Zjawiska interferencji w
mechanice kwantowej
Tadeusz Paszkiewicz,
Sławomir Wolski
Katedra Fizyki
Politechniki Rzeszowskiej
Zjawiska interferencji w
mechanice kwantowej
Tadeusz Paszkiewicz,
Sławomir Wolski
Katedra Fizyki
Politechniki Rzeszowskiej
Podręcznik Feynmana
Feynmana wykłady z fizyki. T. 3,
Mechanika kwantowa, Richard P.
Feynman, Robert B. Leighton,
Matthew Sands, Wydawnictwo
naukowe PWN, cena 55,50 zł
Richard P. Feynman
Richard Feynman 1918-1988
Epitafium napisane przez
Juliana Schwingera
(Richard Feynman) „Uczciwy człowiek,
najwybitniejszy intuicjonista naszych
czasów, najlepszy przykład tego, co czeka
ludzi gotowych iść w takt innego bębna”
Trzy rodzaje doświadczeń typu
two-slits
Górny rysunek: wynik
doświadczenia z cząstkami
klasycznymi.
Ś
rodkowy rysunek:
interferencja fal.
Dolny rysunek: doświadczenie
z mikrocząstkami.
(Rysunek z pracy Feynmana z
Review of Modern Physics
t. 20, str.367, 1948)
Two-slit experiments
Doświadczenie z dwoma szczelinami (i jego różne warianty)
stały się klasycznym
Gedankenexperiment
(doświadczeniem
myślowym). Powodem było przejrzyste przedstawienie
podstawowej zagadki fizyki kwantowej. Rzeczywiste
doświadczenie tego typu zostało wykonane dopiero w
1961
(Claus Joensson University of Tübingen, Zeitschrift für Physik
161, 454; C Joensson 1974 Electron diffraction at multiple slits
American Journal of Physics 42 4-11). Dopiero w
1974
udało
się je przeprowadzić w laboratorium Uniwersytetu w
Mediolanie (grupa kierowana przez Pier Giorgio Merli, of
LAMEL-CNR Bolonia) tak, aby pomiędzy przesłoną ze
szczelinami i ekranem zawsze znajdował się co najwyżej jeden
elektron.
Two-slit experiments
Wyniki doświadczeń przeprowadzonych w zostały opublikowane, a
nawet powstał krótki film, lecz nie wywołały większego
zainteresowania. Doświadczenie to zostało powtórzone w
1989
r.
przez Tonomurę i współpracowników z Hitachi w Japonii. Ich
wyposażenie było lepsze, co związane było z postępem
technicznym, który miał miejsce w ciągu 15 lat, które upłynęły od
1974 r. i staraniami zespołu z Hitachi .Wyniki późniejszego
eksperymentu potwierdziły rezultaty wcześniejszego.
We wrześniu 2002 r. czytelnicy Physics World uznali
doświadczenie Clausa Joenssona (nowoczesna wersję
doświadczenia Younga z 1805 r.) za najpiękniejsze doświadczenie.
Doświadczenie Younga – interferencja
ś
wiatła przeprowadzone przez Clausa
Joenssona. (źródło
Wikipedia Image)
Thomas Young
Thomas Young (ur. W Milverton,
Somerset, Anglia, 13 czerwca,
1773, zm. Londyn, 10 maja, 1829).
Zasłynął z badań nad światłem i
widzeniem. Nadał prawu Hooka
jakościową postać wprowadzając
moduł Younga. Badał soczewki,
interferencję i dyfrakcję światła.
Zauważył, że światło jest falą
poprzeczną. Zajmował się też
odczytywaniem hieroglifów
egipskich.
Wyniki doświadczeń Sterna i
Estermana (1930)
Stern i Esterman rozpraszali cząstki H
2
na powierzchni
kryształu LiF.
Współczesne doświadczenie z
interferencją na dwóch szczelinach
Hitachi experiment:
Electrons are emitted one by one from the source in the electron
microscope. They pass through a device called the "electron
biprism", which consists of two parallel plates and a fine filament
at the center. The filament is thinner than 1 micron (1/1000 mm)
in diameter. Electrons having passed through on both sides of the
filament are detected one by one as particles at the detector. This
detector was specially modified for electrons from the photon
detector produced by Hamamatsu Photonics (PIAS). To our
surprise, it could detect even a single electron with almost 100 %
detection efficiency.
