PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
5 Wykład
Dr Wojciech J. Krzysztofik
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
5 Wykład
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
2
2.7. MODULACJA IMPULSOWA
•
W przypadku modulacji impulsowej fala nośnia nie ma charakteru
ciągłego, jak w dotychczas rozwaŜanych rodzajach modulacji, lecz stanowi
ciąg oddzielnych, identycznych impulsów jednakowo oddalonych od siebie
przy czym
T
0
- okres powtarzania impulsów;
c
i
(t) - funkcja opisująca pojedynczy impuls
•
Kształt impulsów moŜe być dowolny, nie mogą one jednak zachodzić na
siebie, tzn.
•
Czas trwania impulsu
τ
musi być krótszy niŜ okres powtarzania impulsów T
0
.
∑
∞
−∞
=
−
=
n
0
i
)
nT
t
(
c
)
t
(
c
( 2.149 )
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
3
2.7. MODULACJA IMPULSOWA
•
Podstawę modulacji impulsowej stanowi
TWIERDZENIE Kotielnikowa-Shanon’a)
o próbkowaniu, z którego wynika, Ŝe
sygnał o ograniczonym paśmie, tzn. nie mający składowych widma p
sygnał o ograniczonym paśmie, tzn. nie mający składowych widma p
owyŜej
owyŜej
pewnej częstotliwości
pewnej częstotliwości
f
f
m
m
,
, jest całkowicie określony przez
jest całkowicie określony przez
ciąg jego
ciąg jego
wartości dyskretnych (próbek) w odstępach czasu równomiernie od
wartości dyskretnych (próbek) w odstępach czasu równomiernie od
siebie
siebie
odległych , równych
odległych , równych
½ T
½ T
m
m
, czyli
, czyli
f
p
≥
2 f
m
tzn. T
p
≤
2 T
m
•
Zamiast więc przesyłać kompletny sygnał ciągły, moŜemy przesłać tylko jego próbki,
co najmniej
2 f
m
bez uszczerbku dla informacji zawartej w próbkowanym sygnale.
]
s
próbek
[
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
4
•
W przypadku modulacji amplitudy impulsów
PAM - Pulse Amplitude Modulation
fala nośna ma postać określoną wzorem (2.149).
•
Funkcjonał modulacji jest natomiast wprost równy sygnałowi modulującemu
m(t) = f(t).
•
Sygnał zmodulowany, zgodnie z ogólną zaleŜnością (2.1), otrzymujemy mnoŜąc
przebieg nośny przez przebieg modulujący
s(t) = c(t) f(t)
(2.150)
•
Modulator amplitudy impulsów jest więc modulatorem iloczynowym, do
którego doprowadza się impulsową falę nośną i sygnał modulujący ( rys.
2.58a).
2.7.1. MODULACJA AMPLITUDY IMPULSÓW
PAM
PAM
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
5
2.7. 1.
MODULACJA PAM
PAM
-
-
Próbkowanie idealne
•
Na początek rozwaŜmy falę nośną w postaci ciągu impulsów Diraca
•
Podstawiając wyraŜenie (2.151) do zaleŜności (2.150) otrzymujemy równanie
sygnału zmodulowanego
•
Widmo sygnału zmodulowanego jest splotem widm sygnału modulującego i
impulsowej fali nośnej
∑
∞
−∞
=
−
δ
=
δ
=
n
0
T
)
nT
t
(
)
t
(
)
t
(
c
0
( 2.151 )
)
nT
t
(
)
t
(
f
)
t
(
s
0
n
−
δ⋅
=
∑
∞
−∞
=
δ
( 2.152 )
)]
(
C
)
(
F
[
2
1
)
t
(
s
ω
∗
ω
π
↔
δ
( 2.153 )
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
6
2.7.1.
MODULACJA PAM
PAM
-
-
Próbkowanie idealne
•
Biorąc pod uwagę, Ŝe widmo ciągu impulsów Diraca wyraŜa się zaleŜnością
przy czym
ω
0
= 2
π
/T
0
•
Otrzymujemy widmo sygnału zmodulowanego w postaci
•
Z zaleŜności (2.155) wynika, Ŝe widmo sygnału zmodulowanego stanowi ciąg
powtórzeń widma sygnału modulującego (rys. 2.58).
