Zastosowanie matematyki w ekonomii i zarządzaniu
3. Funkcje elementarne
ZADANIA:
3.1. RozwiąŜ równania:
a)
0
4
2
3
=
+
+
−
x
x
,
b)
x
x
x
3
6
2
2
=
−
+
+
,
c)
x
x
x
=
+
−
+
15
8
129
2
,
d)
1
9
3
2
3
1
3
=
−
−
+
x
x
,
e)
1
2
3
9
+
=
x
x
,
f)
5
3
3
3
3
1
1
2
=
+
⋅
−
−
+
x
x
,
g)
2
3
3
4
8
+
−
=
x
x
.
3.2. Oblicz:
a)
8
log
2
,
b)
10
log
3
3
,
c)
8
log
2
4
4
,
d)
9
log
3
8
log
4
2
+
,
e)
3
log
4
3
log
2
2
4
1
−
,
f)
(
)
2
log
8
log
5
,
0
100
3
−
⋅
.
3.3. RozwiąŜ równania:
a)
2
81
log
=
x
,
b)
2
log
5
=
x
,
c)
2
16
log
−
=
x
,
d)
3
27
1
log
=
x
,
e)
4
log
)
log
2
(log
2
3
3
3
=
+
x
,
f)
3
1
1
2
log
2
=
−
+
x
x
,
g)
2
2
log
)
1
(
log
3
3
=
−
+
x
x
,
h)
1
)
3
2
(
log
)
2
3
(
log
2
2
=
+
+
+
x
x
,
i)
9
log
1
4
2
log
4
log
2
2
2
=
+
−
+
−
x
x
,
j)
6
log
3
3
=
x
,
k)
8
4
4
log
=
x
,
l)
8
27
log
3
=
x
,
m)
0
1
16
log
2
=
+
x
,
n)
27
9
3
1
2
2
=
+
−
−
x
x
.
3.4. Wyznacz funkcje odwrotne do danych:
a)
2
4
+
=
x
y
,
b)
2
4
+
=
x
y
,
c)
2
1
2
−
=
x
y
,
d)
3
5
2
+
=
x
y
.
3.5. Dane są funkcje odwrotne. Znajdź funkcje wyjściowe:
a)
x
x
x
f
1
5
)
(
1
+
=
−
, b)
4
6
9
)
(
2
1
+
−
=
−
x
x
x
f
, c)
x
x
f
1
)
(
1
=
−
, d)
4
2
)
(
1
−
=
−
x
x
f
.
3.6. Oblicz iloraz róŜnicowy oraz określ monotoniczność funkcji dla
1
0
, x
x
x
∈
, mając dane:
a)
2
3
2
−
=
x
y
dla
3
,
2
1
0
=
=
x
x
,
b)
3
1
2
+
−
=
x
x
y
dla
5
,
2
0
=
∆
=
x
x
,
c)
10
3
+
=
x
y
dla
2
,
3
1
0
−
=
−
=
x
x
.
ZASTOSOWANIA W EKONOMII:
3.7. Koszty całkowite przedsiębiorstwa dane są funkcją
50
6
2
2
3
+
+
−
=
x
x
x
TC
. Zapisz
funkcje:
a) kosztów zmiennych,
b) kosztów stałych,
c) przeciętnych kosztów całkowitych,
d) przeciętnych kosztów stałych,
e) przeciętnych kosztów zmiennych.
3.8. Krzywa moŜliwości produkcyjnych przedsiębiorstwa dana jest funkcją
5
+
−
=
x
y
.
Określ monotoniczność funkcji w przedziale, w którym funkcja ta ma sens ekonomiczny.
Oblicz iloraz róŜnicowy dla tego przedziału oraz podaj jego interpretację ekonomiczną.
