1
Ćwiczenie 14
Wyznaczenie współczynnika tarcia tocznego
I. Zagadnienia do samodzielnego opracowania
1.
Tarcie statyczne i dynamiczne.
2.
Ruch obrotowy bryły sztywnej.
3.
Ruch harmoniczny tłumiony.
II. Wprowadzenie
Zjawisko wyst
ępowania oporów podczas ruchu ciała stałego nazywamy tarciem.
Tarcie pojawia si
ę przy poruszaniu się ciała w cieczy lub gazie i wtedy nazywamy je
tarciem wewn
ętrznym (lepkością), jak równieŜ przy kontakcie ciała z powierzchnią
innego ciała stałego (tarcie zewn
ętrzne), a wtedy w zaleŜności od tego, czy ciała
przylegaj
ą bez ruchu, ślizgają się lub toczą jedne po drugich, mówimy o tarciu
przylegania, tarciu przy po
ślizgu i tarciu przy toczeniu.
Siła tarcia wewn
ętrznego (oporu lepkiego) jest przeciwnie skierowana do
pr
ędkości ruchu ciała i zaleŜy od lepkości cieczy oraz rozmiaru i kształtu ciała oraz od
warto
ści prędkości, do której jest wprost proporcjonalna:
v
b
F
o
−
=
,
(1)
gdzie b jest współczynnikiem oporu lepkiego, zale
Ŝnym od lepkości cieczy oraz
rozmiaru i kształtu ciała.
Tarcie zewn
ętrzne polega na powstawaniu oporu w płaszczyźnie zetknięcia,
podczas ruchu wzgl
ędnego dwóch stykających się ciał.
Wyró
Ŝniamy siłę tarcia przy poślizgu, występującą podczas ruchu względnego
dwóch stykaj
ących się powierzchni, która jest proporcjonalna do nacisku ciała na
podło
Ŝe N.
N
f
T
k
k
=
(2a)
oraz sił
ę oporu przylegania, czyli siłę tarcia statycznego, występującą, gdy nie ma ruchu
wzgl
ędnego dwóch stykających się powierzchni, której wartość wynika z warunków
ruchu ciała (I lub II zasada dynamiki), ale która nie mo
Ŝe przekroczyć wartości
granicznej
gr
T
gr
s
T
T
≤
, gdzie
N
f
T
s
gr
=
(2b)
gdzie:
k
f - kinetyczny współczynnik tarcia (bezwymiarowy),
s
f - statyczny współczynnik tarcia (bezwymiarowy).
Z do
świadczenia wiadomo, Ŝe
k
s
f
f
>
. Współczynniki tarcia w pierwszym
przybli
Ŝeniu nie zaleŜą od siły nacisku na podłoŜe, ale zaleŜą od rodzaju powierzchni
stykaj
ących się (gładkość powierzchni, temperatura, wilgotność, zanieczyszczenia).
Z zale
Ŝności (2a) i (2b) widać, Ŝe obie siły tarcia zewnętrznego nie zaleŜą od wielkości
stykaj
ących się powierzchni, a siła tarcia przy poślizgu nie zaleŜy od prędkości poślizgu
(takie tarcie nazywamy tarciem suchym).
Podczas toczenia si
ę ciał występuje tarcie toczne. Toczenie jest złoŜeniem ruchu
post
ępowego i obrotowego. W dynamice ruchu obrotowego wielkościami
analogicznymi do sił s
ą momenty sił. Dlatego analogiem siły tarcia jest tutaj moment
2
siły tarcia
t
M . Tarcie toczne mo
Ŝna scharakteryzować poprzez współczynnik tarcia
tocznego
f
t
:
N
f
M
t
t
=
(3)
gdzie:
M
t
- moment siły tarcia,
f
t
- współczynnik tarcia tocznego (maj
ący wymiar metra),
N - siła nacisku ciała na podło
Ŝe (obciąŜenie normalne).
Warto
ść współczynnika tarcia tocznego zaleŜy od rodzaju materiałów,
chropowato
ści powierzchni, temperatury.
Na wst
ępie rozpatrzmy toczącą się po płaszczyźnie poziomej kulę o masie m i
promieniu
r, na któr
ą działa zewnętrzna pozioma siła F (rys.1).