•
Wydzielając, za pomocą filtru dolnoprzepustowego o częstotliwości odcięcia f
m
,
dolnopasmową część widma sygnału zmodulowanego, moŜemy odtworzyć
dokładnie sygnał modulujący (rys. 2.58e).
( 2.154 )
( 2.155 )
∑
∞
−∞
=
ω
−
ω
δ
ω
=
δ
ℑ
n
0
0
T
)
n
(
)]
t
(
[
0
∑
∞
−∞
=
δ
δ
ω
−
ω
=
ω
↔
n
0
0
)
n
(
F
T
1
)
(
S
)
t
(
s
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
7
2.7.1.
MODULACJA PAM
PAM
a) schemat blokowy modulatora
b) sygnał modulujący i jego widmo
c) fala nośna i jej widmo
d) sygnał s
PAM
(t) i jego widmo
e) odtwarzanie sygnału f(t) z s
PAM
(t)
Rys. 2.58. Modulacja PAM – próbkowanie idealne
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
8
•
Omówiony przypadek próbkowania idealnego nie moŜe być
zrealizowany w praktyce, niemoŜliwe jest bowiem wytworzenie
idealnych impulsów jednostkowych.
•
W praktyce próbkowanie odbywa się za pomocą wąskich
impulsów o skończonej długości.
•
Próbkowanie takimi impulsami nie jest próbkowaniem
chwilowym, lecz zajmuje pewien przedział czasu.
•
Będziemy je nazywali
PRÓBKOWANIEM NATURALNYM
.
•
Zbadamy obecnie wynik takiego próbkowania.
2.7.2. MODULACJA PAM
PAM
-
-
Próbkowanie naturalne
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
9
•
ZałóŜmy, Ŝe próbkowanie odbywa się ciągiem impulsów prostokątnych o
amplitudzie A
0
, szerokości
τ
i okresie powtarzania T
0
.
•
Oznaczmy ten ciąg impulsów przez q
τ
(t).
•
Widmo ciągu impulsów, tzw. „bramki prostokątnej”, wyraŜa się zaleŜnością
•
Bo transformata sygnału okresowego jest określona wzorem:
2.7.2. MODULACJA PAM
PAM
-
-
Próbkowanie naturalne
∑
∞
−∞
=
τ
ω
−
ω
δ
⋅
τ
ω
τ
ω
τ
ω
↔
n
0
0
0
0
0
)
n
(
2
n
)
2
n
sin(
A
)
t
(
q
( 2.156 )
∑
+∞
=
−∞
=
τ
τ
ω
−
ω
δ
⋅
π
=
ω
n
n
0
n
)
n
(
Q
2
)
(
Q
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
10
•
Widmo sygnału zmodulowanego otrzymamy obliczając splot widm fali nośnej i
sygnału modulującego.
•
Prawa strona wyraŜenia (2.157) reprezentuje widmo F(
ω
) powtarzające się co
ω
0
(rys. 2.59), lecz o amplitudach zmieniających się zgodnie z funkcją
2.7.2. MODULACJA PAM
PAM
-
-
Próbkowanie naturalne
( 2.157 )
∑
∑
∞
−∞
=
∞
−∞
=
ω
−
ω
⋅
τ
ω
τ
ω
τ
=
ω
−
ω
δ
⋅
τ
ω
τ
ω
∗
ω
π
τ
ω
=
ω
n
0
0
0
0
0
n
0
0
0
0
0
)
n
(
F
2
n
)
2
n
sin(
T
A
)
n
(
2
n
)
2
n
sin(
)
(
F
2
A
)
(
S
x
)
x
sin(
}
x
{
Sa
czyli
2
n
)
2
n
sin(
}
2
n
{
Sa
0
0
0
=
τ
ω
τ
ω
=
τ
ω
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
11
2.7.2. MODULACJA PAM
PAM
-
-
Próbkowanie naturalne
Rys. 2.59. Modulacja PAM – próbkowanie idealne
a) sygnał modulujący i jego widmo
c) fala nośna i jej widmo
c) sygnał s
PAM
(t) i jego widmo
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
12
2.7.2. MODULACJA PAM
PAM
-
-
Próbkowanie naturalne
• Porównanie rysunków (2.59) i (2.58) wykazuje, Ŝe zmiana kształtu impulsu
próbkującego z impulsu Diraca na impuls prostokątny o długości
τ
powoduje
jedynie
zmniejszenie
się
kolejnych
powtórzeń
widma
sygnału
modulującego, tym szybsze, im większa jest wartość współczynnika wypełnienia
fali nośnej
τ
/T
0
.
