Zastosowania fizyczne całek

Obszar płaski

Bryła

Krzywa K

Powierzchnia S

M

Masa

M =

∬

D

 x , y d 

M =

∭



 x , y , z  dV

M =

∫

K

 x , y , z  d l

M =

∬

S

 x , y , z dS

M

L 

moment statyczny

  

∬

D

 x , y R x , y  d 

∭



 x , y  R  x , y d V

∫

K

 x , y  R  x , y d l

∬

S

 x , y R x , y  d S

B

L

 

moment bezwładności

∬

D

 x , y R

2

 x , y  d 

∭



 x , y  R

2

 x , y d V

∫

K

 x , y  R

2

 x , y d l

∬

S

 x , y R

2

 x , y  d S

S (x

0

,y

0

,z

0

)

ś

rodek cięŜkości

x

0

=

M

y

m

, y

0

=

M

x

m

x

0

=

M

yz

m

, y

0

=

M

xz

m

, z

0

=

M

xy

m

x

0

=

M

yz

m

, y

0

=

M

xz

m

, z

0

=

M

xy

m

dla krzywej płaskiej 

x

0

=

M

y

m

, z

0

=

M

x

m

x

0

=

M

yz

m

, y

0

=

M

xz

m

, z

0

=

M

xy

m

Oznaczenia:

 x , y 

 g

ę

sto

ść

 obszaru D, krzywej płaskiej K.

 x , y , z 

G

ę

sto

ść

 obj

ę

to

ś

ciowa, powierzchniowa krzywej w 

R

3

R x , y , R  x , y , z 

 odległość dowolnego punktu P(x,y) lub P(x,y,z) od punktu, prostej, płaszczyzny, względem których szukamy

momentu
dla ciał jednorodnych 

 x , y  ,  x , y , z 

= const

M

x

, M

y

- odległość na płaszczyźnie od osi współrzędnych:  

M

x

=∣y∣, M

y

=∣x∣

M

xz

, M

zy

, M

yz

- odległość w przestrzeni od płaszczyzny układu 

M

xz

=∣x∣, M

zy

=∣y∣, M

yz

=∣z∣