.
Q
F
F
R
M
t
T
s
Rys. 1. Siły i momenty sił działaj
ące na toczącą się kulę
Z warunku równowagi sił w pionie wynika,
Ŝe pionowa siła reakcji podłoŜa F
R
jest równa sile ci
ęŜkości
mg
Q
F
R
=
=
. Z równania (3) otrzymujemy warto
ść momentu
tarcia tocznego
mg
f
F
f
M
t
R
t
t
=
=
. Siła
F, je
Ŝeli jest wystarczająco duŜa, zapewnia
ruch przy
śpieszony środka masy kuli oraz przyśpieszony ruch obrotowy kuli. Ze
wszystkich sił tylko siła
F daje niezerowy moment wzgl
ędem punktu styku z podłoŜem i
dlatego przy
śpieszenie kątowe wyznaczone dzięki II zasadzie dynamiki dla ruchu
obrotowego jest równe:
J
M
rT
t
s
−
=
ε
,
2
5
2
mr
J
=
gdzie
J jest momentem bezwładno
ści kuli.
Na ruch post
ępowy środka masy kuli, oprócz siły F, wpływa takŜe pozioma siła
reakcji podło
Ŝa T
s
(siła tarcia statycznego). Dlatego II zasada dynamiki dla ruchu
post
ępowego ma postać
m
T
F
a
s
−
=
Je
Ŝeli załoŜymy, Ŝe nie występuje poślizg (
N
f
T
T
s
gr
s
=
<
), to ruch post
ępowy musi
by
ć „dopasowany” do ruchu obrotowego w tym sensie, Ŝe obowiązuje zaleŜność między
przy
śpieszeniem liniowym i kątowym
r
a
ε
=
Dopasowanie to jest mo
Ŝliwe dzięki odpowiedniej wartości siły tarcia statycznego T
s
.
Zestawiaj
ąc powyŜsze równania
r
mr
M
rT
m
T
F
t
s
s
2
5
2
−
=
−
mo
Ŝna wyznaczyć wartość siły tarcia statycznego:
t
r
s
M
F
T
1
7
5
7
2
+
=
(4)
Siła wypadkowa działaj
ąca na kulę jest zatem równa:
t
r
s
w
M
F
T
F
F
1
7
5
7
5
−
=
−
=
(5)
3
Otrzymane wyra
Ŝenie na siłę wypadkową jest praktyczne, tzn. po podzieleniu przez
mas
ę moŜna bezpośrednio obliczyć przyśpieszenie środka kuli.
Rys. 2. Schemat pomiarowy do wyznaczania współczynnika tarcia tocznego
Układ pomiarowy przedstawiony jest na rys. 2. Zasadniczym elementem
przyrz
ądu jest wahadło nachylne składające się z nici, do której zamocowana jest kulka
z wodzikiem (9) oraz wspornik (5), gdzie po prowadnicach wsuwa si
ę badaną próbkę
(10), czyli metalow
ą płytkę, po której toczy się kulka. Pokrętło (11) słuŜy do pochylenia
kolumny (8) wahadła wraz z płytk
ą (10), w celu wykonywania zasadniczych pomiarów
współczynnika tarcia tocznego. W czasie drga
ń wahadła następuje proces mierzenia
czasu po przyci
śnięciu przełącznika W2. Proces liczenia trwa do momentu przyciśnięcia
przeł
ącznika W3. W czasie pomiaru przyrząd musi być dokładnie wypoziomowany przy
pomocy nó
Ŝek o regulowanej wysokości. Do pomiaru średnicy kulki uŜyć suwmiarki
lub
śruby mikrometrycznej.
