Całka krzywoliniowa skierowana

DEFINICJA 

Łuk gładki, w którym jeden z dwóch kooców nazwano początkiem, a drugi koocem, 
nazywamy łukiem gładkim skierowanym (zorientowanym).  

Całka krzywoliniowa skierowana

DEFINICJA 

Łuk gładki opisany równaniami parametrycznymi 𝐾: 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑡 ∈  𝛼, 𝛽  jest: 

- skierowany zgodnie z jego parametryzacją, gdy jego początkiem jest punkt A= 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛼  , 

a koocem jest punkt 𝐵 =  𝑥 𝛽 , 𝑦 𝛽  ; oznaczamy 𝐴𝐵

   

- skierowany przeciwnie z jego parametryzacją, gdy jego początkiem jest punkt 

 𝐵 =  𝑥 𝛽 , 𝑦 𝛽  , a koocem jest punkt A= 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛼   ; oznaczamy 𝐵𝐴

   

UWAGA 

Łuki 𝐴𝐵

   i 𝐵𝐴

   nazywamy przeciwnie skierowanymi;  𝐴𝐵

  = −𝐵𝐴

  . 

Łuk przeciwnie skierowany do łuku 𝐾 oznaczamy – 𝐾. 

Całka krzywoliniowa skierowana

DEFINICJA 

Krzywa zamknięta kawałkami gładka jest skierowana dodatnio, gdy poruszając się po tej 
krzywej zgodnie z jej skierowaniem najbliższe punkty wnętrza tej krzywej mamy z lewej 
strony. 

Krzywa zamknięta kawałkami gładka jest skierowana ujemnie, gdy poruszając się po tej 
krzywej zgodnie z jej skierowaniem najbliższe punkty wnętrza tej krzywej mamy z prawej 
strony. 

Całka krzywoliniowa skierowana

DEFINICJA (CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA) 

Rozważmy dwie funkcje 𝑃 i 𝑄 określone w każdym punkcie  𝑥, 𝑦  łuku gładkiego 
skierowanego 𝐾 o początku 𝐴 i koocu B. 

Dzielimy łuk 𝐾 punktami 𝐴 = 𝐴

0

, 𝐴

1

, 𝐴

2

, . . ., 𝐴

𝑛−1

, 𝐴

𝑛

= 𝐵 na 𝑛 łuków częściowych 

𝑙

1

, 𝑙

2

, … , 𝑙

𝑛

; 𝑙

𝑖

= 𝐴

𝑖−1

𝐴

𝑖

 dla 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. 

Niech  𝑙

𝑖

  oznacza długośd łuku 𝑙

𝑖

 dla 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. 

Niech 𝛿

𝑛

= 𝑚𝑎𝑥  𝑙

1

 ,  𝑙

2

 , … ,  𝑙

𝑛

    oznacza średnicę danego podziału. 

Niech 𝐴

𝑖

=  𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

 ,   ∆𝑥

𝑖

= 𝑥

𝑖

− 𝑥

𝑖−1

,   ∆𝑦

𝑖

= 𝑦

𝑖

− 𝑦

𝑖−1

 dla 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. 

Całka krzywoliniowa skierowana

Na każdym łuku częściowym 𝑙

𝑖

  wybieramy punkt pośredni  𝑥

𝑖

  , 𝑦

𝑖

   i tworzymy sumę  

𝑆

𝑛

=  

 𝑃 𝑥

𝑖

  , 𝑦

𝑖

  ∆𝑥

𝑖

+ 𝑄 𝑥

𝑖

  , 𝑦

𝑖

  ∆𝑦

𝑖

 

𝑛

𝑖=1

. 

Tworzymy normalny ciąg podziałów łuku 𝐾 na łuki częściowe (tzn. → 0 dla 𝑛 → ∞) i 
odpowiadający mu ciąg  𝑆

𝑛

 . 

Rozważmy granicę lim

𝑛→∞

𝑆

𝑛

= lim

𝑛→∞

 

 𝑃 𝑥

𝑖

  , 𝑦

𝑖

  ∆𝑥

𝑖

+ 𝑄 𝑥

𝑖

  , 𝑦

𝑖

  ∆𝑦

𝑖

 

𝑛

𝑖=1

. 

Całka krzywoliniowa skierowana

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów łuku 𝐾 i każdego wyboru punktów 
pośrednich  𝑥

𝑖

  , 𝑦

𝑖

   na łukach częściowych istnieje ta sama skooczona granica ciągu  𝑆

𝑛

 , to 

tę granicę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną (zorientowaną) pary funkcji 𝑃 i 𝑄 po 
łuku gładkim skierowanym 𝐾 o początku w punkcie 𝐴 i koocu w punkcie 𝐵 i oznaczamy 

symbolem 

  𝑃 𝑥, 𝑦 

𝐾

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 lub   𝑃 𝑥, 𝑦 

𝐴𝐵

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦. 

  𝑃 𝑥, 𝑦 

𝐾

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 ≝ lim

𝑛→∞

  𝑃 𝑥

𝑖

  , 𝑦

𝑖

  ∆𝑥

𝑖

+ 𝑄 𝑥

𝑖

  , 𝑦

𝑖

  ∆𝑦

𝑖

 

𝑛

𝑖=1

. 

