Permutacja:
wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego
zbioru na siebie.
Permutacja z powtórzeniami:
Permutacje bez powtórz:
!
Kombinacje:
!
!
!
Rozmieszczeniem n elementów po k elementów
nazywamy zbiór składający się z k elementów
wybranych spośród n elementów i rozmieszczonych
w określonym porządku.
A
( − )( − ) …( − − )
Rozmieszczenia z powtórzeniami:
Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom
elementarnym liczby.
Dystrybuanta – funkcja rzeczywista jednoznacznie
wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa ,a więc
zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie
Funkcja beta (Całka Eulera pierwszego rodzaju) —
jedna z funkcji specjalnych zdefiniowana jako
Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) — jedna
z funkcji specjalnych, która rozszerza pojęcie silni na
zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część
rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to
całka (całka Eulera):
Twierdzenie INTEGRALNE Laplace’a:
Jeżeli:
k - liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego
p - prawdopodobieństwo sukcesu w schemacie
Bernoulliego
q - prawdopodobieństwo porażki w schemacie
Bernoulliego
n - liczba prób
to:
Twierdzenie LOKALNE Laplace’a:
Jeżeli:
k - liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego
p - prawdopodobieństwo sukcesu w schemacie
Bernoulliego
q - prawdopodobieństwo porażki w schemacie
Bernoulliego
n - liczba prób
To:
Twierdzenie o rach. Prawd:
Twierdzenia o rachunku prawd.
TW.1
Niech
oraz
będą niezależnymi
zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych,
odpowiednio
oraz
Wtedy:
oraz:
T
WIERDZENIE
[L
INDEBERGA
-L
EVY
'
EGO
]
Dla każdego
zachodzi równość:
gdzie
jest dystrybuantą
rozkładu
.
T
WIERDZENIE GRANICZNE DLA SUM
:
Rozkład zmiennej losowej
jest asymptotycznie
równy rozkładowi
.
Inaczej:
T
WIERDZENIE GRANICZNE DLA ŚREDNICH
:
Rozkład zmiennej losowej
jest asymptotycznie
równy rozkładowi.
Inaczej:
T
WIERDZENIE
[
DE
M
OIVRE
'
A
-L
APLACE
'
A
]
Niech
będzie
ciągiem niezależnych prób Bernoulliego, z takim
samym prawdopodobieństwem sukcesu
i
porażki
w każdej próbie (
). Wtedy:
Twierdzenia Graniczne!
TW1
(Nierówność Markowa)
Jeżeli X jest zmienna, losowa, o wartościach
nieujemnych wtedy dla dowolnego a > 0
TW.2
(Nierówność Czebyszewa)
Jeżeli X jest zmienna, losowa, o skończonej wartości
oczekiwanej ¹ i wariancji ¾2, wtedy dla dowolnego
k >
0:
TW.3
Jeżeli V ar[X] = 0, to P(X = E[X]) = 1.
TW.4
Twierdzenie (Słabe prawo wielkich liczb)
Niech X1;X2; : : : ; będzie ciągiem niezależnych
zmiennych losowych o tym samym rozkładzie
prawdopodobieństwa, o skończonej wartości
oczekiwanej E[Xi]. Wtedy :
TW.5 (Centralne Tw. Graniczne):
Niech X1;X2… będzie cięgiem niezależnych
zmiennych losowych o tym samym rozkładzie i
skończonej wartości
oczekiwanej E[Xi] oraz skończonej wariancji V
ar[Xi] . Wtedy rozkład zmiennej losowej:
dąży do rozkładu normalnego standaryzowanego
gdy
n→∞
Zmienną losową można traktować jako pewną
funkcję określoną na przestrzeni próby związanej z
eksperymentem. Przyporządkowanie
prawdopodobieństw różnym możliwym wartością
zmiennej losowej, czyli „probabilistyczne prawo
rządzące zmienną losową „ nazywamy rozkładem
prawdopodobieństwa zmiennej losowej.
Zmienna losowa jest skokowa ( dyskretna ), gdy
może przyjmować wartości ze zbioru najwyżej
przeliczalnego.
0
)
(
≥
X
P
dla wszystkich wartości x
∑
=
wszystkiex
X
P
1
)
(
Zmienna losowa ciągła może przyjmować wartości
z dowolnego przedziału liczbowego. Możliwe
wartości takiej zmiennej tworzą zbiór
nieprzeliczalnie nieskończony.
Skumulowaną funkcją rozkładu ( dystrybuantą )
skokowej zmiennej losowej X jest funkcja
Oczekiwana wartość skokowej zmiennej losowej X
jest równa sumie wszystkich możliwych wartości tej
zmiennej mnożonych przez ich
prawdopodobieństwa
Wariancja zmiennej losowej jest to oczekiwana
wartość kwadratu odchylenia tej zmiennej od jej
średniej . Pojęcie to jest podobne do pojęcia
wariancji w zbiorze wyników obserwacji ( w próbie
lub populacji ) .
Wariancją skokowej zmiennej losowej X jest
:
Wartość oczekiwana zmiennej losowej ciągłej
wyraża się następującym wzorem :
∫
+∞
∞
−
=
=
dx
x
xf
x
E
)
(
)
(
µ
Odchylenie standardowe zmiennej losowej ciągłej
dane jest wzorem :
Przedział ufności dla wariancji i odchylenia
standardowego:
Przedział ufności dla wariancji
2
δ
w populacji
generalnej można wyznaczyć , gdy cecha X
charakteryzująca zbiorowość ma rozkład
)
,
(
δ
µ
N
, przy czym parametry
δ
µ
,
są
nieznane. Na podstawie próby losowej pochodzącej
z tej populacji budujemy przedział ufności dla
nieznanej wariancji
2
δ
, przyjmując
współczynnik
ufności
1-
α
.
Estymatorem parametru
2
δ
jest
∑
≤
=
≤
=
x
i
i
P
x
X
P
x
F
)
(
)
(
∑
=
=
wszystkiex
x
xP
X
E
)
(
)
(
µ
( )
)
(
]
)
[(
)
(
2
2
2
x
P
x
X
E
X
V
wszystkiex
∑
−
=
−
=
=
µ
µ
δ
)
(
)
(
2
x
D
x
D
=