Wyprowad
źmy wzór, z którego będziemy mogli wyznaczyć współczynnik tarcia
tocznego. W tym celu skorzystamy z zastosowanego w
ćwiczeniu wahadła nachylnego
(kulki z wodzikiem 9) o ci
ęŜarze Q, które pochylone jest pod kątem
β
wzgl
ędem pionu
(rys. 3a). Na podstawie rozkładu sił otrzymamy składow
ą cięŜaru wahadła wzdłuŜ
kierunku najwi
ększego spadku na płaszczyźnie próbki
s
Q i składow
ą prostopadłą do tej
płaszczyzny
w
Q :
β
cos
Q
Q
s
=
(6)
β
sin
Q
Q
w
=
(7)
α
α
Q
s
Q
s1
Q
s2
Q
s
β
β
Q
w
Q
s
Q
β
a)
b)
4
Rys. 3. Rozkład siły ci
ęŜkości działającej na kulkę wahadła znajdującą się na pochylonej płaszczyźnie
Po odchyleniu wahadła (kulki 9) od poło
Ŝenia równowagi o kąt
o
α
(rys. 3b) kulka
zaczyna toczy
ć się po badanej próbce (10) pod wpływem składowej siły
2
s
Q
. Zgodnie
z rozkładem sił otrzymamy wyra
Ŝenie na tę składową, słuszne dla dowolnego kąta
α
:
β
α
α
cos
sin
sin
2
Q
Q
Q
s
s
=
=
dla małych k
ątów
α
α
≈
sin
, otrzymamy zatem zale
Ŝność przybliŜoną:
β
α
cos
2
Q
Q
s
=
(8)
Ze wzgl
ędu na to przybliŜenie naleŜy dąŜyć do tego, aby amplituda wahań
o
α
nie
przekraczała paru stopni.
Rozpatrzmy ruch obrotowy wahadła wzgl
ędem punktu zawieszenia. Wszystkie
wyznaczane poni
Ŝej momenty sił będziemy liczyć względem tego punktu.
Składowa
w
Q jest równowa
Ŝona przez siłę reakcji podłoŜa, składowa
1
s
Q nie daje
momentu siły wzgl
ędem punktu zawieszenia, widać więc, Ŝe składowa
2
s
Q
pełni rol
ę
siły zewn
ętrznej z rozpatrywanego wcześniej wstępnego przykładu z toczącą się kulą.
Gdyby tarcie toczne nie wyst
ępowało (
0
=
t
M
), to po uwzgl
ędnieniu siły tarcia
statycznego, mogliby
śmy wyznaczyć wypadkową dwóch sił
2
s
Q
i
s
T , korzystaj
ąc ze
wzorów (5) i (8):
β
α
cos
7
5
2
7
5
Q
Q
F
s
w
=
=
a na tej podstawie - moment tej siły wypadkowej wzgl
ędem punktu zawieszenia
β
α
cos
7
5
RQ
M
−
=
(9)
zale
Ŝny od kąta wychylenia
α
i odpowiedzialny za ruch drgaj
ący wahadła nachylnego.
Przez porównanie z przypadkiem zwykłego wahadła matematycznego, gdzie
analogiczny moment siły jest równy
α
Q
R
M
−
=
, a jego okres -
g
R
T
π
2
=
, mo
Ŝna
napisa
ć wzór na okres wahadła nachylnego:
g
R
T
β
π
cos
5
7
2
=
(10)
Współczynnik
5
7
stoj
ący w powyŜszym wzorze jest odbiciem faktu, Ŝe kulka
toczona pod wpływem jakiej
ś siły będzie miała mniejsze przyśpieszenie, niŜ nie
obracaj
ące się ciało o tej samej masie.
Dodajmy teraz do rozwa
Ŝań ruchu kulki tarcie toczne. Ze wzoru (5) widać, Ŝe siła
wypadkowa działaj
ąca na kulkę zmniejszy się o wartość
t
r
M
1
7
5
, (bo o tyle zwi
ększy się
siła tarcia statycznego, przeciwstawiaj
ąca się ruchowi). Wartość tę moŜna traktować
jako sił
ę hamującą, skierowaną przeciwnie do kierunku ruchu wahadła, wynikającą
z istnienia momentu tarcia tocznego
t
M . Moment tej siły wzgl
ędem punktu
zawieszenia jest równy:
N
f
r
R
M
r
R
M
t
t
h
1
7
5
1
7
5
=
=
a po podstawieniu siły
w
Q , danej wzorem (7), za sił
ę nacisku N, otrzymujemy:
β
sin
1
7
5
Q
f
r
R
M
t
h
=
(11)
5
Ten stały, co do warto
ści hamujący moment siły, skierowany jest przeciwnie do
kierunku obrotu wzgl
ędem punktu zawieszenia. Podczas ruchu wahadła w lewo moment
hamuj
ący jest skierowany w prawo i dlatego spowoduje on przesunięcie połoŜenia
równowagi wahadła w prawo o k
ąt
ε
, co wynika z wykresu na rys. 4. Na wykresie tym,
przedstawiaj
ącym zaleŜność momentów sił od kąta obrotu, momenty sił kierujące kulkę
w prawo s
ą dodatnie. Widać, Ŝe dopóki kulka nie zmienia kierunku, jej ruch podlega
tym samym prawom, co zwykły ruch drgaj
ący (bez tarcia), pod wpływem wypadkowego
momentu siły
w
M proporcjonalnego do wychylenia
ε
α
−
z poło
Ŝenia równowagi
ε
α
=
(rys. 4).
