I Rozwiązać równania:
1.
1
1−x
+
1
1+x
= 0
zał: x ∈ R\{−1, 1}; rozw: x ∈ ∅
2.
x+3
x+2
−
x−3
x−2
=
x
2
x
2
−4
+ 1
zał: x ∈ R\{−2, 2}; rozw: x ∈ {−1}
3.
x
x+2
+
1
x−2
=
4
(x−2)(x+2)
zał: x ∈ R\{−2, 2}; rozw: x ∈ {−1}
4.
5x
2
−32x+3
x
2
−4x+3
= 2 −
9−3x
x−1
zał: x ∈ R\{1, 3}; rozw: x ∈ {−5}
5.
5x
2
−32x+3
x
2
−4x+6
=
10
2−x
− 3
zał: x ∈ R\{2, 3}; rozw: x ∈ {
2
3
, 1}
6. |
3
x+1
| = 1
zał: x ∈ R\{−1}; rozw: x ∈ {−4, 2}
7. |x
2
− 3| = 9
zał: x ∈ R; rozw: x ∈ {2
√
3, −2
√
3}
8.
3
|x|+2
= 1
zał: x ∈ R; rozw: x ∈ {−1, 1}
9.
2
|3x−1|−1
= 1
zał: x ∈ R\{
2
3
, 0}; rozw: x ∈ {−
2
3
}
10.
x
x−1
=
1
2
|x − 2| + 2
zał: x ∈ R\{1}; rozw: x ∈ {2}
11.
5x+11
x+2
= |x + 1| + 6
zał: x ∈ R\{−2}; rozw: x ∈ {−1}
12.
4|x|−3
x
= x
zał: x ∈ R\{0}; rozw: xin{−3, −1, 1, 3}
13.
√
4 − x =
√
5 − 2x
zał: x ∈ (−∞;
5
2
]; rozw: x ∈ {1}
14.
√
4 − x = −
√
5 − 2x
zał: x ∈ (−∞;
5
2
]; rozw: x ∈ ∅
15.
√
2 − x =
√
x − 5
zał: x ∈ (−∞; 2) ∪ (5; +∞); rozw: x ∈ ∅
16.
√
2 − x =
√
x
2
− 4
zał: x ∈ (−∞; −2) ∪ {2}; rozw: x ∈ {−3, 2}
17.
√
3 − 2x =
√
x + 1
zał: x ∈ [−1;
3
2
] ∪ {2}; rozw: x ∈ {
2
3
}
18.
√
9 − x
2
=
√
6 − 2x
zał: x ∈ [−3; 3]; rozw: x ∈ {−1, 3}
19. x +
√
x
2
− 1 = 0
zał: x ∈ (∞; −1] ∪ [1; +∞); rozw: x ∈ ∅
20. 2x +
√
x
2
+ 1 = 0
zał: x ∈ R; rozw: x ∈ {−
√
3
3
}
21.
√
x
2
= 4
zał: x ∈ R; rozw: x ∈ {−4, 4}
22. (
√
x)
2
= 4
zał: x ∈< 0, +∞); rozw: x ∈ {4}
II Rozwiązać nierówność.
1.
1
x
> −1
zał: x ∈ R\{0}; rozw: x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, +∞)
2.
3−x
x+2
< 0
zał: x ∈ R\{−2}; rozw: x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞)
3.
2x−3
x
2
−1
2
zał: x ∈ R\{−1, 1}; rozw: x ∈ (−1, 1)
4.
x
x
2
−5x+6
¬
1
x−2
zał: x ∈ R\{2, 3}; rozw: x ∈ (2, 3)
5.
(x−1)
3
x
3
(x−2)
2
zał: x ∈ R\{0, 2}; rozw: x ∈ (0, 1)
6.
x
2
−5
x
< x + 1
zał: x ∈ R\{0}; rozw: x ∈ (−∞, −5) ∪ (0, +∞)
7.
x
2
−1
2x+5
¬ 3
zał: x ∈ R\{−
5
2
}; rozw: x ∈ (−∞, −
5
2
) ∪ (−2, +∞)
1
8. |
1
3
x − 1| < 5
zał: x ∈ R; rozw: x ∈ (−12, 18)
9. |
2x−1
x+2
| < 2
zał: x ∈ R\{−2}; rozw: x ∈ (−
3
4
, +∞)
10. |
x+2
x−1
| > 3
zał: x ∈ R\{1}; rozw: x ∈ (
1
4
, 1) ∪ (1, 2
1
2
)
11.
x
2
−4
4|x|−x
2
> 0
zał: x ∈ R\{−4, 0, 4}; rozw: x ∈ (−4, −2) ∪ (2, 4)
12.
