Projektowanie Systemów Automatyki
Projektowanie Systemów Automatyki
Projektowanie Systemów Automatyki
Projektowanie Systemów Automatyki
Wykład 3
Układy automatycznej regulacji
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
Wykład 3
Wykład 3 –
– Układy automatycznej …
Układy automatycznej …
Właściwości układów ze sprzęŜeniem
Właściwości układów ze sprzęŜeniem
zwrotnym
Schemat blokowy układu regulacji
Schemat blokowy układu regulacji
Rodzaje układów sterowania
Uchyb ustalony
Metody badania stabilności
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
2
Właściwości układów ze …
Właściwości układów ze …
Układ regulacji automatycznej - układ ze
sprzęŜeniem zwrotnym, który samoczynnie (bez
udziału człowieka) zapewnia poŜądany przebieg
wybranych sygnałów charakteryzujących proces,
wybranych sygnałów charakteryzujących proces,
zwanych sygnałami regulowanymi.
Właściwości układów ze sprzęŜeniem
zwrotnym
wzrost szybkości
tłumienie zakłóceń
odporność na
zmiany
wzrost szybkości
reakcji
tłumienie zakłóceń
zmiany
parametrów
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
3
Właściwości układów ze …
Właściwości układów ze …
Parametry pracy układów regulacji
◦ Stabilność,
◦ Stabilność,
◦ Jakość pracy układu
◦ Badanie zachowania się układu automatycznego w
stanie równowagi
dr inż. Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii
Systemów
4
Wykład 3
Wykład 3 –
– Układy automatycznej …
Układy automatycznej …
Schemat blokowy układu regulacji
Właściwości układów ze
Właściwości układów ze
sprzęŜeniem zwrotnym
Schemat blokowy układu regulacji
Rodzaje układów sterowania
Uchyb ustalony
Metody badania stabilności
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
5
Schemat blokowy układu regulacji
Schemat blokowy układu regulacji
Sterowanie w układzie otwartym
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
6
Schemat blokowy układu regulacji
Schemat blokowy układu regulacji
w(t) – wartość zadana,
u(t) – sygnał sterujący (regulujący),
z(t) – zakłócenie,
y(t) – sygnał regulowany (rzeczywisty)
)
(
)
(
)
(
t
p
t
w
t
e
−
=
Prawo sterowania:
Schemat blokowy UAR
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
7
y(t) – sygnał regulowany (rzeczywisty)
p(t) – zmierzony sygnał regulowany
)
(
)
(
)
(
t
p
t
w
t
e
−
=
Schemat blokowy układu regulacji
Schemat blokowy układu regulacji
•
W(s) - transformata sygnału zadanego,
•
E(s) - transformata sygnału uchybu,
•
U
1
(s) - transformata sygnału sterującego,
•
U(s) - transformata sygnału wykonawczego,
Schemat blokowy UAR
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
8
•
U(s) - transformata sygnału wykonawczego,
•
Y (s) - transformata sygnału wyjściowego.
Schemat blokowy układu regulacji
Schemat blokowy układu regulacji
P(s) - transformata sygnału pomiarowego,
Z(s) - transformata sygnału zakłóceniowego,
G(s) - transmitancja operatorowa obiektu,
G (s) - transmitancja operatorowa regulatora,
Schemat blokowy UAR
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
9
G
R
(s) - transmitancja operatorowa regulatora,
G
p
(s) - transmitancja operatorowa członu pomiarowego.
Schemat blokowy układu regulacji
Schemat blokowy układu regulacji
Transmitancja układu otwartego
)
(
)
(
)
(
)
(
s
G
s
G
s
G
s
P
G
⋅
⋅
=
=
Schemat blokowy UAR
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
10
)
(
)
(
)
(
)
(
s
G
s
G
s
G
s
W
G
P
R
O
⋅
⋅
=
=
Schemat blokowy układu regulacji
Schemat blokowy układu regulacji
Transmitancja układu zamkniętego
)
(
)
(
)
(
)
(
s
G
s
G
s
Y
s
G
R
⋅
=
=
Schemat blokowy UAR
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
11
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
s
G
s
G
s
G
s
W
s
G
P
R
R
Z
⋅
⋅
+
=
=
Wykład 3
Wykład 3 –
– Układy automatycznej …
Układy automatycznej …
Schemat blokowy układu regulacji
Właściwości układów ze
Właściwości układów ze
sprzęŜeniem zwrotnym
Rodzaje układów sterowania
Schemat blokowy układu regulacji
Uchyb ustalony
Metody badania stabilności
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
12
Rodzaje układów regulacji
Rodzaje układów regulacji
Podstawowe kryteria klasyfikacji układów regulacji
automatycznej:
◦ Liniowość
◦ Liniowość
liniowe (opisane liniowymi równaniami algebraicznymi,
róŜniczkowymi itp.)
