1
1
Izolowany przewodnik
W izolatorze nadmiarowy ładunek mo
Ŝ
e by
ć
rozmieszczony w całej jego obj
ę
to
ś
ci.
Ładunek rozmieszczony w przewodniku wytwarza pole elektryczne przemieszczaj
ą
ce
swobodne elektrony na powierzchni
ę
przewodnika dopóty, dopóki nie zniknie pole
wewn
ą
trz przewodnika.
Wtedy na ładunki nie działa ju
Ŝ
siła i otrzymujemy statyczny rozkład ładunku.
0
d
=
∫
S
E
Wewn
ą
trz przewodnika
E
= 0
0
0
ε
.
wewn
Q
=
0
.
=
wewn
Q
Cały ładunek gromadzi si
ę
na powierzchni przewodnika
Prawo Gaussa - przykłady
2
Procedura obliczania pola
E
od symetrycznych rozkładów ładunków:
1. Trzeba okre
ś
li
ć
symetri
ę
pola
2. Wybra
ć
odpowiedni
ą
powierzchni
ę
Gaussa
3. Obliczy
ć
strumie
ń
przez t
ę
powierzchni
ę
Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana sfera (lub kula z
przewodnika)
∫
=
)
π
r
E(
EdS
2
4
0
2
)
4
(
ε
π
Q
r
E
=
2
2
0
4
1
r
Q
k
r
Q
E
=
=
πε
Na zewn
ą
trz sfery tj. dla r > R pole jest takie jakby cały ładunek skupiony był w
ś
rodku sfery. Natomiast wewn
ą
trz sfery (r < R) Q
wewn.
= 0 wi
ę
c E
wewn.
= 0.
2
3
Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana kula
2
.
r
Q
k
E
wewn
=
3
3
3
.
3
4
3
4
=
=
R
r
Q
R
r
Q
Q
wewn
π
π
2
3
0
4
1
r
R
r
Q
E
=
πε
r
R
Q
k
r
R
Q
E
3
3
0
4
1
=
=
πε
4
Płaskie rozkłady ładunków
0
2
ε
σ
S
S
E
=
0
2
ε
σ
=
E
3
5
W praktyce stosuje si
ę
układ dwóch płaskich
równoległych płyt naładowanych ładunkami jednakowej
wielko
ś
ci ale o przeciwnych znakach (kondensator
płaski ).
0
0
0
2
2
ε
σ
ε
σ
ε
σ
=
+
=
E
0
2
2
0
0
=
−
+
=
ε
σ
ε
σ
E
0
2
2
0
0
=
−
+
=
ε
σ
ε
σ
E
po lewej stronie
po prawej stronie
pomi
ę
dzy płytami
Na zewn
ą
trz układu pole jest równe zeru a pomi
ę
dzy
płytami ma w ka
Ŝ
dym punkcie stał
ą
warto
ść
σ
/
ε
0
.
Takie pole nazywamy polem jednorodnym.
Całka nieoznaczona
∫
=
)
(
)
(
x
f
dx
x
g
Wynik operacji całkowania:
znaleziona funkcja pierwotna f(x) ma taką własność, Ŝe po zróŜniczkowaniu
jej otrzymujemy funkcję podcałkową g(x):
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
ś
ciślej:
Przykłady:
C
x
1
n
1
dx
x
1
n
n
+
+
=
+
∫
∫ e
x
dx = e
x
+ C
∫ (1/x) dx = ln x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = - cos x + C
Wstawka matematyczna
[
]
C
x
f
dx
d
x
g
+
=
)
(
)
(
4
Całka oznaczona:
[
] [
]
∫
∫
=
=
−
=
+
−
+
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
g
a
f
b
f
C
a
f
C
b
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
Niech :
przyrost funkcji pierwotnej na przedziale [a,b]:
nazywamy całką oznaczoną.