•
Widmo sygnału zmodulowanego -
w przeciwieństwie do uprzednio
rozpatrzonego przypadku PRÓBKOWANIA IDEALNEGO - zajmuje więc praktycznie
skończone pasmo częstotliwości, zwłaszcza dla duŜych
wartości
τ
/T
0
.
• JednakŜe - identycznie jak przy PRÓBKOWANIU IDEALNYM - w widmie sygnału
zmodulowanego
występuje
„zerowe”
powtórzenie
widma
sygnału
modulującego, tak Ŝe
•
Odtworzenia tego sygnału moŜna dokonać - jak poprzednio - przez
zastosowanie filtru dolnoprzepustowego o częstotliwości granicznej f
m
.
• W przypadku PRÓBKOWANIA NATURALNEGO kaŜdy impuls próbkujący jest
mnoŜony przez funkcję f(t) w odpowiednim przedziale próbkowania.
•
KaŜdy impuls sygnału zmodulowanego ma więc inny kształt. Jest to zupełnie
oczywiste - wierzchołek kaŜdego impulsu przyjmuje kształt
sygnału
modulującego (rys. 2.59a).
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
13
•
W odróŜnieniu od próbkowania naturalnego, rozwaŜymy teraz
próbkowanie chwilowe, przy którym nie zmienia się kształt
Impulsów fali nośnej.
•
Sygnał zmodulowany stanowi więc ciąg impulsów prostokątnych o
amplitudach równych wartościom sygnału modulującego w
chwilach próbkowania.
•
Równanie sygnału zmodulowanego, dla c(t) = q
τ
(t),
•
moŜemy więc zapisać w postaci
2.7.3. MODULACJA PAM
PAM
-
- Próbkowanie chwilowe
)
nT
t
(
q
)
nT
(
f
)
t
(
s
0
n
0
−
⋅
=
τ
∞
−∞
=
∑
( 2.158 )
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
14
•
Niech q
τ
(t) będzie odpowiedzią układu elektrycznego na pobudzenie
funkcją impulsową
δ
(t).
•
WyraŜenie (2.158) moŜemy traktować jako odpowiedź tego układu na
sygnał wejściowy
•
Widmo sygnału zmodulowanego przy próbkowaniu chwilowym jest
więc iloczynem widma sygnału s
δ
(t) i widma q
τ
(t)
2.7.3. MODULACJA PAM
PAM
-
- Próbkowanie chwilowe
( 2.159 )
)
nT
t
(
)
nT
(
f
)
t
(
s
0
n
0
−
δ
⋅
=
∑
∞
−∞
=
δ
∑
∞
−∞
=
τ
δ
ω
−
ω
⋅
⋅
ωτ
ωτ
τ
=
ω
⋅
ℑ
↔
n
0
0
0
)
n
(
F
2
)
2
sin(
T
A
)
(
Q
)}
t
(
s
{
)
t
(
s
( 2.160 )
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
15
2.7.3. MODULACJA PAM
PAM
-
- Próbkowanie chwilowe
•
ZauwaŜmy, Ŝe widmo sygnału
zmodulowanego w przypadku
próbkowania chwilowego ( rys.
2.60e) nie jest takie samo jak
widmo sygnału
zmodulowanego przy
próbkowaniu naturalnym (rys.