3.9. Krzywa moŜliwości produkcyjnych przedsiębiorstwa dana jest funkcją
18
2
2
+
−
=
x
y
.
a) Określ monotoniczność funkcji w przedziale, w którym funkcja ta ma sens.
b) Oblicz iloraz róŜnicowy dla zmiany produkcji dobra x z 2 do 3 jednostek oraz podaj jego
interpretację ekonomiczną.
c) Oblicz iloraz róŜnicowy dla zmiany produkcji dobra y z 10 do 5,5 jednostek oraz podaj
jego interpretację ekonomiczną.
3.10. Krzywa moŜliwości produkcyjnych przedsiębiorstwa dana jest funkcją
5
,
0
1
1
+
+
=
x
y
.
Dla
5
,
1
∈
x
wykonaj następujące polecenia:
a) Określ monotoniczność funkcji w podanym przedziale.
b) Oblicz iloraz róŜnicowy dla zmiany produkcji dobra x z 2 do 5 jednostek oraz podaj jego
interpretację ekonomiczną.
c) Oblicz iloraz róŜnicowy dla zmiany produkcji dobra y z 0,75 do 1 jednostki oraz podaj jego
interpretację ekonomiczną.
3.11. Oblicz i zinterpretuj współczynnik elastyczności cenowej popytu dla zmiany ceny z
poziomu 10 zł do 12 zł, jeŜeli funkcja popytu dana jest równaniem
P
P
Q
2
28
)
(
−
=
.
3.12. Oblicz i zinterpretuj współczynnik elastyczności cenowej podaŜy opisanej funkcją
1
5
,
0
)
(
−
=
P
P
Q
dla zmiany ceny z poziomu 5 zł do 7 zł.
3.13. Oblicz, po ilu latach kapitał wpłacony na lokatę w banku się podwoi, jeŜeli wpłacono
kwotę 5000 zł, a roczne oprocentowanie lokaty wynosi 6% (przy załoŜeniu rocznej
kapitalizacji odsetek).
3.14. Oblicz, jakie jest oprocentowanie lokaty, jeŜeli przy ciągłej kapitalizacji odsetek
wpłacona kwota podwoi się po 5 latach.
3.15. PKB (PPP) per capita Polski wynosi 17 tys. USD, PKB (PPP) per capita Niemiec to 34
tys. USD. Oblicz, jaka musi być stopa wzrostu gospodarczego w Polsce, aby w ciągu 20 lat
dogonić Niemcy, przy załoŜeniu, Ŝe w Niemczech w tym czasie będzie stałe tempo wzrostu
gospodarczego na poziomie:
a) 0% rocznie (stałe PKB),
b) 1% rocznie,
c) 2% rocznie.
3.16. PKB per capita w Polsce to 12 tys. USD. Zakładając, Ŝe tempo wzrostu gospodarczego
w Polsce utrzyma się na stałym poziomie 5% rocznie, oblicz, w ciągu ilu lat Polska osiągnie
ś
redni poziom PKP per capita w Unii Europejskiej – 27 tys. USD.
WZORY:
Logarytm:
0
,
1
,
0
gdzie
,
log
>
≠
>
=
⇔
=
x
b
b
x
b
y
x
y
b
.
Wybrane reguły dla logarytmów:
v
u
v
u
b
b
b
log
log
)
(
log
+
=
⋅
,
v
u
v
u
b
b
b
log
log
log
−
=
,
u
u
b
b
log
log
α
α
=
,
x
b
x
b
=
log
,
b
c
c
b
log
1
log
=
,
b
c
c
p
p
b
log
log
log
=
.
)
(log
)
(log
log
u
c
u
c
b
b
⋅
=
.
Iloraz róŜnicowy
α
tg
x
x
y
y
u
=
−
−
=
0
1
0
1
.
Elastyczność cenowa popytu:
−
−
⋅
∆
∆
=
Q
P
P
Q
Edp
.
Elastyczność cenowa podaŜy:
−
−
⋅
∆
∆
=
Q
P
P
Q
Esp
.