2|2x−2|+1
x+2
> 1
zał: x ∈ R\{−2}; rozw: x ∈ (−2, 1) ∪ (
3
5
, +∞)
13. |3x − 5| < |x + 9|
zał: x ∈ R; rozw: x ∈ (−1, 7)
14.
√
x
2
− 1 < x
zał: x ∈ R\ < −1, 1 >; rozw: x ∈ {1}
15.
√
x
2
− 1 ¬ x − 1
zał: x ∈ R\ < −1, 1 >; rozw: x ∈ (1, +∞)
16.
√
x
2
− 1 > 1 − 2x
zał: x ∈ R\ < −1, 1 >; rozw: x ∈ (1, +∞)
17.
√
x
2
− 16 < 2 − x
zał: x ∈ R\ < −4, 4 >; rozw: x ∈ (−∞, −4)
III Obliczyć:
log
3
9,
log
4
1,
log
7
7
3
,
log
2
16,
log
2
1
4
,
log
5
0, 04,
log
0,5
32,
log 0, 0001,
log
1
3
9,
log
3
√
100,
log
√
2
2
√
2,
log
1
9
3
3
√
9.
IV Rozwiązać równania:
log
1
2
= −3,
log
2
(x + 1) = 5,
log
√
2
(
1
x
− 3) = 4,
log
0,1
(2x + 1) = −1,
log
x
4 = 2,
log
x
125 = 3, 2
x
= 7,
7
5x−2
= 18,
(
1
2
)
x+2
= 3,
(
2
3
)
1−x
= −2.
V Rozwiązać równania i nierówności:
1. log(x − 2) + log(2x − 3) = 1
zał: x ∈ (2, +∞); rozw: x ∈ (4, −
1
2
)
2. log
4
(x + 3) − log
4
(x − 1) = 2 − log
4
8
zał: x ∈ (1, +∞); rozw: x ∈ {5}
3. log
2
(x − 2) − 1 = log
2
(2x − 4) − log
2
(x + 2)
zał: x ∈ (2, +∞); rozw: x ∈ {6}
3. log
1
3
(x+10)+log
1
3
(7−2x) = −4
zał: x ∈ (−10,
7
2
); rozw: x ∈ {−1, −
10
2
}
4. log
2
x + 2 = 3 log x
zał: x ∈ (0, +∞); rozw: x ∈ {10, 100}
2. log
2
(x + 2) + log
2
(x + 14) < 6
zał: x ∈ (6, +∞); rozw: x ∈ (8, +∞)
3. log
1
2
(2x − 1) + log
1
2
(5 − 3x) 0
zał: x ∈ (
1
2
,
5
3
); rozw: x ∈ (
1
2
,
2
3
) ∪ (
3
2
,
5
2
)
4. log
√
2
|x + 1| + log
√
2
|x| > 2
zał: x ∈ {1, 0}; rozw: x ∈ (−∞, −2) ∪ (1, +∞)
5. log
4
(2x − 6) < 2 − log
4
(3x − 11)
zał: x ∈ (
11
3
, +∞); rozw: x ∈ (
11
3
, 5)
6. log
4
log
3
log
2
x = 0
zał: x ∈ (2, +∞); rozw: x ∈ {8}
7. log
1
3
log
4
(x
2
−5) > 0
zał: x ∈ (−∞, −
√
6)∪(
√
6, +∞); rozw: x ∈ (−3, −
√
6)∪(
√
6, 3)
8. |3 log x − 1| < 2
zał: x ∈ (0, +∞); rozw: x ∈ (
3
√
0, 1, 10)
9. log
2
(1 −
1
x
) 1
zał: x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞); rozw: x ∈ (−1, 0)
10. log
1
2
(1 −
1
x
) 1
zał: x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞); rozw: x ∈ (1, 2)
2