2.59c), jakkolwiek pozornie
mogłoby się tak wydawać.
•
Na rysunku 2.59c widmo składa
się z widma sygnału
modulującego F(
ω
)
powtarzanego okresowo z
malejącymi amplitudami.
•
Kształt widma F(
ω
) pozostaje
jednak niezniekształcony w
kaŜdym okresie.
Rys. 2.60. Modulacja PAM – próbkowanie chwilowe
b) sygnał modulujący i jego widmo
c) sygnał przy próbkowaniu idealnym
d) Impuls prostokątny i jego widmo
c) sygnał przy próbkowaniu chwilowym
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
16
2.7.3. MODULACJA PAM
PAM
-
- Próbkowanie chwilowe
•
Na rysunku 2.60e natomiast widmo F(
ω
) traci swój pierwotny kształt.
•
Jest ono waŜone przez współczynnik
Q
τ
(
ω
). Dla kaŜdej pulsacji
ω
0
wartość
współczynnika Q
τ
(
ω
) jest inna, a zatem
•
śaden z cykli na rys. 2.60e nie ma kształtu F(
ω
)).
•
Nie jest więc moŜliwe odtworzenie widma sygnału modulującego tylko za pomocą
filtru dolnoprzepustowego.
•
Jeśli sygnał s(t) przepuścimy przez filtr dolnoprzepustowy o częstotliwości
granicznej f
m
, to widmo sygnału na wyjściu będzie miało postać [ F (
ω
) Q
τ
(
ω
) ].
W celu odtworzenia sygnału modulującego f(t)
naleŜy dodatkowo zastosować filtr o
charakterystyce przenoszenia
H(
ω
)=1/Q
τ
(
ω
)
.
Rys. 2.61. Odtwarzanie sygnału modulującego z próbkowania chwilowego:
a) układ,
b) transmitancja filtru
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
17
2.7.3. MODULACJA PAM
PAM
-
- Próbkowanie chwilowe
•
PoniewaŜ widmo sygnału modulującego jest ograniczone, więc wystarczy
aby dodatkowy filtr miał funkcję przenoszenia 1/Q
τ
(
ω
) tylko w przedziale (-
ω
m
,
ω
m
).
•
MoŜna połączyć oba filtry w jeden filtr złoŜony, którego transmitancja jest
opisana w następujący sposób
•
JeŜeli impuls q
τ
(t) jest bardzo wąski, to zbliŜa się on do impulsu Diraca i
funkcja Q
τ
(
ω
) staje się płaska.
•
W takim przypadku próbkowanie chwilowe staje się próbkowaniem
idealnym i do odtworzenia sygnału modulującego wystarczy tylko idealny
filtr dolnoprzepustowy.
•
Próbkowanie idealne jest więc szczególnym przypadkiem próbkowania
chwilowego i natu-ralnego, gdy
τ →
0.
( 2.161 )
ω
<
ω
ω
=
ω
τ
poza
0
dla
)
(
Q
/
1
)
(
H
m
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
18
2.7.4. MODULACJA POŁOśENIA IMPULSÓW
PPM
PPM
•
Modulacja połoŜenia impulsów (PPM - Pulse Position Modulation)
jest impulsowym odpowiednikiem modulacji kąta ciągłej fali nośnej.
•
Polega ona na uzaleŜnieniu połoŜenia kolejnego impulsu fali nośnej
od wartości sygnału modulującego.
•
Ograniczymy nasze rozwaŜania do przypadku, gdy fala nośna jest
ciągiem impulsów prostokątnych o czasie trwania
τ
i częstotliwości
powtarzania f
0
=
ω
0
/2
π
= 1/T
0
.
•
Równanie takiej fali moŜemy zapisać w postaci szeregu Fourier’a:
]
t
n
cos
n
)
2
n
sin(
2
[
A
)
t
(
q
)
t
(
c
1
n
0
0
0
0
∑
∞
=
τ
ω
⋅
τ
ω
+
τ
ω
π
=
=
( 2.162 )
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
19
2.7.4. MODULACJA POŁOśENIA IMPULSÓW PPM
PPM
•
Omawiając przebiegi czasowe oraz widna sygnałów PPM wygodniej jest uzaleŜnić
od sygnału modulującego czas, a nie fazę, jak to robiliśmy w przypadku ciągłej fali
nośnej.
