MONIKA
PYTANIA MNwGI
1. Równanie (lub procedura czy też algorytm) opisujące zasadnicze cechy systemu/obiektu
fizycznego w języku matematyki to model numeryczny.
2. Wyznaczenie w zadanym przedziale wartości wielomianu, który w ustalonych punktach
nazywanych węzłami, przyjmuje z góry zadane wartości to interpolacja wielomianowa.
3. Wzór (f
k+1
– f
k-1
)/2b pozwala na numeryczne obliczenie wartości pierwszej pochodnej
dyskretnej funkcji f
k
.
4. Metoda Monte Carlo służy najczęściej do obliczania całki nieoznaczonej.
5. Równanie x
1
= a – (F(a)/F(b)-F(a))*(b-a) jest podstawą do rozwiązywania równań
nieliniowych metodą siecznych.
6. Metoda Rungego – Kutty rzędu IV to metoda interpolacyjno – ekstrapolacyjna.
7. Metoda strzałów dla równań różniczkowych zwyczajnych to metoda numerycznego
rozwiązywania zagadnienia brzegowego.
8. Wymień z nazwy numeryczne metody rozwiązywania układów równań liniowych:
a. Metoda eliminacji Gaussa
b. metoda dekompozycji LU
c. Metoda iteracyjna Jacobiego
d. Metoda nadrelaksacji SOR (succesive overrelaxation)
9. Zapisz poniższy układ równań liniowych w postaci iteracyjnej:
3x
1
+ x
2
+ x
3
= 5
2x
1
– x
2
+ x
3
= 2
x
1
– 2x
2
– 2x
3
= 1
10. Jaka jest podstawowa wada interpolacji wielomianowej? Jaki typ interpolacji pozwala
uniknąć tej wady?
Podstawową wadą interpolacji wielomianowej są silne oscylacje na krańcach przedziału.
Wady można się pozbyć stosując interpolację funkcjami sklejanymi.
11. Warunek Lipschitza mówi o tym, że ze względu na y dla każdego kończonego y
0
istnieje
dokładnie jedna funkcja y(x) ciągła i nieróżniczkowa.
12. Przybliżenie metodą Eulera jest równoważne metodzie dwupunktowej (duże błędy).
13. Metoda Eulera odpowiada metodzie Rungego – Kutty rzędu I.
MONIKA
14. Zmodyfikowana metoda Eulera zastępuje kwadratury Gaussa z jednym węzłem (zastąpienie
prostokąta, mniejszy błąd).
15. Wymień metody jawne:
a. Eulera
b. Trapezów
16. Metoda Rungego – Kutty mówi o tym, że funkcja jest średnią ważoną przybliżeń pierwszej
pochodnej funkcji w pewnych punktach. Najczęściej stosowana jest IV rzędu. Błąd 0 (h
3
).
Należy do metod samostartujących (wolnych).
17. We wzorach niejawnych po obu stronach równości występują wyrazu w węźle i+1. Są
dokładniejsze i stabilne, mają mały błąd statystyczny.
18. Wzór Adamusa – Moltorza stosuje się dla wielomianów stopnia 1 – 4.
19. Metoda predyktor – korektor to etap predykcji (wzór ekstrapolacyjny), etap korekcji (wzór
interpolacyjny).
20. Metoda strzałów jest stosowana dla równań liniowych oraz jako zagadnienie brzegowe dla
równań różniczkowych, zwyczajnych.
21. Do zagadnienia nieliniowego można wykorzystać metodę siecznych, metodę stycznych
Newtona.
22. Metoda różnic skończonych przyjmuje, że punkty są równoodległe a wartości przybliżone.
23. Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych dotyczy równań różniczkowych
cząstkowych rzędu II. Zależą od 2 zmiennych.
24. Warunek Dirchleta mówi, że warunki brzegowe nakładane są bezpośrednio na poszukiwaną
funkcję.
25. Wzór Neumana stosuje się na pochodną normalną do granicy analizowanego obszaru.
26. wzory mieszane dzielą się na kombinacje funkcji i jej pochodnej normalnej.
27. Równanie przewodnictwa cieplnego jest równaniem parabolicznym. Metoda jest stabilna
jeżeli błąd w n-tym kroku nie jest większy od początkowego.
28. Promień spektralny macierzy to maksymalna wartość własna macierzy, która jest mniejsza
od 1.
29. Metoda Cranka – Nikolsona łączy metodę jawną i niejawną.
30. Równanie Pissona to równanie eliptyczne, nie ma zmiennej czasowej, są tylko warunki
brzegowe.