nieliniowe (opisane nieliniowymi równaniami
algebraicznymi, róŜniczkowymi itp.)
◦ liczba wejść i wyjść
układy o jednym wejściu i jednym wyjściu tzw. SISO
układy o jednym wejściu i jednym wyjściu tzw. SISO
(single input single output)
układy o wielu wejściach i wielu wyjściach tzw. MIMO
(multi input multi output)
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
13
Rodzaje układów regulacji
Rodzaje układów regulacji
Podstawowe kryteria klasyfikacji układów regulacji
automatycznej:
◦ charakter sygnałów
ciągłe (dynamiczne układy ciągłe są opisywane
ciągłe (dynamiczne układy ciągłe są opisywane
równaniami róŜniczkowymi zwyczajnymi lub
cząstkowymi)
dyskretne (dynamiczne układy dyskretne są opisywane
równaniami róŜnicowymi)
hybrydowe (zawierają zarówno sygnały ciągłe jak i
dyskretne np. komputer sterujący procesem ciągłym)
dyskretne np. komputer sterujący procesem ciągłym)
◦ zadania układu
◦ zdolność samoczynnego dopasowania parametrów i
charakterystyk do zmieniających się właściwości obiektu i
zakłóceń.
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
14
Rodzaje układów regulacji
Rodzaje układów regulacji
Rodzaje układów regulacji ze względu na uchyb
◦ Układy statyczne – wielkość wyjściowa zawsze
◦ Układy statyczne – wielkość wyjściowa zawsze
róŜna od wartości zadanej (stan ustalony) – błąd
statyczny.
◦ Układy astatyczne – uchyb = 0.
dr inż. Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii
Systemów
15
Rodzaje układów regulacji
Rodzaje układów regulacji -- struktura
struktura
Układ regulacji jednoobwodowy
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
16
Rodzaje układów regulacji
Rodzaje układów regulacji -- struktura
struktura
Układ regulacji kaskadowej
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
17
Rodzaje układów regulacji
Rodzaje układów regulacji -- struktura
struktura
Układ regulacji z pomiarem zakłóceń
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
18
Rodzaje układów regulacji
Rodzaje układów regulacji –
– wartość zadana
wartość zadana
regulacja stałowartościowa (stabilizacja
automatyczna)
◦ wartość zadana jest stała
utrzymanie stałej temperatury w pomieszczeniu.
utrzymanie stałej temperatury w pomieszczeniu.
regulacja programowa
◦ wartość zadana jest znaną z góry funkcją, zmienia sie
według znanego programu:
Układy z programem czasowym (np. regulacja
temperatury)
temperatury)
Układy z programem przestrzennym (np.
wykonywanie detali przez obrabiarkę CNC)
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
19
Rodzaje układów regulacji
Rodzaje układów regulacji –
– wartość zadana
wartość zadana
regulacja nadąŜna (układy nadąŜne lub
śledzące)
◦◦ wartość zadana nie jest znaną z góry funkcją czasu, ale
zaleŜy od zjawisk występujących na zewnątrz układu
śledzenie samolotu przez układ radarowy,
śledzenie obiektu przez kamerę
układ wspomagający ruch kierownicy w
samochodzie
samochodzie
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
20
Rodzaje układów regulacji
Rodzaje układów regulacji –
– sygnał sterujący
sygnał sterujący
Sterowanie automatyczne (w zaleŜności od
sposobu przygotowania sygnałów sterujących):
◦◦ Sterowanie ekstremalne – nie występuje w formie
jawnej sygnał zadany, cel – utrzymanie jednego z
sygnałów wyjściowych obiektu na wartości
maksymalnej lub minimalnej.