•
Wprowadzając nowe zmienne:
•
moŜemy przekształcić równanie (2.162) następująco
( 2.163 )
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
∑
∞
=
+
ω
⋅
−
ω
+
−
ω
π
=
1
n
2
1
0
2
1
0
2
1
0
0
]}
2
)
t
t
(
n
cos[
n
]
2
)
t
t
(
n
[
sin
2
)
t
t
(
2
{
A
)
t
(
c
( 2.164 )
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
20
2.7.4. MODULACJA POŁOśENIA IMPULSÓW PPM
PPM
•
Przyrównując zmienne t
1
i t
2
do krotności okresu fali nośnej nT
0
otrzymujemy równania na czasowe współrzędne odpowiednio
początku ( dla t
1
= nT
0
) i końca (dla t2 = nT
0
) n-tego impulsu fali
nośnej:
•
Sformułowaniu (2.165) moŜna nadać prostą interpretację graficzną.
•
Wykreślmy równania t
1
= t
1
(t) i t
2
= t
2
(t) we współrzędnych
prostokątnych (rys. 2.62), a następnie
•
poprowadźmy proste równoległe do osi odciętych przechodzące
przez punkty nT
0
na osi rzędnych.
( 2.165 )
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
=
τ
+
=
=
=
τ
−
=
=
kn
0
0
2
pn
0
0
1
t
2
nT
t
to
,
nT
t
jezeli
t
2
nT
t
to
,
nT
t
jezeli
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
21
2.7.4. MODULACJA POŁOśENIA IMPULSÓW PPM
PPM
•
Punkty przecięcia się tych prostych z
prostą t
1
wyznaczają początki kolejnych
impulsów,
•
punkty przecięcia natomiast z prostą t
2
-
końce impulsów.
•
Podobnie jak w przypadku modulacji
amplitudy impulsów, rozróŜniamy róŜne
rodzaje modulacji połoŜenia impulsów,
uwarunkowane sposobem uzaleŜnienia
przesunięcia czasowego impulsów od
sygnału modulującego.
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
Rys. 2.62. Konstrukcja impulsowej fali nośnej
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
22
2.7.4. MODULACJA POŁOśENIA IMPULSÓW PPM
PPM
•
W przypadku PPM z próbkowaniem chwilowym odniesionym do osi impulsu,
wyraŜenia na czasowe współrzędne początku i końca n-tego impulsu zapiszemy
w postaci:
•
W przypadku harmonicznego sygnału modulującego f (t) = A
m
sin
ω
m
t:
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
τ
−
+
τ
−
=
τ
+
+
τ
+
=
)
2
t
(
kf
2
t
nT
)
2
t
(
kf
2
t
nT
kn
kn
0
pn
pn
0
( 2.166 )
τ
−
ω
ω
∆Φ
+
τ
−
=
τ
+
ω
ω
∆Φ
+
τ
+
=
)
2
t
(
sin
2
t
nT
)
2
t
(
sin
2
t
nT
kn
m
0
kn
0
pn
m
0
pn
0
( 2.167 )
przy czym
∆Φ
- maksymalna dewiacja połoŜenia impulsu, wyraŜona w mierze kątowej.
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
23
2.7.4. MODULACJA POŁOśENIA IMPULSÓW PPM
PPM
•
Uwzględniając spełnienie
warunków (2.165), stwierdzamy, Ŝe
zmienne t
1
i t
2
wyraŜają się
zaleŜnościami:
•
Na rysunku 2.63 przedstawiono
konstrukcję sygnału
zmodulowanego dla omawianego
przypadku.