Filament – żarnik, włókno
Schemat doświadczenia Hitachi
Wyniki doświadczenia Hitachi
Film Hitachi – tworzenie obrazu
interferencyjnego
http://www.hitachi.com/rd/research/em/movie.html
http://www.hitachi.com/rd/research/em/doubleslit.html
Doświadczenie Feynmana
Doświadczenie Feynmana z cząstkami
mikroskopowymi
przechodzącymi przez dwie szczeliny. Strumień cząstek
jest stacjonarny, tj. nie zmienia się z upływem czasu.
Warunki doświadczenia
1.
Otwory ułożone są symetrycznie względem
ź
ródła cząstek.
2. Cząstki wysyłane są w odstępach czasu
dłuższych niż czas reakcji detektora.
3. Pozwala to uniknąć jednoczesnego wpadania
do
detektora
więcej
niż
jednej
cząstki
i
ewentualnych efektów interferencji cząstek w
obszarze pomiędzy ekranem i przesłoną
.
4. Strumień cząstek jest stacjonarny, tj. nie zmienia
się z upływem czasu.
Zasłonięta prawa szczelina
Gdy odsłonięty jest tylko jeden otwór, zależność n(x)
przypomina dobrze znany wynik – krzywą Gaussa z
maksimum przesuniętym w stronę tego otworu.
1
2
S
D
x
Zasłonięta lewa szczelina
Nie ma niespodzianek – w wyniku wielokrotnego
strzelania do tarczy otrzymuje się krzywą Gaussa
przesuniętą w stronę szczeliny nr 2.
1
2
S
D
x
Odsłonięte obie szczeliny
W przypadku doświadczenia z cząstkami mikroskopo-
wymi dwie szczeliny działają jak siatka dyfrakcyjna.
1
2
S
D
x
Klasyczne i kwantowe
zachowanie się cząstek
Cząstki klasyczne: gdy odsłonięte są obydwa otwory, to wynik
wielu serii strzelania przedstawia krzywa
czerwona
. Krzywa
niebieska
- wynik dla mikrocząstek
0
-5
0
5
Ważna obserwacja
Nigdy nie zaobserwowano części elektronu (tj.
ładunku mniejszego od e). Zatem elektron przechodzi
albo przez szczelinę nr. 1, albo przez szczelinę nr 2.
Są to dwa wykluczające się zdarzenia.
Skoro elektron nie zostaje „rozmazany”, to
jedynym sposobem wyjaśnienia wyników doświad-
czenia jest wprowadzenie
prawdopodobieństwa
trafienia elektronu w małe otoczenie punktu x.
Zasadnicze obiekty
mechaniki kwantowej
W mechanice kwantowej najważniejsze
są
amplitudy
zdarzeń
(procesów
kwantowych). Prawdopodobieństwo jest
obiektem wtórnym. Należy nauczyć się
operować amplitudami i je wyznaczać.
Prawdopodobieństwo P(A) zajścia zdarzenia A
równe jest kwadratowi modułu amplitudy
φ
(A).
Podstawowa zasada
mechaniki kwantowej
Mechanika kwantowa podaje metody znajdowania
amplitud dla różnych procesów kwantowych.
Związane są one z funkcją falową.
( )
2
P A
(A) .
= φ
Doświadczenie dla obydwu
otwartych szczelin
Zapiszemy amplitudę zdarzenia A
xS
cząstka
wychodzi ze źródła S i trafia do detektora
W jaki sposób można zrealizować to zdarzenie?
xS
cząstka przybywa do x cząstka wychodzi z S .
φ =
Przejście elektronów przez
dwie szczeliny
Elektron przechodzi albo przez otwór nr 1, albo otwór
nr 2.
1
2
S
D
x
(2)
xS
A
(1)
xS
A
Zdarzenie polegające na tym, że elektron, który
wyszedł ze źródła trafia do detektora w punkcie x
można zrealizować na dwa wykluczające się sposoby:
Zdarzenie
: Elektron wychodzi ze źródła i trafia do
punktu x ekranu przez szczelinę nr 1. Przypiszemy mu
amplitudę:
.
Zdarzenie
: Elektron wychodzi ze źródła trafia do
punktu
x
przez
szczelinę
2.