◦ Sterowanie adaptacyjne.
dr inż. Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii
Systemów
21
Wykład 3
Wykład 3 –
– Układy automatycznej …
Układy automatycznej …
Schemat blokowy układu regulacji
Właściwości układów ze
Właściwości układów ze
sprzęŜeniem zwrotnym
Uchyb ustalony
Schemat blokowy układu regulacji
Rodzaje układów regulacji
Metody badania stabilności
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
22
Uchyb ustalony
Uchyb ustalony
Transmitancja uchybowa
1
)
(
)
(
s
E
s
G
=
=
Schemat blokowy UAR - uchyb
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
23
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
s
G
s
G
s
G
s
W
s
G
P
R
e
⋅
⋅
+
=
=
Uchyb ustalony
Uchyb ustalony
Jakość układu sterowania określa się przez
wyznaczenie uchybu e(t) w stanie ustalonym przy
wyznaczenie uchybu e(t) w stanie ustalonym przy
znanym wymuszeniu w(t) (t
∞)
)
(
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
0
0
s
W
s
G
s
s
E
s
t
e
e
e
s
s
t
ust
⋅
⋅
=
⋅
=
=
→
→
∞
→
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
24
Wykład 3
Wykład 3 –
– Układy automatycznej …
Układy automatycznej …
Schemat blokowy układu regulacji
Właściwości układów ze
Właściwości układów ze
sprzęŜeniem zwrotnym
Uchyb ustalony
Schemat blokowy układu regulacji
Rodzaje układów regulacji
Metody badania stabilności
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
25
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności
Do celów analizy i projektowania rozróŜnia sie dwa
Do celów analizy i projektowania rozróŜnia sie dwa
pojęcia stabilności:
◦ stabilność bezwzględna (absolutna) - odnosi się do
warunków przy których układ jest stabilny lub nie
◦ stabilność względna - określa w jakim stopniu układ
jest stabilny.
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
26
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności
Stabilność asymptotyczna określana jest dla
układów z zerowym wymuszeniem, w których
odpowiedz y(t) zaleŜy tylko od warunków
początkowych.
początkowych.
Opowiedz układu y(t) moŜna zapisać w postaci:
Warunek (*) oznacza, Ŝe obszar Ig(
τ
)I w funkcji
τ
musi być skończony. Funkcja g(
τ
) jest odpowiedzią
(*)
)
(
)
(
0
∫
∞
∞
≤
≤
=
Q
d
g
t
y
τ
τ
musi być skończony. Funkcja g(
τ
) jest odpowiedzią
impulsową transmitancji G(s), której charakter
zaleŜy od połoŜenia pierwiastków równania
charakterystycznego.
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
27
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności
JeŜeli mamy transmitancję operatorową postaci:
n
m
a
s
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
b
s
G
n
n
n
n
m
m
m
m
<
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
,
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
L
L
Równanie charakterystyczne będzie miało postać:
pierwiastki równania charakterystycznego mogą
a
s
a
s
a
s
a
n
n
+
+
+
+
−
0
1
1
L
0
0
1
1
1
=
+
+
+
+
−
−
a
s
a
s
a
s
a
n
n
n
n
L
pierwiastki równania charakterystycznego mogą
być wyraŜone jako:
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
28
.
,
,
2
,
1
,
n
i
j
s
i
i
i
K
=
+
=
ω
σ
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności
Warunki stabilności układów liniowych ciągłych i
stacjonarnych.
Warunki stabilności
Wartości pierwiastków
Asymptotycznie stabilny
σ
i
< 0 dla wszystkich i, i = 1, 2, ..., n
wszystkie pierwiastki znajdują się
w lewej półpłaszczyźnie
Na granicy stabilności
σ
i
= 0 dla pewnych pojedynczych
pierwiastków oraz brak
σ
i
> 0
σ
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
29
Niestabilny
σ
i
> 0 dla pewnych pierwiastków i
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności
Kryteria Routha i Hurwitza - metody
algebraiczne, które dostarczają informacji o
stabilności absolutnej układu zamkniętego. Przy
uŜyciu kryterium Routha moŜliwe jest określenie
liczby pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.
uŜyciu kryterium Routha moŜliwe jest określenie
liczby pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.