31. Układ równań może być rozwiązany metodami jawnymi jeżeli rząd macierzy nie jest zbyt
wielki (<100).
32. Metoda SOR to metoda nadrelaksacyjna (iteracyjna).
33. Kwadratury Newtona Cotesa to całkowanie funkcji jednej zmiennej.
34. Całkowanie funkcji może odbyć się metodą prostokątów, trapezów, Monte Carlo, wzorów
Simpsona i Cotesa.
35. Podstawowy mankament interpolacji wielomianowej to silne oscylacje na krańcach
przedziału.
36. Splajny to bazowe funkcje sklejane.
37. Wymień rodzaje aproksymacji:
a. Interpolacyjna
b. Jednostajna
c. Średniokwadratowa
MONIKA
38. Wymień podstawowe funkcje bazowej używane w aproksymacji:
a. Jednomiany
b. Wielomiany Czebyszewa i Lagendre’a
c. Funkcje trygonometryczne
39. Liniowa aproksymacja średniokwadratowa metodą najmniejszych kwadratów polega na
liczeniu pochodnych cząstkowych i przyrównywaniu do 0.
40. Aproksymacja max wielomianami 3-go stopnia lub powierzchniami 2-go stopnia.
41. Metoda eliminacji Gaussa to sprowadzenie macierzy rzędu IV do postaci macierzy trójkątnej
górnej. Stabilność rozwiązania to zgodność wyników analitycznych z numerycznymi
(metoda niejawna).
42. Wzory interpolacyjne Newtona – jeśli węzły interpolacji są do siebie równoległe.
43. metoda bisekcji to metoda podziału i wolnozbieżna.
44. Równania nieliniowe: metoda siecznych, metoda bisekcji, metoda stycznych (Newtona).
45. Równanie falowe to równanie hiperboliczne.
46. Zmienne zależne opisują zachowanie systemu dynamicznego.
47. Zmienne niezależne dla nich jest określane zachowanie układu.
48. Nietrafna estymacja to istnienie stałego obciążenia w obliczeniach i pomiarze.
49. Nieprecyzyjna estymacja występuje, kiedy wyniki posiadają duży względny rozrzut.
50. Liczby całkowite są reprezentowane w postaci stałopozycyjnej.
51. Liczby wymierne i rzeczywiste są reprezentowane w postaci zmiennoprzecinkowej.
52. Na mantysę jest 26 miejsc po przecinku, 8 bitów na cechę.
53. Algorytmy wielomianowe reagują na zwiększanie ilości danych.
54. Algorytmy wykładnicze (nieefektywne) działają jak funkcja wykładnicza.
55. Metoda Jacobiego polega na rozkładaniu macierzy A na sumę macierzy na diagonalnej i
zero diagonalnej. Lepsza do obliczeń równoległych i wektorowych.
56. Macierz rzadka ma wiele zerowych współczynników.
Model matematyczny – to równanie (lub procedura czy też algorytm) opisująca zasadnicze cechy
systemu/obiektu fizycznego w języku matematyki.
Model może reprezentować funkcjonalny związek pomiędzy zmiennymi zależnymi (wielkościami,
których zachowanie chcemy wymodelować) a zmiennymi niezależnymi (np. czasem) parametrami
modelu i siłami(funkcjami) wymuszającymi.
Zmienne zależne = f niezależne Zmienne , parametry , Siły sterujące i wymuszające
Zmienne zależne – zmienne opisujące zachowanie się systemu dynamicznego, np. prędkość.
Zmienne niezależne – zmienne dla których określane jest zachowanie układu – np. czas lub położenie
przestrzeni, np. czas.
Parametry – stałe (np. wartość przyspieszenia grawitacyjnego, gęstość i porowatość określonego
materiału: masa, współczynnik oporu powietrza).
Siły sterujące/wymuszające – opisujące zewnętrzne czynniki wpływające na system dynamiczny (np.
siły tarcia, opory powietrza itp.).
Metoda wyznacznikowa to metoda Sarrusa, służy do rozwiązywania układu równań liniowych. Jest
niepraktyczna, bo wymaga dużej liczby działań.
Metoda Cramera to metoda pracochłonna, w której wylicza się (n+1) wyznaczników. Nie stosuje się
jej dla n>4.
MONIKA
Metoda eliminacji Gaussa – polega na sprowadzeniu macierzy rzędu N do postaci macierzy
trójkątnej górnej.