Całka krzywoliniowa skierowana

 

UWAGA 

  𝑃 𝑥, 𝑦 

−𝐾

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = −   𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

𝐾

 

Całka krzywoliniowa skierowana

TWIERDZENIE 

Jeżeli krzywą skierowaną kawałkami gładką 𝐾 można podzielid na 𝑛 łuków gładkich 
𝐾

1

, … , 𝐾

𝑛

 , to 

  𝑃 𝑥, 𝑦 

𝐾

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 =     𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

𝐾

𝑖

𝑛

𝑖=1

 

Całka krzywoliniowa skierowana

UWAGA 

Całkę krzywoliniową skierowaną funkcji 𝑃 i 𝑄 po krzywej zamkniętej oznaczamy 

  𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 

𝐾

𝑑𝑦 

Całka krzywoliniowa skierowana

TWIERDZENIE  

Jeżeli funkcje 𝑃, 𝑄 są ciągłe na łuku gładkim skierowanym 𝐾, to są całkowalne na tym łuku. 

Całka krzywoliniowa skierowana

INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ KIEROWANEJ 

Całka krzywoliniowa skierowana pary funkcji 𝑃, 𝑄 ciągłych na gładkim łuku skierowanym 𝐾 

jest równa pracy zmiennej siły 𝐹  𝑥, 𝑦  =  𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦   na łuku 𝐾 . 

𝑊 =   𝑃 𝑥, 𝑦 

𝐾

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 

Całka krzywoliniowa skierowana

ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ SKIEROWANEJ NA OZNACZONĄ 

TWIERDZENIE 

Jeżeli funkcje 𝑃, 𝑄 są ciągłe na łuku gładkim  

𝐾: 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑡 ∈  𝛼, 𝛽  

skierowanym zgodnie z jego parametryzacją, to 

  𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 =    𝑃 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡  𝑥

′

 𝑡  + 𝑄 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡  𝑦′ 𝑡  𝑑𝑡

𝛽

𝛼

𝐾

. 

Całka krzywoliniowa skierowana

UWAGA 

Jeżeli łuk 𝐾 ma początek w punkcie  𝑥 𝛽 , 𝑦 𝛽   a koniec w punkcie  𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛼  , to  

  𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 =    𝑃 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡  𝑥

′

 𝑡  + 𝑄 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡  𝑦′ 𝑡  𝑑𝑡

𝛼

𝛽

𝐾

. 

Całka krzywoliniowa skierowana

ZWIĄZEK CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ SKIEROWANEJ Z CAŁKĄ PODWÓJNĄ 

TWIERDZENIE GREENA 

Jeżeli funkcje 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦  oraz ich pochodne 𝑃

𝑦

′

, 𝑄

𝑥

′

 są ciągłe na obszarze 𝐷 normalnym 

względem  obu  osi  układu  współrzędnych,  a  brzegiem  obszaru  𝐷  jest  skierowana  dodatnio 
krzywa kawałkami gładka 𝐾, to  

  𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 =    𝑄

𝑥

′

 𝑥, 𝑦  − 𝑃

𝑦

′

 𝑥, 𝑦  

𝐷

𝐾

𝑑𝑥𝑑𝑦. 

Całka krzywoliniowa skierowana

NIEZALEŻNOŚĆ CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ SKIEROWANEJ OD DROGI CAŁKOWANIA 

DEFINICJA 

Obszar  𝐷  nazywamy  jednospójnym,  gdy  wnętrze  każdej  krzywej  zamkniętej  zawartej  w 
obszarze 𝐷 również zawiera się w tym obszarze. 

Całka krzywoliniowa skierowana pary funkcji 𝑷, 𝑸 nie zależy od wyboru drogi całkowania 
w jednospójnym obszarze 𝐷, jeżeli dla każdych dwóch krzywych kawałkami gładkich 𝐾

1

,  𝐾

2

 o 

wspólnym początku i wspólnym koocu, zawartych w obszarze 𝐷 zachodzi równośd: 

  𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 =

𝐾

1

  𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

𝐾

2

. 

Całka krzywoliniowa skierowana

UWAGA 

Jeżeli  całka  krzywoliniowa  skierowana  pary  funkcji  𝑃, 𝑄  nie  zależy  od  wyboru  drogi 
całkowania, to 

  𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

𝐵

𝐴

 

oznacza  całkę  krzywoliniową  skierowaną  funkcji  𝑃, 𝑄  po  dowolnej  krzywej  kawałkami 
gładkiej zawartej w obszarze 𝐷, o początku w punkcie  𝐴 i koocu w punkcie 𝐵. 

Całka krzywoliniowa skierowana

TWIERDZENIE 

Jeżeli funkcje 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦  oraz ich pochodne 𝑃

𝑦

′

 i 𝑄

𝑥

′

 są ciągłe na jednospójnym obszarze 

𝐷, to równoważne są następujące warunki: 

1)  𝑄

𝑥

′

 𝑥, 𝑦  = 𝑃

𝑦

′

 𝑥, 𝑦  dla  𝑥, 𝑦  ∈ 𝐷, 

2)  wyrażenie 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 jest różniczką zupełną pewnej funkcji na  

obszarze 𝐷, 

3)  całka  krzywoliniowa  skierowana  pary  funkcji  𝑃, 𝑄  nie  zależy  od  drogi  całkowania  w 

obszarze 𝐷. 

Całka krzywoliniowa skierowana

Całka krzywoliniowa skierowana