Kryterium Nyquista - metoda geometryczna,
która określa stabilność układu zamkniętego na
podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej
układu otwartego.
Logarytmiczne kryterium Nyquista – metoda
Logarytmiczne kryterium Nyquista – metoda
geometryczna, która bazuje na logarytmicznych
charakterystykach częstotliwościowych układu
otwartego, umoŜliwia określenie zapasów
stabilności danego układu zamkniętego.
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
30
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– Kryterium
Kryterium Hurwitza
Hurwitza
warunek konieczny ale niewystarczający
◦ wszystkie współczynniki a
n
, a
n
−
1
, . . . , a
1
, a
0
równania
charakterystycznego muszą mieć ten sam znak,
n
n
−
1
1
0
charakterystycznego muszą mieć ten sam znak,
◦ Ŝadnego ze współczynników nie moŜe brakować,
warunek wystarczający - wszystkie wyznaczniki
0
)
(
0
1
1
1
=
+
+
+
+
=
−
−
a
s
a
s
a
s
a
s
M
n
n
n
n
L
warunek wystarczający - wszystkie wyznaczniki
Hurwitza:
∆
k
,k = 1, 2, . . . , n muszą być dodatnie.
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
31
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– kryterium
kryterium Hurwitza
Hurwitza
Wyznacznik Hurwitza
∆
n
jest wyznaczany w
następujący sposób:
1
0
a
a
n
n
L
−
Podwyznaczniki wyznacza sie z wyznacznika
głównego na podstawie wykreślenia kolumny i
0
2
3
0
0
0
a
a
a
n
n
n
L
L
L
L
L
L
−
−
=
∆
głównego na podstawie wykreślenia kolumny i
wiersza.
Wyznacznik główny moŜemy zapisać równieŜ jako:
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
32
1
−
∆
⋅
=
∆
n
o
n
a
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– Metoda
Metoda Routha
Routha
warunek konieczny - wszystkie współczynniki
równania charakterystycznego muszą być tego
samego znaku
samego znaku
warunek wystarczający - wszystkie pierwiastki
równania charakterystycznego znajdują sie w lewej
półpłaszczyźnie s, jeśli wszystkie elementy pierwszej
kolumny tablicy Routha mają ten sam znak. Liczba
zmian znaków w elementach pierwszej kolumny
równa jest liczbie pierwiastków w prawej
równa jest liczbie pierwiastków w prawej
półpłaszczyźnie.
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
33
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– Metoda
Metoda Routha
Routha
Tablica Routha wyznaczona jest w następujący
sposób:
6
4
2
1
−
−
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
s
s
gdzie
7
7
6
5
5
4
3
0
3
2
1
0
3
2
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
c
b
a
c
b
a
h
c
b
a
s
s
s
s
L
L
L
L
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
34
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
5
1
4
4
1
3
1
2
2
;
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– kryterium
kryterium Routha
Routha
6
−
−
n
n
a
a
1
7
1
6
−
−
−
−
−
=
n
n
n
n
a
a
a
b
5
1
3
1
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
b
b
a
a
b
b
a
a
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
35
2
6
2
5
2
4
2
3
;
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
b
c
b
b
b
c
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– kryterium
kryterium Routha
Routha
Przypadki szczególne tablicy Routha
◦ Pierwszy element w pewnym wierszu tablicy Routha
jest zerowy, lecz nie wszystkie współczynniki są
równe zero.
równe zero.
◦ Wszystkie elementy pewnego wiersza tablicy Routha
są zerowe.
Zero w pierwszej kolumnie tablicy Routha
◦ Jeśli zero pojawia sie w pierwszym elemencie wiersza,
wówczas wszystkie elementy w następnym wierszu
maja wartości równe nieskończoności - dalsze
wypełnianie tablicy Routha nie jest moŜliwe.
wypełnianie tablicy Routha nie jest moŜliwe.
