wzorem: 

2

1

1

1

1

f

f

f

u

+

=

. 

Dla  soczewki  rozpraszającej  ogniskowa  przyjmuje  wartość  ujemną.  Chcąc  wyznaczyć 

ogniskową  soczewki  rozpraszającej,  musimy  połączyć  ją  w  układ  z  soczewką  skupiającą  o 
takiej  ogniskowej,  aby  układ  spełniał  warunki  soczewki  skupiającej.  MoŜemy  wtedy 
otrzymać obrazy rzeczywiste, a jest to warunkiem dokonania pomiaru ogniskowej układu. W 
tym celu wybieramy odpowiednią soczewkę, której ogniskową  f

1

 wyznaczyliśmy. Postępując 

w  analogiczny  sposób,  jak  w  przypadku  soczewki  skupiającej,  wyznaczamy  ogniskową 
układu  soczewek  (soczewka  skupiająca  +  rozpraszająca)  f

u

.  PoniewaŜ  traktujemy  soczewki 

jako  cienkie,  odległość  między  środkami  zetkniętych  ze  sobą  soczewek  moŜemy  pominąć. 
Znając  ogniskową  układu  soczewek  oraz  ogniskową  soczewki  skupiającej,  wyliczymy 
ogniskową soczewki rozpraszającej f

2

. 

 

 

- 68 - 

 

,

1

1

1

1

2

f

f

f

u

−

=

 

.

1

1

2

u

u

f

f

f

f

f

−

=

 

PoniewaŜ   f

u 

> f

1, 

ogniskowa  f

2

 będzie miała wartość ujemna. 

Wyniki notujemy w tabeli: 

x

i

 

y

i

 

f

ui

 

f

2i

 

2

f  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykonujemy pięć niezaleŜnych pomiarów. Niepewność pomiarów przyjmujemy, tak jak 

poprzednio, jako średni błąd kwadratowy. 

Wynik pomiaru przedstawiamy postaci: 

f

f

f

∆

±

=

2

2

. 

 

- 69 - 

 

Ćwiczenie nr16 

Wyznaczanie długości fal świetlnych za pomocą siatki 

dyfrakcyjnej. 

1.

 

Wiadomości wstępne. 

 

Pierwszym doświadczeniem, w którym wykazano falowe właściwości światła było 

doświadczenie Younga, przeprowadzone w 1803 r. Schemat tego doświadczenia przedstawia 
poniŜszy rysunek 

 

Schemat doświadczenia Younga 

W zakreskowanym na rysunku obszarze, wskutek interferencji powstają prąŜki noszące 

nazwę prąŜków Younga. Mechanizm ich powstawania przedstawiono poniŜej. 

 

Interferencja fal świetlnych w doświadczeniu Younga 

 

- 70 - 

Oznaczmy odległość pomiędzy szczelinami O

1 

i O

2  

przez a. Promień świetlny biegnący z 

punktu O

2

 do punktu P przebywa drogę dłuŜszą niŜ promień wychodzący z punktu O

1

 . Przy 

załoŜeniu,  Ŝe  róŜnica  dróg 

s

∆

  przebytych  przez  promienie  jest  znacznie  mniejsza  niŜ 

przebyte drogi: 

s

∆

 << O

1 

P, 

s

∆

 << O

2 

P, 

z pewnym przybliŜeniem moŜemy napisać:  

2

1

sin .

s

O P O P

a

α

∆ =

−

=

 

 

Jasne prąŜki obserwujemy wtedy, gdy róŜnica dróg jakie przebywa światło spełnia 

warunek  

s

n

λ

∆ =

            

0,1, 2...

n

=

 

gdzie 

λ

=

długość fali świetlnej. 

 

Ciemne prąŜki powstają wtedy, gdy róŜnica dróg 

s

∆

promieni świetlnych jest równa 

nieparzystej wielokrotności połowy długości fali: 

(2

1)

2

s

n

λ

∆ =

+

         

0,1, 2...

n

=

 

 

Wyprowadzony wyŜej wzór: 

sin

n

a

λ

α

=

 

pozwala w bezpośredni sposób wyznaczyć długość fal świetlnych. W praktyce do 
wyznaczania długości fal świetlnych wykorzystywana jest 

siatka dyfrakcyjna. Zawiera ona 

nie dwie, lecz bardzo duŜo szczelin. 