ε
α−ε
0
α−ε
0
α−2ε
0
b)
α
0
α
ε
a)
M=M+M
w
h
M
M
M
h
Rys. 4. Wychylenie w lewo: a)momenty sił działaj
ące na wahadło, b) schemat ruchu
Przesuni
ęcie kątowe połoŜenia równowagi wahadła moŜna obliczyć z warunku
równowagi momentów
Ŝądając, aby w tym połoŜeniu moment wypadkowy był równy
zeru
0
sin
cos
1
7
5
7
5
=
+
−
=
+
=
β
β
α
Q
f
R
RQ
M
M
M
t
r
h
w
z czego dostajemy k
ąt równowagi:
r
f
t
β
ε
α
tg
=
≡
(12)
Na rys. 4 przedstawiono ruch wahadła w lewo, po wychyleniu w prawo o k
ąt
α
o
od linii najwi
ększego spadku na pochyłej płytce (linia ta widoczna jest na rysunku jako
linia pionowa). Wida
ć, Ŝe ruch jest symetryczny wokół chwilowego połoŜenia
równowagi
ε
α
=
, a amplituda jest równa
ε
α
=
0
α
. Powoduje to jednak,
Ŝe największe
wychylenie kulki w lewo, licz
ąc od linii największego spadku, będzie równe
ε
α
2
0
−
.
Po osi
ągnięciu tego największego wychylenia kulka zaczyna poruszać się w prawo,
a wtedy moment hamuj
ący
h
M
, wynikły z tarcia tocznego, szybko zmienia kierunek, co
powoduje ustalenie si
ę nowego połoŜenia równowagi
ε
α
−
=
. Dlatego ruch w prawo
jest analogiczny do poprzedniej fazy ruchu, a najwi
ększe wychylenie w prawo, licząc od
linii najwi
ększego spadku, zmniejsza się znów o kąt
ε
2
, co daje ł
ączną zmianę o kąt
ε
4
, w porównaniu z pocz
ątkowym wychyleniem
ε
α
α
4
1
0
=
−
.
Dalej ruch przebiega podobnie i dla n-tego maksymalnego wychylenia zachodzi:
)
4
(
0
ε
α
α
n
n
=
−
(13)
Wyznaczaj
ąc z tej zaleŜności
ε
i podstawiaj
ąc do równania (12), dostajemy wzór,
dzi
ęki któremu moŜna obliczyć współczynnik tarcia tocznego
n
r
f
n
o
t
4
ctg
α
α
β
−
=
(14)
gdzie: r - promie
ń kulki w milimetrach,
α
o
- k
ąt początkowego wychylenia wahadła [rad],
α
n
- k
ąt odczytany po n „okresach” drgań wahadła [rad],
6
n
- liczba pełnych wahni
ęć,
β
- k
ąt nachylenia wahadła odczytany na skali bocznej.
Z przedstawionych powy
Ŝej praw, jakim podlega ruch wahadła nachylnego
z uwzgl
ędnieniem tarcia tocznego, wynika teŜ, Ŝe skoro poszczególne wahnięcia moŜna
traktowa
ć jako swobodne, to znaczy bez tarcia tocznego, ale za to z przemieniającym się
cyklicznie poło
Ŝeniem równowagi
ε
α
±
=
, to okres drga
ń wahadła nie zaleŜy od
wielko
ści tarcia tocznego. Na skutek zmian połoŜenia równowagi zmienia się tylko
amplituda wychyle
ń, a okres wahadła swobodnego nie zaleŜy od amplitudy (dla
niewielkich wychyle
ń).