◦ Rozwiązanie: zastąpienie zera w pierwszej kolumnie
przez bardzo mała liczbę dodatnią
ε
i kontynuacja
obliczeń
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
36
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– kryterium
kryterium Routha
Routha
Zerowy wiersz w tablicy Routha
◦ W drugim przypadku, kiedy wszystkie elementy w
pewnym wierszu tablicy Routha są zerowe dalsze
pewnym wierszu tablicy Routha są zerowe dalsze
wyznaczanie jest przerywane
równanie ma przynajmniej jedna parę pierwiastków
o przeciwnych znakach (rys. a),
równanie ma jedną lub więcej par pierwiastków
sprzęŜonych na osi urojonych (rys b),
sprzęŜonych na osi urojonych (rys b),
równanie ma pary pierwiastków tworzących
symetrie wokół początku układu (rys. c).
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
37
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– Kryterium
Kryterium Routha
Routha
Wiersz zerowy w tablicy Routha -
Wiersz zerowy w tablicy Routha -
przypadki
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
38
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– kryterium
kryterium Routha
Routha
W przypadku zerowego wiersza
◦ tworzy się równanie pomocnicze p(s) = 0 przez
uŜycie współczynników z wiersza znajdującego się
powyŜej wiersza zerowego
powyŜej wiersza zerowego
◦ wyznacza się pochodną równania pomocniczego
względem s:
◦ zastępuje się wiersz zerowy współczynnikami
wielomianu
0
)
(
=
ds
s
dp
0
)
(
=
s
dp
◦ kontynuuje się wypełnianie tablicy Routha
◦ interpretuje się zmianę znaków współczynników w
pierwszej kolumnie tablicy Routha w zwykły sposób
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
39
0
=
ds
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– kryterium
kryterium Routha
Routha
Przykład 3.1(praktyczne zastosowanie kryterium
Routha)
RozwaŜamy układ z jednostkowym sprzęŜeniem
zwrotnym. NaleŜy znaleźć zakres wzmocnienia K,
zwrotnym. NaleŜy znaleźć zakres wzmocnienia K,
przy którym układ ten będzie stabilny oraz jeśli to
moŜliwe, wyznaczyć wartość wzmocnienia K przy
którym układ generuje drgania o stałej amplitudzie
(posiada bieguny sprzęŜone na osi urojonej) oraz
okres tych oscylacji.
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
40
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– kryterium
kryterium Nyquista
Nyquista
Kryterium Nyquista wykorzystywane jest do
badania stabilności układów zamkniętych (ze
sprzęŜeniem zwrotnym) oraz wyznaczania nastaw
regulatorów tak aby układ był stabilny z określonym
regulatorów tak aby układ był stabilny z określonym
zapasem stabilności.
Transmitancja układu zamkniętego:
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
41
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
UP
O
R
O
R
Z
+
=
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– kryterium
kryterium Nyquista
Nyquista
JeŜeli układ otwarty jest stabilny
asymptotycznie, to układ zamknięty będzie stabilny
asymptotycznie wówczas, gdy wykres
charakterystyki amplitudowo-fazowej G
otw
(j
ω
) przy
charakterystyki amplitudowo-fazowej G
otw
(j
ω
) przy
zmianach pulsacji
ω
od 0 do ∞ nie obejmuje punktu
(
−
1, j0).
JeŜeli układ otwarty jest niestabilny i jego
transmitancja ma N
0
biegunów w prawej
transmitancja ma N
0
biegunów w prawej
półpłaszczyźnie to układ zamknięty będzie stabilny
wówczas, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-
fazowej G
otw
(j
ω
) przy zmianach pulsacji
ω
od 0 do
∞ obejmuje punktu (
−
1, j0), N
0
/2 razy.
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
42
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– kryterium
kryterium Nyquista
Nyquista
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
43
Metody badania stabilności
Metody badania stabilności –
– kryterium
kryterium Nyquista
Nyquista
Przykład 3.2
Na podstawie charakterystyki amplitudowo-
fazowej układu otwartego ocenić czy układy będą
fazowej układu otwartego ocenić czy układy będą
stabilne po zamknięciu pętli sprzęŜenia zwrotnego
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
44
Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
45