CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE
Definicja
Funkcję f (x) =
W (x)
Q(x)
nazywamy funkcją wymierną właściwą, gdy stW (x) < stQ(x).
Fakt Każdą funkcję wymierną niewłaściwą f (x) =
P (x)
Q(x)
( gdzie stP (x) > stQ(x)) można przedstawić
w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej poprzez wykonanie dzielenia wielomianów
P (x) : Q(x). Np.
x
4
+x−2
x
2
+1
= x
2
− 1 +
x−1
x
2
+1
(x − 1 jest resztą z dzielenia).
Twierdzenie
Każdą funkcję wymierną właściwą f (x) =
W (x)
Q(x)
,
gdzie Q(x) = (x + a
1
)
n
1
· (x + a
2
)
n
2
· · · (x + a
p
)
n
p
· (x
2
+ b
1
x + c
1
)
k
1
· (x
2
+ b
2
x + c
2
)
k
2
· · · (x
2
+ b
r
x + c
r
)
k
r
można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych postaci:
A
(x+a)
n
oraz
Bx+C
(x
2
+bx+c)
k
, gdzie
∆ < 0
takich, że:
- każdemu czynnikowi (x + a)
n
odpowiada suma
A
1
(x+a)
+
A
2
(x+a)
2
+ · · · +
A
n
(x+a)
n
oraz
- każdemu czynnikowi (x
2
+bx+c)
k
, gdzie
∆ < 0
odpowiada suma
B
1
x+C
1
(x
2
+bx+c)
+
B
2
x+C
2
(x
2
+bx+c)
2
+· · ·+
B
k
x+C
k
(x
2
+bx+c)
k
Przykłady
Podać rozkład na ułamki proste (bez obliczania współczynnkików A, B, C).
1.
x
(2x−1)(x+2)(x
2
−x+1)
=
A
1
2x−1
+
A
2
x+2
+
Bx+C
x
2
−x+1
2.
2x−1
(x−3)
2
(x
2
+4)
=
A
x−3
+
B
(x−3)
2
+
Cx+D
x
2
+4
3.
1
x
4
−16
=
1
(x
2
−4)((x
2
+4)
=
1
(x−2)(x+2)(x
2
+4)
=
A
x−2
+
B
x+2
+
Cx+D
x
2
+4
Uwaga! Aby znaleźć współczynniki A, B, C sprowadzamy otrzymane wyrażenie do wspólnego mia-
nownika i porządkujemy według potęg x. Następnie przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich
potęgach x i rozwiązujemy powstały w ten sposób układ równań.
Przykłady
Podać rozkład na ułamki proste (bez obliczania współczynnkików A, B, C).
1.
2x−3
x
2
−9
=
2x−3
(x−3)(x+3)
=
A
x−3
+
B
x+3
=
A(x+3)+B(x−3)
(x−3)(x+3)
=
(A+B)x+(3A−3B)
x
2
−9
(
A + B = 2/ · 3
3A − 3B = −3
(
3A + 3B = 6
3A − 3B = −3 +
(
A =
1
2
B = 2 − A = 2 −
1
2
(
A =
1
2
B =
3
2
6A = 3/ : 6
A =
1
2
Ostatecznie rozkład na ułamki proste ma postać:
2x−3
x
2
−9
=
1
2
x−3
+
3
2
x+3
2.
9
(x−1)
2
(x
2
+2)
=
A
x−1
+
B
(x−1)
2
+
Cx+D
x
2
+2
=
A(x−1)(x
2
+2)+B(x
2
+2)+(Cx+D)(x−1)
2
(x−1)
2
(x
2
+2)
=
=
(A+C)x
3
+(−A+B−2C+D)x
2
+(2A+C−2D)x+(−2A+2B+D)
(x−1)
2
(x
2
+2)
A + C = 0
−A + B − 2C + D = 0
2A + C − 2D = 0
−2A + 2B + D = 9
A = −2
B = 3
C = 2
D = −1
Zatem:
9
(x−1)
2
(x
2
+2)
=
−2
x−1
+
3
(x−1)
2
+
2x−1
x
2
+2
mgr Dorota Grott SNM PG