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
( 2.168 )
τ
−
ω
ω
∆Φ
+
τ
−
=
τ
+
ω
ω
∆Φ
+
τ
+
=
)
2
t
(
sin
2
t
t
)
2
t
(
sin
2
t
t
kn
0
2
pn
0
1
Rys. 2.63. Konstrukcja sygnału PPM z próbkowaniem
naturalnym (
τ
= T
0
/2; T = 4T
0
;
∆Φ
=
π
/2)
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
24
2.7.4. MODULACJA POŁOśENIA IMPULSÓW PPM
PPM
•
Z rysunku widać, Ŝe sygnał PPM z
próbkowaniem chwilowym
odniesionym do osi impulsów
stanowi ciąg impulsów o
jednakowej szerokości
τ
, , , ,
występujących w momentach
określonych przez wartości
sygnału modulującego.
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
Rys. 2.63. Konstrukcja sygnału PPM z próbkowaniem
chwilowym (
τ
= T
0
/2; T = 4T
0
;
∆Φ
=
π
/2)
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
25
2.7.4. MODULACJA POŁOśENIA IMPULSÓW PPM
PPM
•
W celu otrzymania równania sygnału zmodulowanego podstawimy zaleŜność
(2.168) do wyraŜenia (2.164)
•
JeŜeli szerokość impulsu jest mała w stosunku do okresu fali modulującej
(
τ
/T<< 1), wówczas
ωτ
<< 1, sin x
≈
x, cos x
≈
1 i wzór (2.169) moŜna uprościć do
postaci
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
]}
t
sin
2
cos
(
n
cos[
]
t
n
cos
n
]
t
cos
2
sin
2
(
n
[
sin
2
t
cos
2
sin
2
{
A
)
t
(
s
0
1
n
0
0
0
0
M
PP
ω
ωτ
∆Φ
+
τ
ω
ω
⋅
ω
ωτ
∆Φ
+
τ
ω
+
+
ω
ωτ
∆Φ
+
τ
ω
π
=
∑
∞
=
( 2.169 )
]}
t
sin
(
n
cos[
n
]
t
cos
2
2
(
n
[
sin
2
t
cos
2
2
{
A
)
t
(
s
0
1
n
0
0
0
PPM
ω
∆Φ
+
τ
ω
⋅
ω
ωτ
∆Φ
+
τ
ω
+
+
ω
ωτ
∆Φ
+
τ
ω
π
≈
∑
∞
=
( 2.170 )
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
26
2.7.4. MODULACJA POŁOśENIA IMPULSÓW PPM
PPM
•
Analizując wyraŜenie (2.170) dochodzimy do wniosku, Ŝe w widmie sygnału PPM z
próbkowaniem chwilowym odniesionym do osi impulsów występują następujące
składowe:
1.
składowa stała,
2.
składowa o częstotliwości sygnału modulującego,
3.
składowe o częstotliwościach równych krotnościom częstotliwości powtarzania
impulsów,
modulowane
fazowo
z dewiacją n
∆Φ
oraz
amplitudowo
ze współczynnikiem p
≈∆Φ ω
/
ω
0
(w praktyce bardzo małym).
•
Z postaci widma omawianego sygnału wynika moŜliwość detekcji za pomocą
1.
filtru dolnoprzepustowego lub za pomocą
2.
filtru pasmowego i dyskryminatora fazy.
•
Odtworzony w ten sposób sygnał modulujący nie będzie zniekształcony jeśli w
paśmie przepuszczania filtru nie znajdą się prąŜki dolnej wstęgi bocznej
zmodulowanej fazowo składowej o pulsacji
ω
0
.
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
27
2.7.4. MODULACJA POŁOśENIA IMPULSÓW PPM
PPM
•
Jeśli
ω
<<
ω
0
, to zniekształcenia wynikające z pasoŜytniczej modulacji amplitudy
mogą być pominięte.
•
Z powyŜszego rozumowania wynika równieŜ moŜliwość utworzenia sygnału o
modulowanej fazie z ciągłą falą nośną.
•
Proces próbkowania moŜna zastosować oddzielnie w odniesieniu do czoła i do
tylnego zbocza kaŜdego impulsu.
1.