Siatka dyfrakcyjna jest to najczęściej płytka szklana, na której za pomocą diamentowego 

ostrza  zostało  automatycznie  nakreślone  tysiące  równoległych  rys.  W  zaleŜności  od  jakości 
siatki moŜe ich być od kilkudziesięciu do kilku tysięcy na 1 cm. DuŜa liczba szczelin, przez 
które  przechodzi  światło  powoduje,  Ŝe  za  pomocą  siatki  dyfrakcyjnej  otrzymujemy  bardzo 
jasne obrazy. Siatka pozwala rozdzielić fale świetlne o bliskich sobie długościach. 

 
 
 
 
 

 

- 71 - 

MoŜna  wykazać,  Ŝe  analogicznie  jak  w  przypadku  doświadczenia  Younga  spełniona  jest 

relacja  

sin

k

k

a

λ

α

=

 

gdzie  

1, 2, 3,...

k

=

 jest numerem rzędu widma, 

λ

−

długością fali świetlnej, 

k

α

−

kątem odchylenia promieni od prostej prostopadłej do siatki, 

a

−

stała siatki. 

 

                              

siatka dyfrakcyjna 

 

 

 

 

ś

wiatło monochromatyczne                                 

 

   

 ekran 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 72 - 

2.

 

Przebieg doświadczenia  

Wyznaczanie stałej siatki 

Aby  wyznaczyć  długość  fal  świetlnych  musimy  znać  stałą  siatki  a.  Do  jej  wyznaczenia 
wyśmienicie  nadaje  się  promień  światła  lasera  helowo-neonowego,  który  emituje  światło  o 
długości  

0

632, 6nm

λ

=

. 

 

 

Na ekranie odległym o l od siatki, otrzymujemy wtedy punkty światła odpowiadające 

poszczególnym rzędom widma.  

 

 

 

 

 

 

 

PoniewaŜ dla widma pierwszego rzędu k=1 zatem: 

0

0

sin

a

λ

α

=

 

skąd 

0

0

sin

a

λ

α

=

. 

Znając x

1

 oraz l moŜemy wyznaczyć wartość sinusa 

0

α

 

1

0

2

2

1

sin

x

l

x

α

=

+

, 

a tym samym 

2

2

0

1

n

l

x

a

x

λ

+

=

. 

1

2x

2

x

"2"

"1"

"0"

"1"

"2"

 

- 73 - 

Podobne wyliczenia przeprowadzamy dla 

2

(

2)

x k

=

, wyniki pomiaru notujemy w tabeli. 

nr 

l 

1

x  

2

2

1

1

l

x

x

+

 

1

a  

2

x  

2

2

2

2

l

x

x

+

 

2

a  

a

 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczamy średnią wartość 

a

. 

Wyznaczanie długości fal świetlnych. 

Znajomość  stałej  a  siatki  dyfrakcyjnej  pozwala  na  wyznaczenie  długości  fal  świetlnych 

odpowiadających  poszczególnym  barwom  widma  światła  białego.  Jako  źródła  światła, 
podobnie jak w poprzednich doświadczeniach uŜyjemy rzutnika. Aby wiązka światła padająca 
na  siatkę  dyfrakcyjną  była  moŜliwie  wąska,  w  rzutniku  umieszczamy  szczelinę  wykonaną  z 
przełamanej Ŝyletki. Szczelina taka, umieszczona w rzutniku w miejscu przeźrocza, pozwala 
otrzymać na ekranie ostry i bardzo jasny obraz. 

 

 

 

Siatka dyfrakcyjna powoduje rozszczepienie światła białego na widma ciągłe  I, II… 

rzędu. 

Weźmy pod uwagę widmo I rzędu. Ograniczając do czerwieni moŜemy napisać: 

sin

c

c

k

a

λ

α

=

. 

Przyjmuje k=1, ostatecznie otrzymujemy: 

sin

c

c

a

λ

α

=

. 

 

- 74 - 

Wartość  sin

c

α

 jest równa: 

2

2

sin

,

c

c

c

x

l

x

α

=

+

 

c

x

−

odległość środka czerwonego prąŜka widma od środka prąŜka zerowego, 

l

−

odległość siatki dyfrakcyjnej od ekranu, na którym otrzymaliśmy widmo. 

Podobny  pomiar  wykonujemy  dla  barwy  czerwonej  Ŝółtej  i  zielonej, 

niebieskiej oraz fioletowej. Wyniki pomiarów notujemy w tabeli: 

 

 

Barwa 

prąŜka 

l(m) 

1

( )

x m  

2

( )

x m  

3

( )

x m  

( )

x m  

2

2

x

l

x

+

 

(

)

nm

λ

 

czerwona 

 

 

 

 

 

 

 

Ŝółta 

 

 

 

 

 

 

 

zielona 

 

 

 

 

 

 

 

niebieska 

 

 

 

 

 

 

 

fioletowa 

 

 

 

 

 

 

 

 

PoniewaŜ wyznaczaliśmy długości fal świetlnych poszczególnych barw widma 

ciągłego, które w sposób ciągły przechodzą jedna w drugą, trudno jest w tym przypadku 
przeprowadzić dyskusję błędu. 