)
(
)
(
)
(
a
f
b
f
dx
x
g
b
a
−
=
∫
CZYLI CAŁKA OZNACZONA TO:
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
gdzie:
Wstawka matematyczna
i
N
i
i
i
N
i
i
i
b
a
x
x
g
x
x
f
x
a
f
b
f
dx
x
g
∆
→
∆
=
∆
→
∆
=
−
=
∑
∑
∫
)
(
0
lim
)
(
0
lim
)
(
)
(
)
(
Znaczenie całki oznaczonej:
i
i
i
i
i
x
x
f
x
dx
x
df
x
g
∆
∆
→
∆
=
=
)
(
0
lim
)
(
)
(
i
i
i
x
x
g
x
f
∆
=
∆
)
(
)
(
∫
=
b
a
dx
x
g
S
)
(
Wstawka matematyczna
5
Przykłady całek:
Wstawka matematyczna
i
N
i
i
i
b
a
x
x
g
x
dx
x
g
∆
→
∆
=
∑
∫
)
(
0
lim
)
(
droga
dt
t
s
b
a
t
t
−
=
∫
)
(
v
zenie
przemieszc
dt
t
b
a
t
t
−
=
∆
∫
)
(
v
r
praca
d
W
−
=
∫
b
b
r
r
r
r
F )
(
10
Energia potencjalna i potencjał pola elektrycznego
Pole elektryczne jest polem zachowawczym (potencjalnym), wi
ę
c warto
ść
pracy
nie zale
Ŝ
y od wyboru drogi pomi
ę
dzy punktami A i B.
∫
−
=
−
=
−
B
A
AB
pA
pB
d
W
E
E
r
F
F
)
(
∫
−
=
B
A
pA
pB
d
q
E
E
r
E
Potencjał elektryczny
Potencjał elektryczny to energia potencjalna
podzielona przez jednostkowy ładunek czyli
V = E
p
/q
:
∫
−
=
B
A
A
B
d
V
V
r
E
Jednostk
ą
potencjału elektrycznego jest wolt (V); 1 V = 1 J/C.
∫
∑
=
∆
=
→
∆
B
A
i
i
AB
d
W
i
r
F
r
F
r
F
0
)
(
lim
6
11
W fizyce posługujemy si
ę
cz
ę
sto poj
ę
ciem ró
Ŝ
nicy potencjałów czyli napi
ę
ciem
U
.
Znak minus odzwierciedla fakt,
Ŝ
e
potencjał maleje w kierunku
wektora
E
.
∫
−
=
−
=
B
A
A
B
d
V
V
U
r
E
Czyli energia potencjalna dla ładunku punktowego
q
umieszczonego w polu
ładunku
Q
wynosi:
r
qQ
k
(r)
E
p
=
r
Q
k
r
kQ
dr
r
Q
k
V
V(r)
r
r
=
−
−
=
−
∞
=
∞
∞
∫
'
1
'
'
)
(
2
1) Potencjał pola ładunku punktowego
Q
:
przyjmujemu,
Ŝ
e:
0
)
(
=
∞
V
Przykłady:
2
r
Q
k
E(r)
=
12
2) Jednorodnie naładowana sfera
r
Q
k
V(r)
=
2
r
Q
k
E(r)
=
R
r
≥
R
Q
k
V(r)
=
R
r
<
0
=
E(r)
7
13
V(x,y)
Potencjał elektryczny mo
Ŝ
na przedstawi
ć
graficznie rysuj
ą
c
powierzchnie
lub
linie ekwipotencjalne
.
V(x,y)
-Q
+Q
X
Y
r
Q
k
r
V
=
)
(
Powierzchnia ka
Ŝ
dego przewodnika w stanie ustalonym jest powierzchni
ą
stałego
potencjału (powierzchni
ą
ekwipotencjaln
ą
). Wektor
E
jest prostopadły do powierzchni
przewodnika oraz do ka
Ŝ
dej powierzchni ekwipotencjalnej.
Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku gromadzi si
ę
na jego powierzchni
pole
E
wzdłu
Ŝ
powierzchni przewodnika równa si
ę
zeru
na powierzchni
∆
V = 0
14
Generator elektrostatyczny Van de Graaffa.
Elektrofor
8
15
dla N ładunków punktowych
∑
∑
=
∧
=
=
=
N
i
i
N
i
i
i
i
r
Q
k
1
1
2
r
E
E
Zasada superpozycji – potencjał i nat
ęŜ
enie
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowy potencjał
pola (energi
ę
potencjaln
ą
), obliczamy dodaj
ą
c skalarnie potencjały pól od
pojedynczych ładunków.
i
∑
∑
=
=
=
=
N
i
i
i
N
i
i
r
Q
k
V
V
1
1
0
=
−
=
r
q
k
r
q
k
V
oraz
Przykład :
dipol elektryczny
r
l
E
E
=
1
3
3
2
1
r
p
k
r
Ql
k
r
Q
k
r
l
E
r
l
E
=
=
=
=
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowe nat
ęŜ
enie
pola (sił
ę
wypadkow
ą
), obliczamy dodaj
ą
c wektorowo nat
ęŜ
enia pól od
pojedynczych ładunków.
