Wp r o wa d z e ni e d o o pi s u, a n a l iz y i sy m ul a c ji d y n a m ik i o b i e k t ó w
ACzemplik (rękopis)
- 35 -
2. Charakterystyki statyczne
2.1. Wprowadzenie
Najprostszy opis własności obiektu zawiera jego model statyczny (
). Na tej podstawie
moŜna wyznaczyć wzory opisujące kaŜdą zmienną wyjściową obiektu w zaleŜności od jego
zmiennych wejściowych i przedstawić charakterystyki statyczne. Określenie, które ze
zmiennych są wejściami a które wyjściami wynika z interpretacji fizycznej modelu – wartości
na wejściach są zdeterminowane przez źródła niezaleŜne od stanu obiektu (ustalane poza
granicami obiektu) a wartości na wyjściach efektem działania opisywanych procesów.
Wartości pozostałych parametrów modelu wynikają głównie z wymiarów obiektu i własności
fizycznych materiałów w określonych warunkach. Stałe wartości tych parametrów są zawsze
wynikiem przyjętych załoŜeń (np. stała temperatura, pomijalny wpływ ciśnienia).
2.2. Przykład – statyczny układ spręŜyn
Proste połączenie dwóch spręŜyn o róŜnych współczynnikach sztywności c
1
i c
2
, na które
działa siła F (Rys. II-1) moŜna opisać algebraicznym układem równań:
x
1
F
c
1
c
2
x
2
Rys. II-1. Połączenie dwóch spręŜyn
(
)
(
)
−
−
1
2
2
2
1
2
1
1
0
x
x
c
=
F
x
x
c
+
x
c
=
(II-1)
Siła F jest zmienną wejściową układu, natomiast połoŜenia końców spręŜyn x
1
i x
2
są
zmiennymi wyjściowymi, które moŜna wyznaczyć analitycznie:
1
1
c
F
x =
oraz
F
c
c
c
x
2
2
1
2
+
=
(II-2)
Na tej podstawie moŜna narysować charakterystyki statyczne układu postaci jak na Rys. II-2.
W operacji rysowania wykresów wskazane jest wykorzystanie wektorów wartości –
zdefiniowanie wektora wartości zmiennej wejściowej
F oraz wzoru do wygenerowania
wektora wielkości wyjściowe
x
1
:
F=[0:1:100];
x1=c1.*F;
plot(F, x1);
x
1
F
x
2
F
Rys. II-2. Charakterystyki statyczne układu
Do przeprowadzenia symulacji konieczna jest znajomość wartości współczynników c
1
i c
2
,
które moŜna obliczyć na podstawie znajomości kształtu i materiału spręŜyny. MoŜna je
równieŜ wyznaczyć na podstawie pojedynczego pomiaru wartości zmiennych (F
0
, x
10
, x
20
),
które naleŜy podstawić do układu (II-1) i rozwiązać względem c
1
i c
2
:
10
0
1
x
F
c =
oraz
10
20
0
2
x
x
F
c
−
=
(II-3)
PoniewaŜ model (II-1) jest liniowy, więc wszystkie powyŜsze działania moŜna zapisać
macierzowo. Jeśli siła i przesunięcia są zmiennymi układu, to zapis macierzowy ma postać:
−
−
+
=
2
1
2
2
2
2
1
0
x
x
c
c
c
c
c
F
lub symbolicznie
Cx
F
=
(II-4)
gdzie F i x to wektory zmiennych, C – macierz współczynników
1
. Stąd wektor zmiennych
wyjściowych x:
F
C
x
1
−
=
(II-5)
1
NaleŜy rozróŜniać wektor wartości zmiennej, np.
F
i wektor zmiennych wejściowych F (analogicznie jak
wektor wartości zmiennej
x
1
lub
x
2
i wektor zmiennych x zawierający zmienne
x
1
i
x
2
).
A:
I.1.1.2
M:
I.2.3.1
Wp r o wa d z e ni e d o o p is u , a n a l i zy i s y m ul a c j i d y n a m i k i o b i e k t ó w
ACzemplik (rękopis)
- 36 -
MoŜna teŜ przy uŜyciu macierzy wyznaczyć wartości współczynników na podstawie
pomiarów siły i przesunięć (F
0
, x
10
, x
20
). W tym celu model (II-1) lepiej zapisać w postaci:
−
−
=
2
1
1
2
2
1
1
0
0
c
c
x
x
x
x
x
F
lub symbolicznie
Xc
F
=
(II-6)
gdzie tym razem F i c występują w roli wektorów zmiennych, a X w roli macierzy
współczynników, co pozwala wyznaczyć wektor c:
F
X
c
1
−
=
(II-7)
Ręczne wykonywanie operacji ma macierzach moŜe być kłopotliwe (np. przy odwracaniu
duŜych macierzy), ale programy symulacyjne są wyspecjalizowane w tego typu działaniach.
Są to jednak operacje na wartościach, więc:
− nie będzie moŜliwości analizy postaci funkcji (poŜyteczne, choć nie zawsze konieczne),
− łatwo obliczyć pojedyncze wartości, np. współczynniki c
1
i c
2
ze wzoru (II-7),
− trudniej wygenerować wektory wartości zmiennej, która juŜ jest wektorem - na przykład
w celu narysowania charakterystyk statycznych dla wektora zmiennych x na podstawie
(II-5) trzeba by operować na macierzach wielowymiarowych albo rozpisać wzór na
elementy wektora x i uŜyć pętli.
2.3. Zadania
2.3.1.
Charakterystyki statyczne pomieszczenia z grzejnikiem
Dla pomieszczenia z grzejnikiem elektrycznym (Rys. II-3) moŜna skonstruować bilans
ciepła dostarczanego przez grzejnik i traconego przez zewnętrzne ściany o współczynniku
strat K
cw
:
T
zew
T
wew
q
g
K
cw
Rys. II-3. Pomieszczenie z grzejnikiem
(
)
zew
wew
cw
g
T
T
K
q
−
−
=
0
(II-8)
Obiekt ma dwie zmienne wejściowe: moc grzejnika elektrycznego (q
g
) i temperatura na
zewnątrz (T
zew
). Z wykonanych pomiarów wiadomo, Ŝe dla q
g
=1000 W i T
zew
=-20 °C,
temperatura wewnątrz pomieszczenia T
wew
wynosi 20°C.
Wyznacz wzór i narysuj charakterystyki statyczne układu (dwu- lub trój-wymiarowe).
Uwagi:
- wyznacz współczynnik strat na podstawie dostępnych pomiarów,
- dobierz realne zakresy zmiennych na charakterystykach,
- opisz wykresy (osie, rodziny krzywych), uŜyj siatki, wprowadź zróŜnicowanie linii dla
poszczególnych wykresów.
2.3.2.
Charakterystyki układu elektrycznego
Przedmiotem kolejnej analizy jest szeregowo-równoległe połączenie dwóch rezystorów i
potencjometru (Rys. II-4).
R
2
U
R
1
R
o
Rys. II-4. Dzielnik napięcia
Określ wejścia, wyjścia i parametry układu. Wyznacz charakterystyki statyczne układu.
Kiedy trzeba uwzględnić rezystancje przewodów łączących? Jak to wpłynie na opis układu?
M:
I.2.2.1
M:
I.2.4.1