 

- 75 - 

 

Ćwiczenie nr 17 

Wyznaczanie krzywej cechowania spektrometru pryzmatycznego. 

1.

 

Wiadomości wstępne 
 

W  świetle  widzialnym  emitowanym  przez  rozgrzane  do  wysokiej  temperatury  ciała 

(np.  włókno  Ŝarówki)  lub  ciecze  (roztopiony  metal)    występują  wszystkie  długości  fal  od 

400nm

λ

=

  do 

760nm

λ

=

.  Światło  takie  nazywamy  niekiedy  światłem  „białym”.  JeŜeli 

„białe”  światło  w  postaci  wąskiej  wiązki,  skierujemy  na  pryzmat  (patrz  rysunek)  to  nastąpi 
rozszczepienie światła. Na ekranie otrzymamy barwne widmo. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W ten sposób moŜemy zademonstrować za pomocą pryzmatu 

rozszczepienie światła białego. 

 

W  widmie  tym  barwy  w  sposób  ciągły  przechodziły  jedna  w  drugą.  W  ten  sposób  na 

ekranie  oglądaliśmy  pasmo  barw  od  czerwonej  poprzez  pomarańczową,  Ŝółtą,  zieloną, 
niebieską do fioletowej. Okazuje się jednak, Ŝe nie wszystkie ciała pobudzone w taki czy inny 
sposób  do  świecenia  emitują  światło  o  widmie  ciągłym.  Widmo  światła  emitowanego  na 
przykład  przez  pary  i  gazy  składa  się  z  wąskich,  jasnych  linii  o  róŜnych  barwach,  którym 
moŜemy przypisać ściśle określone długości fal. Te właśnie, niekiedy bardzo skomplikowane 
widma,  stanowią  przedmiot  badań,  w  których  wykorzystuje  się  przyrządy  spektralne. 
Elementem, który rozszczepia światło w tych przyrządach moŜe być np. siatka dyfrakcyjna 
lub  pryzmat.W  zaleŜności  od  sposobu  rejestracji  widma  przyrządy  spektralne  dzielimy  na   
spektrografy,  w  których  widmo  otrzymuje  się  na  kliszy  fotograficznej  oraz  spektrometry,  w 
których pomiar długości fal sprowadza się do zmierzenia kąta ustawienia lunetki. 

W praktyce szkolnej stosuje się nieco zmodyfikowany typ spektrometru pryzmatycznego, 

pozwalający  na  bezpośrednią  obserwację  widma  na  tle  skali.  Przyrząd  taki,  za  pomocą 
którego  raczej  obserwujemy  widmo  niŜ  wykonujemy  pomiary,  nosi  nazwę  spektroskopu. 

 

- 76 - 

Schemat  działania  spektroskopu  szkolnego,  którego  będziemy  uŜywać  naszych 
doświadczeniach, pokazuje rysunek. 

 

 

 

 

 

 

 

Zasada działania szkolnego spektrometru pryzmatycznego. 

Aby móc obserwować widma par i gazów, musimy pobudzić je do świecenia. Najczęściej 

stosowanym  sposobem  jest  wyładowanie  w  gazie  rozrzedzonym.  Gotowe  rurki,  w  których 
moŜna  obserwować  wyładowanie  w  gazach,  noszą  nazwę  rurek  Geisslera  lub  Pluckera. 
Takich  rurek  uŜyjemy  przeprowadzając  obserwację  widm  poszczególnych  pierwiastków.  W 
doświadczeniu  wykorzystujemy  gotowy  zestaw  rurek  Pluckera.  Za  pomocą  spektroskopu 
pryzmatycznego oglądamy widmo emitowane przez wzbudzony elektrycznym wyładowaniem 
wodór, hel i neon. 

Jak z doświadczenia wynika, gazy jednoatomowe emitują światło, którego widmo składa 

się  z  wąskich,  barwnych,  dobrze  wyodrębnionych  linii.  Widmo  takie  nosi  nazwę  liniowego 
widma  emisyjnego.  KaŜdemu  pierwiastkowi  odpowiada  specyficzny  dla  niego, 
niepowtarzalny układ linii. Podobne widmo emitują pary rtęci oraz sodu. Obserwując widma 
poszczególnych  pierwiastków  stwierdziliśmy,  Ŝe  róŜnią  się  one  zasadniczo  między  sobą. 
KaŜdemu  pierwiastkowi,  jeŜeli  tylko  potrafimy  pobudzić  go  do  świecenia,  odpowiada 
charakterystyczne widmo. Niepowtarzalność widm pierwiastków pozwala wykorzystać je do 
analizy  jakościowej  nieznanej  substancji,  tzn.  stwierdzenia  obecności  danego  pierwiastka  w 
badanej substancji przez zbadanie jej widma. 