16
Pojemno
ś
ci
ą
elektryczn
ą
nazywamy stosunek ładunku kondensatora
do ró
Ŝ
nicy potencjałów (napi
ę
cia) mi
ę
dzy okładkami.
Układ przewodników, który mo
Ŝ
e gromadzi
ć
ładunek elektryczny, przy przyło
Ŝ
onej ró
Ŝ
nicy
potencjałów, nazywamy kondensatorem, a te przewodniki okładkami kondensatora.
Jednostk
ą
pojemno
ś
ci jest farad (F); 1F = 1C/1V. Powszechnie stosuje si
ę
jednak mniejsze
jednostki:
µ
F, nF, pF.
U
Q
V
Q
C
=
∆
=
Pojemno
ś
ci
ą
elektryczn
ą
przewodnika nazywamy stosunek ładunku umieszczonego na
przewodniku do potencjału jaki ma ten przewodnik w polu elektrycznym wytworzonym przez
ten ładunek.
Definicj
ę
pojemno
ś
ci mo
Ŝ
na rozszerzy
ć
na przypadek pojedynczego izolowanego przewodnika
Przewodnik uwa
Ŝ
amy za jedn
ą
z okładek kondensatora, a druga okładka kondensatora
znajduje si
ę
w niesko
ń
czono
ś
ci i ma potencjał równy zeru.
Kondensatory i dielektryki
Pojemno
ść
elektryczna
9
17
pojemno
ść
kuli o promieniu R
V
Q
C
=
R
Q
k
V
=
R
k
R
C
0
4
πε
=
=
Przykłady:
kondensator płaski
0
ε
σ
=
E
l
El
d
U
B
A
0
ε
σ
=
=
−
=
∫
r
E
l
S
l
S
U
Q
C
El
U
0
0
ε
ε
σ
σ
=
=
=
=
Pojemno
ść
zale
Ŝ
y od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego poło
Ŝ
enia
A
B
r
18
Umieszczenie dielektryka (izolatora) pomi
ę
dzy okładkami
kondensatora zwi
ę
ksza jego pojemno
ść
ε
r
razy:
ε
r
nazywamy wzgl
ę
dn
ą
przenikalno
ś
ci
ą
elektryczna lub stał
ą
dielektryczn
ą
Materiał
Stała dielektryczna
pró
Ŝ
nia
powietrze
teflon
polietylen
papier
szkło (pyrex)
porcelana
woda
TiO
2
1.0000
1.0005
2.1
2.3
3.5
4.5
6.5
78
100
Kondensator z dielektrykiem
r
C
C
ε
=
0
10
19
Praca zu
Ŝ
yta na przeniesienie porcji ładunku
dq
pomi
ę
dzy okładkami
przy panuj
ą
cej w danej chwili ró
Ŝ
nicy potencjałów
U=∆V.
Ładowanie kondensatora pró
Ŝ
niowego.
C
U
C
Q
q
C
q
q
U
W
Q
Q
2
2
0
0
2
1
2
1
d
d
=
=
=
=
∫
∫
Energia pola elektrycznego
∑
=
i
i
i
q
U
W
d
20
Dla poł
ą
czenia równoległego ró
Ŝ
nica potencjałów mi
ę
dzy
okładkami wszystkich kondensatorów jest taka sama
(poł
ą
czone okładki stanowi
ą
jeden przewodnik).
3
3
2
2
1
1
C
q
C
q
C
q
V
=
=
=
∆
(
)
3
2
1
3
2
1
3
2
1
C
C
C
V
V
C
C
C
V
q
q
q
V
Q
C
+
+
=
∆
∆
+
+
=
∆
+
+
=
∆
=
Przy poł
ą
czeniu szeregowym ładunek wprowadzony na
okładki zewn
ę
trzne wywołuje równomierny rozkład
(rozdzielenie) ładunku pomi
ę
dzy okładkami wewn
ę
trznymi.
3
3
2
2
1
1
C
V
C
V
C
V
q
∆
=
∆
=
∆
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
1
1
1
C
C
C
q
C
q
C
q
C
q
q
V
V
V
q
V
C
+
+
=
+
+
=
∆
+
∆
+
∆
=
∆
=
Baterie kondensatorów