Przypiszemy
mu
amplitudę:
.
W jaki sposób można zrealizować
zdarzenie przejścia przez szczeliny?
( )
(1)
(1)
xS
xS
A
φ = φ
( )
( 2)
(2)
xS
xS
A
φ = φ
(1)
xS
A
(2)
xS
A
Prawo klasycznego rachunku
prawdopodobieństwa
Dla dwóch
wykluczających
się zdarzeń
prawdopodobieństwo jest równe:
P(A albo B)
P(A)
P(B).
=
+
Uogólnienie: Prawdopodobieństwo zajścia któregokolwiek
(wszystko jedno którego) ze zdarzeń
równa się sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, jeżeli
każde dwa spośród nich wyłączają się wzajemnie:
1
2
n
A , A ,..., A
(
)
1
2
n
1
2
n
P A albo A albo ... albo A
P(A ) P(A ) ... P(A ).
=
+
+ +
Prawo rachunku
prawdopodobieństwa dla amplitud
W przypadku naszego doświadczenia
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
xS
xS
xS
xS
xS
xS
xS
(A
albo A
)
(A )
(A
)
.
φ ≡ φ
= φ
+ φ
= φ + φ
Możemy już podać wyrażenie dla prawdopodobieństwa
rejestracji elektronu w punkcie x ekranu, dla otwartych
obydwu szczelin
2
(1)
(2)
xS
xS
xS
P
.
= φ + φ
Je
ż
eli uda si
ę
amplitudom przypisa
ć
liczby zespolone, to
mo
ż
emy oczekiwa
ć
,
ż
e uda si
ę
nam opisa
ć
zjawiska
interferencji fotonów, elektronów, itd.
Jak realizowane jest zdarzenie A
(1)
xS
?
Aby dotrzeć do detektora przez otwór nr 1 cząstka musi wyjść ze
ź
ródła, dojść do otworu nr 1
i
będąc w otoczeniu otworu nr 1 dojść
do detektora znajdującego się w punkcie x.
1
2
S
D
x
Klasyczne prawo mnożenia
prawdopodobieństw
W przypadku klasycznym prawdopodobieństwo P(A i B)
zdarzenia A i B równe jest
P(A i B)
P(A)P(B | A)
P(B)P(A | B) .
=
=
Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne to P(A|B)=P(A), wtedy
P(A i B)
P(A)P(B).
=
P(A|B) jest prawdopodobieństwem zdarzenia losowego A pod
warunkiem wystąpienia zdarzenia losowego B.
Jeżeli P(A|B)
≠
P(A) to zdarzenia A i B są skorelowane.
Modyfikacja klasycznego prawa
mnożenia prawdopodobieństw
dla zdarzeń niezależnych
Przeniesiemy regułę
na grunt mechaniki kwantowej:
(
) (
) ( )
(
) ( )
x1
1S
x1
1S
1S
1S
x1
x1
x1
1S
A
i A
A | A
A
A | A
A
(A ) (A )
x 1 1 S .
φ
= φ
φ
=
= φ
φ
= φ
φ
=
(
)
(2)
xS
x 2
2S
x 2
2S
A
i A
(A ) (A )
x 2 2 S .
φ = φ
= φ
φ
=
Podobnie, w przypadku dla drugiej szczeliny możemy zapisać
P(A i B)
P(A)P(B)
=
Wyrażenie dla całkowitej
amplitudy
Moglibyśmy zrobić w przesłonie więcej (np. n)
otworów, wtedy przy wszystkich otworach odsłoniętych
możemy napisać:
xS
x 2 2 S
x 1 1 S .
φ =
+
n
xs
i 1
x 1 1 S
x 2 2 S
...
x n n S
x i i S .
=
φ =
+
+ +
=
∑
Uogólnienie prawa mnożenia
klasycznych prawdopodobieństw
zdarzeń niezależnych
Niech A, B i C oznaczają trzy zdarzenia niezależne,
wtedy
P(A i B i C)
P(A i B)P(C)
P(A)P(B)P(C).
=
=
W ogólnym przypadku, gdy mamy do czynienia z n
zdarzeniami niezależnymi
(
)
( )
1
2
n
i
n
i 1
P A i A i ...i A
P A
.