Równoważność układów liniowych – dwa układy są równoważne jeśli mają te same rozwiązania.
Operacje elementarne przekształcające układ równań w układ mu równoważny:
a. Przestawienie dwóch równań w układzie
b. Pomnożenie obu stron równania przez liczbę różną od 0
c. Dodanie stronami do równania wielokrotności innego równania
MONIKA
Iteracja to proces prowadzący do znalezienia rozwiązania zagadnienia metodą kolejnych przybliżeń.
Metoda Jacobiego to rozkład macierzy A na sumę macierzy diagonalnej D i zerodiagonalnej R. Nadaje
się ona do obliczeń równoległych lub wektorowych, gdyż nowe przybliżenia składowych wektora
rozwiązań są wykorzystywane dopiero w kolejnej iteracji i można je obliczać równocześnie.
Poprawne rozwiązanie układu równań metodą iteracyjną jest otrzymywane, gdy największa co do
modułu wartość własna macierzy A jest mniejsza od jedności.
Interpolacja Newtona – jej wzory mogą być stosowane jeżeli węzły interpolacji są do siebie
równoodległe.
Interpolacja funkcjami sklejanymi = splain, funkcja gięta.
Funkcje gięte łączą interpolację i aproksymację, mają naturalny przebieg (małe oscylacje), w każdym
przedziale funkcja interpolująca jest wielomianem 3-go rzędu – oznacza to małe zmiany w przebiegu.
Mankament interpolacji wielomianowej – silne oscylacje na krańcach przedziału.
Interpolacja – łączenie punktów pomiarowych funkcją przechodzącą przez wszystkie punkty.
Aproksymacja – opisuje trend zmian.
Ekstrapolacja – wyprzedzanie wyników, funkcja zmian w przyszłości.
Twierdzenie Weierstrassa mówi, że dla dowolnej funkcji f(x) można znaleźć wielomian o dowolnie
małym odchyleniu maksymalnym od tej funkcji.
Kryteria doboru funkcji aproksymującej są związane z doborem przebiegu funkcji F(x) związanej z
odchyłkami wektora e. Kryterium jest wybierane spośród norm wektora e (tj. jego długości). Długość
wektora zależy od składowych x, y, z.
Podstawowe funkcje bazowe używane w aproksymacji to:
- jednomiany
- wielomiany Czebyszewa
- wielomiany Legendre’a
- funkcje trygonometryczne.
Druga pochodna opisuje przepływ wody, ciepła.
Całka oznaczona – liczba
Całka nieoznaczona – rodzina funkcji.
Wynikiem metody prostokątów jest suma powierzchni pól prostokątów pod funkcją.
Metoda trapezów oparta jest na wielomianie.
Równania nieliniowe można rozwiązać za pomocą:
Metody bisekcji (podziału)
Metody siecznych (cięciw)
Metody stycznych (Newtona)
MONIKA
Rozwiązaniem równania różniczkowego jest rodzina funkcji.
Warunek początkowy to warunek spełniony dla t
0
.
Wzór Taylora – służy do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.
Inne: algorytm Eulera, zmodyfikowana metoda Eulera, metoda trapezów (Heuna), wzory
Rungego – Kutty, metody interpolacyjno – ekstrapolacyjne, wzory Adamsa-Bashfortha,
metoda predyktor - korektor.
Metody Rungego – Kutty należą do metod samostartujących, to znaczy pozwalają przeprowadzić
obliczenia bez uprzedniego włączenia do schematu obliczeń innych metod. Są często lepsze pod
względem dokładności od innych metod, lecz wolno prowadzą to związania.
Metoda predyktor – korektor – wzory niejawne (interpolacyjne) w porównaniu z wzorami jawnymi
(ekstrapolacyjnymi) mają wyższy rząd dokładności i znacznie większy przedział stabilności absolutnej
oraz charakteryzują się mniejszą wartością stałej błędu.
Metoda strzałów – służy do rozwiązania zagadnienia brzegowego; można ją interpretować
geometrycznie.
Inne: metoda różnic skończonych (pochodne funkcji f zastąpione są wyrażeniami
przybliżonymi).
Równanie falowe – to równanie jednej zmiennej. To równanie hiperboliczne.
Równanie Poissona – to równanie eliptyczne, zawiera 2 zmienne przestrzenne x, y; nie zawiera
pochodnej po czasie; opisuje rozkład naprężeń w ośrodku skalnym.