Warto zauwa
Ŝyć, Ŝe wszystkie powyŜsze rozwaŜania nie uwzględniają ruchu
precesyjnego kuli, spowodowanego zmian
ą kierunku osi obrotu kuli w trakcie ruchu
wahadła. Zmiany tego kierunku b
ędą tym mniejsze, im mniejsza będzie amplituda
waha
ń. Dlatego naleŜy tym bardziej dąŜyć do tego, aby amplituda ta nie przekraczała
paru stopni.
III. Wykonanie ćwiczenia
1.
Zwróci
ć uwagę, aby próbki (płaskie płytki) i kulki były czyste.
2.
Przy pomocy regulowanych nó
Ŝek wypoziomować przyrząd, traktując wahadło
(kulk
ę z wodzikiem 9) jako pion.
3.
Wcisn
ąć przycisk W1, klawiszem W2 sprawdzić wyzerowanie milisekundomierza.
4.
Po zamocowaniu (przez wkr
ęcenie) kulki z wodzikiem 9 i próbki 10 w prowadnicy
sprawdzi
ć, czy wodzik wahadła przecina strumień światła czujnika
fotoelektrycznego. Po przyci
śnięciu przełącznika W2 przyrząd gotowy jest do
pomiaru czasu i liczby wahni
ęć. Proces mierzenia zaczyna się w momencie, gdy
uprzednio wychylona kulka przechodzi przez poło
Ŝenie równowagi, a kończy się po
przyci
śnięciu przełącznika W3 i przejściu przez połoŜenie równowagi.
5.
W celu wykonania zasadniczych pomiarów pochyli
ć ramię przyrządu z próbką o kąt
o
15
=
β
, kulk
ę wychylić z połoŜenia równowagi o kąt
0
α
około
o
6
5
÷
(odczyt
k
ąta na skali). Puścić kulkę, aby toczyła się po próbce.
6.
Milisekundomierzem mierzy
ć czas t drgań wahadła dla liczby n pełnych wahnięć
(przyjmuj
ąc na przykład
5
=
n
). Odczyta
ć takŜe kąt
n
α
po n wahni
ęciach.
7.
Powtórzy
ć pomiar czasu t i kąta
n
α
dla innych warto
ści kątów
0
α
oraz
β
.
8.
Wykona
ć kilka serii pomiarów dla róŜnych kulek i próbek. Zmiany kulek dokonuje
si
ę przez wykręcenie kulki z gwintu wodzika i wkręcenie nowej.
Tabela pomiarowa
2R
β
n
0
α
n
α
T
t
t
f
t
t
f
f
∆
±
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
9.
Wykona
ć obliczenia współczynnika tarcia tocznego f
s
oraz okresu waha
ń T (
n
t
T
=
)
,
dla ka
Ŝdego badanego przypadku. Wykonać obliczenia okresu wahań T, ze
wzoru (10), dla ka
Ŝdego kąta nachylenia
β
, jako długo
ść wahadła przyjąć R=l+r
gdzie l=0.46 m.
7
10.
Przeprowadzi
ć dyskusję błędów licząc błąd maksymalny
t
f
∆
metod
ą róŜniczki
zupełnej. Obliczy
ć błąd względny procentowy współczynnika tarcia. Wyniki podać
w formie:
(
)
[mm]
.
t
obl
t
t
f
f
f
∆
±
=
11.
We wnioskach porówna
ć takŜe zaleŜność okresu wahadła od wielkości tarcia
(mierzonego odpowiednimi współczynnikami) dla rozpatrywanego przypadku tarcia
suchego (niezale
Ŝnego od prędkości) i dla przypadku tarcia (oporu) lepkiego (ruch
harmoniczny tłumiony).
Literatura
M. Le
śniak, Fizyka. Laboratorium, wydanie II, Oficyna Wydawnicza PRz, 2002
J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla in
Ŝynierów, t.1, WNT, Warszawa 1980
R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, t. I, PWN, Warszawa 1997
I. W. Sawieliew, Kurs Fizyki, t.1, PWN, Warszawa 1994