=
=
∏
Prawo mnożenia prawdopodobieństw
niezależnych na gruncie mechaniki
kwantowej
Uwzględniając wszystkie możliwe realizacje zdarzenia A
xS
1
2
S
D
x
a
b
c
( )
(
) ( ) ( ) ( )
(1)
xS
1S
b1
xb
xb
b1
1S
A
A
i A
i A
A
A
A
x b b 1 1 S .
φ
= φ
= φ
φ
φ
=
( )
xS
2
c
i 1 j a
A
x j j i i S .
= =
φ
=
∑∑
Dla zaznaczonego zdarzenia:
Mechanika klasyczna wynika
z kwantowej
Jeżeli prawdopodobieństwo dojścia cząstki od punktu, w
którym znajduje się źródło S, do dowolnego punktu x ekranu
po
pewnej
trajektorii
będzie
znacznie
większe
od
prawdopodobieństwa
ruchu
po
wszystkich
innych
trajektoriach, to będziemy mieli mamy do czynienia z sytuacją
bardzo
podobną
do
klasycznego
opisu
ruchu
cząstki
swobodnej.
Prawdopodobieństwa te muszą zależeć od masy cząstek, gdyż
obserwujemy zjawisko interferencji w przypadku neutronów,
ale nie obserwujemy interferencji np. piłek tenisowych.
Nieskończenie wiele przesłon
z nieskończenie wieloma otworami
Gdy liczba przesłon rośnie bez ograniczeń i gdy liczba
otworów w każdej z nich rośnie nieograniczenie, to
będziemy mogli uwzględnić wszystkie możliwe drogi
(trajektorie), po których cząstka może dotrzeć od
ź
ródła S do punktu x ekranu.
S
x
D
l
Sformułowanie mechaniki
kwantowej podane przez Feynmana
Z kontinuum trajektorii, łączących punkt S z punktem x,
przesłony z otworami wybierają niewielki podzbiór.
Gdy nie ma przesłon w każdym z doświadczeń cząstka
„wybiera” którąś z tych trajektorii. Z każdym z
wyborów związana jest odpowiednia amplituda, a więc
i odpowiednie prawdopodobieństwo. Cząstka klasyczna
wybiera klasyczną trajektorię. Prawdopodobieństwo
wybrania przez nią trajektorii nieklasycznej jest
znikomo małe.
Metoda całek po trajektoriach
Na podstawie podobnych rozważań, w późnych latach
40
ubiegłego
wieku,
R.
Feynman
podał
nowe
sformułowanie mechaniki kwantowej:
metodę całek po
trajektoriach
Quantum Mechanics and Path Integrals.
Którą drogę wybierze cząstka?
Rozpraszamy fotony na elektronach.
Długość fali światła musi być znacznie mniejsza od odległości
pomiędzy szczelinami. W przeciwnym przypadku nie będziemy w
stanie ustalić w pobliżu której ze szczelin foton został rozpro-
szony.
1
2
S
D
x
L
D
1
D
2
Amplitudy rozproszenia fotonu
przez elektrony
Oznaczymy amplitudę prawdopodobieństwa rozproszenia
fotonu przez elektron znajdujący się w pobliżu szczeliny nr 1 do
detektora D
1
przez a. Podobnie oznaczymy amplitudę
prawdopodobieństwa rozproszenia fotonu przez elektron
znajdujący się w pobliżu szczeliny nr 2 do detektora D
2
przez a.
Natomiast amplitudę prawdopodobieństwa rozproszenia fotonu
przez elektron znajdujący się w pobliżu szczeliny nr 1 (nr 2) do
detektora D
2
(D
1
) oznaczymy przez b.
Którą drogę wybierze cząstka?
Amplituda zdarzenia polegającego na tym, że elektron wychodzi ze źródła
S, przechodzi przez szczelinę 1 i trafia do detektora w punkcie x oraz
rozprasza foton w kierunku detektora D
1
równa jest
(1)
xS
x 1 a 1 S
a
.
= φ
1
2
S
D
x
L
D
1
D
2
Którą drogę wybierze cząstka?
Ze względu na symetryczną konstrukcję „aparatury” amplituda zdarzenia
polegającego na tym, że elektron wychodzi ze źródła S, przechodzi przez
szczelinę 2 i trafia do detektora w punkcie x oraz rozprasza foton w
kierunku detektora D
2
równa jest
(2)
xS
x 2 a 2 S
a
.