PołoŜenie czoła impulsu zmodulowanego jest wyznaczone wówczas przez wartość
sygnału modulującego w chwili rozpoczęcia,
2.
PołoŜenie tylnego zbocza natomiast - przez wartość sygnału modulującego w chwili
zakończenia tego impulsu.
•
PoniewaŜ w tych dwóch momentach sygnał modulujący przyjmuje na ogół róŜne
wartości, więc
•
Przesunięcie czoła impulsu jest inne niŜ przesunięcie tylnego zbocza i ulega
zmianie takŜe czas trwania impulsu.
•
Mamy więc do czynienia z jednoczesną modulacją
PPM
i
PDM
.
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
28
2.7.5. MODULACJA SZEROKOŚCI IMPULSÓW PDM
PDM
•
Modulacja szerokości (czasu trwania) impulsów
(PDM —Pulse Duration
Modulation)
polega na uzaleŜnieniu szerokości kolejnych impulsów od
chwilowych wartości sygnału modulującego.
•
Podobnie jak dla PPM ograniczymy się do rozwaŜenia przypadku fali, nośnej
w postaci ciągu impulsów prostokątnych.
•
Przy modulacji PDM moŜna
1.
ustalić połoŜenie jednego zbocza i zmieniać połoŜenie drugiego
proporcjonalnie do chwilowej wartości sygnału modulującego
(modulacja
jednostronna)
bądź teŜ
2.
zmieniać symetrycznie połoŜenie obu zboczy
(modulacja symetryczna
dwustronna).
•
W pierwszym przypadku odległość między nieruchomymi zboczami jest
równa okresowi powtarzania impulsów T
0
w przebiegu niemodulowanym,
•
W drugim przypadku - stała i równa T
0
jest odległość między osiami
impulsów.
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
29
2.7.5. MODULACJA SZEROKOŚCI IMPULSÓW PDM
PDM
•
MoŜna równieŜ zasadę próbkowania stosować oddzielnie do kaŜdego zbocza
impulsu.
•
PoniewaŜ w czasie trwania impulsu sygnał modulujący na ogół ulega zmianie,
więc w
w
w
w tym ostatnim sposobie modulacji mamy jednocześnie do czynienia ze
zmianą szerokości impulsów i zmianą ich połoŜenia.
•
RozwaŜymy tutaj tylko przypadek modulacji PDM dwustronnej symetrycznej.
•
WyraŜenia na zmienne t
1
i t
2
w rozwaŜanym przypadku przyjmują postać
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
τ
−
ω
ω
∆Φ
−
τ
−
=
τ
+
ω
ω
∆Φ
+
τ
+
=
)
2
t
(
sin
2
t
t
)
2
t
(
sin
2
t
t
0
2
0
1
( 2.172 )
Dr W.J. Krzysztofik
5 PODSTAWY
TELEKOMUNIKACJI
30
2.7.5. MODULACJA SZEROKOŚCI IMPULSÓW PDM
PDM
•
Konstrukcję sygnału PDM
przedstawiono na rys. 2.64.
•
Podstawiając zaleŜność (2.172) do
wzoru (2.164) i robiąc załoŜenie
τ
/T<<
1, otrzymujemy wyraŜenie (2.173) na
na
na
na
sygnał zmodulowany
•
W widmie sygnału zmodulowanego
PDM występuje
1.
składowa stała,
2.
składowa o częstotliwości sygnału
modulującego oraz
3.
zmodulowane fazowo i amplitudowo
harmoniczne częstotliwości
powtarzania impulsów.
,
2
t
t
2
t
t
2
1
τ
−
=
τ
+
=
( 2.173 )
)]}
t
cos
t
(
n
cos[
n
)]
t
sin
2
(
n
[
sin
2
t
sin
2
{
A
)
t
(
s
0
1
n
0
0
0
PDM
ω
∆Φ
+
ω
⋅
ω
∆Φ
+
τ
ω
+
ω
∆Φ
+
τ
ω
π
≈
∑
∞
=
Rys. 2.64. Konstrukcja sygnału PDM