Analiza  widmowa,  bo  taką  nazwę  nosi  ten  typ  analizy  jakościowej,  pozwala  na 

zidentyfikowanie  bardzo  małej  ilości  danego  pierwiastka.  Czułość  metody,  której  miarą  jest 
minimalna  ilość  danego  pierwiastka  jeszcze  wykrywalnego  w  spektroskopowych  badaniach, 
zaleŜy od pierwiastka. Jedne z pierwiastków moŜna wzbudzać łatwo i wtedy czułość metody 
jest  bardzo  duŜa,  inne  są  trudne  do  wzbudzenia  i  wtedy  gwałtownie  spada  czułość  ich 
oznaczania. 

2.

 

Przebieg doświadczenia. 

W  doświadczeniu  obok  spektralnych  rurek  Pluckera  zawierających  wodór,  hel  oraz  rtęć, 

wykorzystujemy  równieŜ  lampę  sodową.  Linie  widmowe  tych  pierwiastków  będą  stanowiły 
wzorzec,  który  pozwoli  nam  wykreślić  krzywą  cechowania,  będącą  zaleŜnością  pomiędzy 
odczytem na skali połoŜenia danej linii spektralnej od jej długości 

λ

. 

 

- 77 - 

Tak  dobieramy  połoŜenie  skali  aby  zmieścił  się  na  niej  cały  zakres  światła  widzialnego, 

od  czerwieni  do  fioletu.  KaŜdej  linii  obserwowanych  w  spektroskopie  pierwiastków 
przypisujemy  połoŜenie  na  skali.  PoniewaŜ  długości  fal  linii  widma  emisyjnego  są  znane  z 
otrzymanych danych moŜemy wykreślić krzywą cechowania. Wyniki notujemy w tabeli. 

Tabela dla wodoru 

Nr 

barwa linii 

długość fali [nm] 

połoŜenie na skali 

wartość średnia 

1 

czerwona 

656,3 nm 

 

 

 

2 

niebieska 

486,1 nm 

 

 

 

3 

fioletowa 

434,0 nm 

 

 

 

 

Tabela dla helu 

Nr 

barwa linii 

długość fali [nm] 

połoŜenie na skali 

wartość średnia 

1 

czerwona 

667,8 

 

 

 

2 

Ŝółta 

587,6 

 

 

 

3 

zielona 

504,8 

 

 

 

4 

niebieska 

492,2 

 

 

 

5 

niebieska 

471,3 

 

 

 

6 

fioletowa 

447,1 

 

 

 

 

Tabela dla rtęci 

Nr 

barwa linii 

długość fali [nm] 

połoŜenie na skali 

wartość średnia 

1 

Ŝółta 

579,1 

 

 

 

2 

Ŝółta 

577,0 

 

 

 

3 

zielona 

546,1 

 

 

 

4 

niebieska 

491,6 

 

 

 

5 

fioletowa 

435,8 

 

 

 

6 

fioletowa 

407,8 

 

 

 

 

 

- 78 - 

Tabela dla sodu 

Nr 

barwa linii 

długość fali [nm] 

połoŜenie na skali 

wartość średnia 

1 

czerwona 

615, 

 

 

 

2 

Ŝółta 

589, 

 

 

 

3 

zielona 

569, 

 

 

 

4 

niebieska 

516, 

 

 

 

5 

niebieska 

498, 

 

 

 

 

Wyniki  w  postaci  kropek  o  róŜnych  kolorach  dla  róŜnych  pierwiastków  nanosimy  na 

wykres  zaleŜności  połoŜenia  na  skali  wzorcowych  linii  spektralnych

.

n

od  odpowiadających 

im  długości  fal 

λ

.  Otrzymanie  w  ten  sposób  punkty  łączymy  linią  ciągłą  za  pomocą 

„krzywki”.  Tak  otrzymana  krzywa  cechowania  pozwala  na  wyznaczenie  długości  fal 
nieznanych  pierwiastków,  które  występuje  np.  w  widmie  energooszczędnych  lamp 
oświetleniowych. 

W tym ćwiczeniu nie przeprowadzamy dyskusji błędu.