= φ
1
2
S
D
x
L
D
1
D
2
Którą drogę wybierze cząstka?
Amplitudy zdarzeń polegających na tym, że elektron wychodzi ze
ź
ródła S, przechodzi przez szczelinę nr 1 (nr 2) i trafia do detektora
w punkcie x oraz rozprasza foton w kierunku detektora D
2
(D
1
)
równe są odpowiednio:
1
2
S
D
x
L
D
1
D
2
(1)
(2)
xS
xS
x 1 b 1 S
b
, x 2 b 2 S
b
.
= φ
= φ
Obliczenie amplitud
prawdopodobieństw
Zajmijmy się teraz amplitudą następującego zdarzenia: elektron
wychodzi z S, foton wychodzi z L
→
elektron w x, foton w D
1
:
(1)
(2)
xS
xS
1
elektron w x elektron z S
a
b
.
foton w D
foton z L
= φ + φ
(1)
(2)
xS
xS
2
elektron w x elektron z S
b
a
.
foton w D
foton z L
= φ + φ
W podobny sposób znajdziemy amplitudę drugiego zdarzenia:
elektron wychodzi z S, foton wychodzi z L
→
elektron w x, foton
w D
2
:
Wyrażenia dla
prawdopodobieństw
Znając amplitudy omawianych zdarzeń możemy
znaleźć odpowiednie prawdopodobieństwa:
2
2
(1)
(2)
xS
xS
1
elektron w x elektron z S
a
b
,
foton w D
foton z L
= φ + φ
2
2
(1)
(2)
xS
xS
2
elektron w x elektron z S
b
a
.
foton w D
foton z L
= φ + φ
Aparatura doskonale selektywna
Dla doskonale selektywnego urządzenia: a
≠
0, b=0
2
2
2
2
(1)
(1)
xS
xS
1
elektron w x elektron z S
a
a
,
foton w D
foton z L
= φ
=
φ
Można ustalić
, którą z dwóch dróg „wybrał” elektron.
Efekty interferencji są
nieobecne
. Alternatywy są
rozróżnialne
.
2
2
2
(2)
xS
2
elektron w x elektron z S
a
foton w D
foton z L
=
φ
.
Aparatura doskonale selektywna
Gdy odsłonięte są obydwa otwory to czasami
reaguje detektor D
1
, a czasami detektor D
2
.
Wiemy którą z dróg wybrał elektron. Wynikiem
doświadczenia jest
krzywa czerwona
0
-5
0
5
Aparatura zupełnie nieselektywna
Nie można
ustalić, którą z dwóch dróg „wybrał”
elektron.
Obecne
są efekty interferencji.
Alternatywy są
nierozróżnialne
.
W przypadku urządzenia zupełnie nie selektywnego
a=b, wtedy czynnik |a|
2
można wyciągnąć przed znak
modułu
2
2
2
(1)
(2)
xS
xS
1
elektron w x elektron z S
a
.
foton w D
foton z L
=
φ + φ
I zasada mechaniki kwantowej
Przyjmijmy, że przejście ze stanu i do stanu f może odbyć się
na s
nierozróżnialnych
sposobów. Amplituda przejścia jest
równa sumie amplitud 〈 i | f 〉
j
(j=1,2,...,s), odpowiadających
różnym sposobom przejścia i
→
f .
1
,
s
j
j
f i
f i
=
=
∑
1
2
s
i
f
II zasada mechaniki kwantowej
Jeżeli przejście i
→
f (| i 〉
→
| f 〉) odbywa się przez stan pośredni
ν
, o wektorze stanu | ν 〉, to amplituda prawdopodobieństwa 〈 f | i 〉
jest równa iloczynowi amplitud 〈 f | ν 〉, 〈 ν | i 〉
f
i
ν
,
f i
f v v i
=
III zasada mechaniki kwantowej
Załóżmy,
ż
e
mamy
do
czynienia
z
dwoma
obiektami
mikroskopowymi. Niech pierwszy z nich ulega przejściu i
→
f,
a drugi I
→
F . Te przejścia charakteryzują amplitudy
〈 f | i 〉
,
〈 F | I 〉
. Amplituda
〈 fF | iI 〉
przejścia układu złożonego ze
stanu i I do f F równa jest iloczynowi amplitud
〈 f | i 〉
,
〈 F | f 〉
f F i I
f i F I .
=
IV zasada mechaniki kwantowej
Układ kwantowy może znaleźć się
w jednym z j=1..s
rozróżnialnych
stanów końcowych. Wyniki doś-
wiadczeń przeprowadzonych nad
układem w s stanach końcowych
różnią się, to właśnie pozwala
odróżnić te stany.
Prawdopodobieństwo przejścia ze
stanu i do któregoś ze stanów
końcowych
jest
równe
sumie
poszczególnych
prawdopodobieństw
|〈 f | i〉
j
|
2
i
f
1
f
s
f
2
2
2
1
.
s
j
j
f i
f i
=
=
∑
Własności liczb zespolonych
2
2
2
1 2
1
2
,
z z
z
z
=
(
)(
)
2
*
2
2
,
z
zz
x iy
x iy
x
y
=
= +
−
=
+
cos
sin ,
ix
e
x i
x
=
+
( )
(
)
*
*
cos
sin
cos
sin
,
ix
ix
e
x i
x
x i
x
e
−
=
+
=
−
=
2
1 .
ix
ix
ix
e
e e
−
=
=
Matematyczny opis
doświadczenia Feynmana
Przyjmijmy, że
amplitudy
przejścia cząstki od
szczeliny nr 1 lub nr 2 do detektora
znajdującego się w punkcie x są równe:
1
ip /
1
e
x 1
,
l
l
=
ℏ
2
ip /
2
e
x 2
.
l
l
=
ℏ
l
1
- odległość od szczeliny nr 1 do detektora znajdującego się
w punkcie x,
l
2
- odległość pomiędzy szczeliną nr 2 i detektorem.
Geometria doświadczenia
1
2
S
D
x+
a
/2
-a/2
+a/2
x-
a
/2
l
l
2
l
1
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
x - a / 2
,
x + a / 2
.
l
l +
l
l +
=
=
Gdy odsłonięto jeden otwór
Gdy otwarta jest tylko jedna szczelina, np. nr 1, to
( )
1
2
2
(1)
(1)
Sx
xS
2
ip /
2
2
-2
1
1
P A
x 1 1 S
e
x 1
1 S
.
l
l
l
= φ
=
=
=
∝
=
ℏ
Nie ma interferencji!
Gdy odsłonięto drugi otwór
Gdy otwarta jest tylko druga szczelina, to
( )
2
2
2
(2)
(2)
Sx
xS
2
ip /
2
2
-2
2
2
P A
x 2 2 S
e
x 2
2 S
.
l
l
l
= φ
=
=
=
∝
=
ℏ
Nie ma interferencji!
Otwarte są obydwie szczeliny
Ze względu na symetrię wynikającą z
geometrii doświadczenia: 〈 1 | S 〉 = 〈 2 | S 〉
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
2
(1)
(2)
(1)
(2)
Sx
Sx
xS
xS
2
ip /
ip /
2
2
2
1
2
2
2
2
ip /
1
2
1
2
1
2
c
2
2
1
2
1
2
1
P
A
albo A
x 1 1 S
x 2 2 S
e
e
1 S
x 1
x 2
1 S
1
1 S
e
1
exp ik
c 1
exp ik
/
/
.
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
= φ + φ
=
+
=
=
+
=
+
=
=
+
−
=
=
+
−
ℏ
ℏ
ℏ
Matematyka. Poradnik
encyklopedyczny
Matematyka. Poradnik
encyklopedyczny, Igor N.
Bronsztejn, Konstantin A.
Siemiendiajew,
Wydawnictwo Naukowe
PWN
Matematyka. Poradnik
encyklopedyczny
Matematyka. Poradnik encyklopedyczny
Wznowienie najpopularniejszego poradnika dla uczniów i
studentów zawierającego podstawowe wiadomości z następujących
działów matematyki: matematyka elementarna, geometria
analityczna, geometria różniczkowa, analiza matematyczna,
rachunek prawdopodobieństwa, procesy stochastyczne, statystyka
matematyczna.
Książka prezentuje tablice i wykresy funkcji elementarnych oraz
tablice funkcji specjalnych. Poradnik polecany wszystkim
poszukującym zwięzłych i łatwo dostępnych wiadomości z
dziedziny matematyki.
Wydanie: dwudzieste, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2010
S
zereg dla uogólnionego dwumianu
Bronsztejn i Siemiendiajew, Matematyka Poradnik
Encyklopedyczny, str. 416:
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
2
3
1
1
2
1
1
;
2!
3!
1,
0 .
m
m m
m m
m
m
m
µ
µ
µ
µ
µ
+
+
−
±
= ±
+
±
+
≤
>
…
Tożsamości trygonometryczne:
( )
2
2
2
2
sin
cos
1; cos 2
cos
sin
.
α
α
β
β
β
+
=
=
−
Przybliżone wyrażenie dla l
2
-l
1
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x + a / 2
x - a / 2
x + a / 2
x - a / 2
1
1
1 x + a / 2
1 x - a / 2
1
1
2
2
x + a / 2
x - a / 2
2
1
2 a / 2 + a / 4
2 a / 2 - a / 4
.
2
l
l
l +
l +
l
+
+
l
l
l
+
l
l
l
l
ax
x
x
x
x
l
l
− =
−
=
=
−
− −
=
=
−
=
=
+
− +
=
≃
≃
2
1 / 2,
/ 2
1
,
.
m
x
a
l
x
l a
l
µ
=
±
=
<
<
≪
Przybliżenia
[
] [
]
1
2
2
1
2
2
1
/
1;
/
;
/
/
.
l
l
l
l
ax l
l
l
ax l
L
L
L
−
− =
=
=
≃
≃
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
2
2
/
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1 exp
/
1 exp
/
1 exp
/
1 exp
/
2 2 cos
/
2
2
1 cos 2
/ 2
sin
2
/ 2
cos
2
/ 2
4
cos
2
/ 2
sin
2
/ 2
sin
2
ip l
l
l
c
c
c
e
ipax l
ikax l
l
l
l
l
c
c
ikax l
ikax l
kax l
l
l
c
c
kax
l
kax
l
kax
l
l
l
c
kax
l
kax
l
kax
l
−
+
+
=
+
=
=
+
+
−
=
+
=
=
+
=
+
−
−
+
=
ℏ
≃
ℏ
(
)
/ 2
0.
l
≥
Przybliżenia słuszne dla
l >> a, x
gdzie
1
2
≈ ≈
l
l
l
2
1
a
x
≈
l - l
l
(
)
(
)
(
)
2
1
2
2
(1)
(2)
(1)
(2)
Sx
Sx
xS
xS
2
ip
/
2
2
1
2
1
2
2
2
2
P
A
albo A
x 1 1 S
x 2 2 S
e
c
1 S
x 1
x 2
1
2c
kax
4c
kax
1 cos
sin
0 ,
2
l
l
l
l
l
l
l
l
l
−
= φ + φ
=
+
=
+
=
+
≈
≈
+
=
≥
ℏ
2
c
1 S
.
=
Sens otrzymanego wyniku
Wzór
(
)
(
)
(1)
(2)
2
Sx
Sx
2
4c
kax
P
A
albo A
sin
2
l
l
≈
jest słuszny dla x << l, i a << l
.
Określa on
co najwyżej jedno
maksimum skon-
centrowane dookoła punktu x=0. Pobocznych maksimów
w tak prostym przybliżeniu nie otrzymamy. Kształt
maksimum określa funkcja trygonometryczna, a nie
funkcja Gaussa.
Obecność oscylującej funkcji
( )
2
sin
k ax / 2l
wzmacnia zasadność oczekiwań dotyczących obecności
efektów interferencyjnych.
Zjawiska interferencji
kwantowej innego typu
Istnieje bardzo wiele zjawisk związanych z interferencją
kwantową. Przykłady:
• Zjawisko dyfrakcji cząstek mikroskopowych
na otworach w przesłonach (przykład: M.N. Wise i T.G. Kelly,
American Journal of Physics, t. 45, No. 4, str. 384, 1974).
• Mikroskop elektronowy działa na zasadzie interferencji
kwantowej.
• Na skutek kwantowej interferencji rozpraszanie
jednakowych
cząstek na sobie bardzo się różni od klasycznego rozpraszania.
Jest ono podstawą do podziału cząstek mikroskopowych na
dwie klasy: bozonów i fermionów.
Dyfrakcja –inne zjawisko
interferencji amplitud
26.05.2011