1

Metoda Elementów 

Metoda Elementów 

Sko czonych

Sko czonych

SFORMU OWANIE RESIDUÓW 



SFORMU OWANIE RESIDUÓW 



WA ONYCH PROBLEMU 



WA ONYCH PROBLEMU 



 

 

2

A

A

proksymacj

proksymacj

a

a

 

 

w elemencie

w elemencie

•

metod

metod

a

a

 residuów wa

 residuów wa





onych

onych

 

 

 

 

-

-

 metod

 metod

a

a

 

 

Galerkina,

Galerkina,

 

 

•

funkcjona

funkcjona





 wariacyjny

 wariacyjny

 

 

problemu

problemu

 

 

 - 

 - 

metod

metod

a

a

 Rayleigha-Ritza

 Rayleigha-Ritza

  

  

Dwa sformu owania:



Dwa sformu owania:



 

 

3

Metoda residuów wa onych



Metoda residuów wa onych



•

Metoda residuów wa onych startuje od 



Metoda residuów wa onych startuje od 



równania ró niczkowego problemu



równania ró niczkowego problemu



•

Najcz ciej wykorzystujemy gdy nie 



Najcz ciej wykorzystujemy gdy nie 



mo na poda  zasady wariacyjnej (np. 





mo na poda  zasady wariacyjnej (np. 





gdy równanie ró niczkowe jest rz du 





gdy równanie ró niczkowe jest rz du 





nieparzystego)

nieparzystego)

 

 

4

Z

Z

adanie formu

adanie formu





owane jest nast

owane jest nast





puj

puj

co: 

co: 

szukamy nieznanych funkcji 

szukamy nieznanych funkcji 

u

u

 

 

spe

spe





niaj

niaj

cych opisuj

cych opisuj

cy uk

cy uk





ad równa

ad równa

 

 

ró

ró





niczkowych, lub w szczególno

niczkowych, lub w szczególno





ci jedno 

ci jedno 

równanie

równanie

 

 

 

 

5

•

w zadanym obszarze 

w zadanym obszarze 

W

W

 wraz z 

 wraz z 

warunkami brzegowymi

warunkami brzegowymi

( )

( )

( )

0

u

u

u

L

=

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

=

2

1

L

L

( )

( )

( )

0

u

u

u

B

=

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

=

2

1

B

B

6

6

•

Metoda elementów sko

Metoda elementów sko

czonych dostarcza 

czonych dostarcza 

ogólnego schematu post

ogólnego schematu post





powania w celu 

powania w celu 

konstruowania szukanych funkcji poprzez 

konstruowania szukanych funkcji poprzez 

przyj

przyj





cie postaci aproksymacyjnej

cie postaci aproksymacyjnej

 

 

gdzie N

i

 s  tzw. funkcjami ksztatu które 

okrelone s  w ukadzie lokalnym elementu lub 
podobszaru, a

i

 s  natomiast parametrami 

wzowymi, w wikszoci nieznanymi. 

u

 u=



i

=1

n

N

i

a

i

= N a

 

 

7

•

na granicach tego obszaru 

na granicach tego obszaru 

G

G

 

 

element

B ( u ) =  0

G

G

e

W

e

x

y

L ( u )   =  0

W

Rozpatrywany obszar  

W i granica G 

Szukane funkcje mog  by funkcjami skalarnymi, 
wektorowymi lub przedstawia kilka funkcji. 

 

 

8

Funkcja wymuszaj ca

Funkcja wymuszaj ca

Funkcja zmiennych stanu

Funkcja zmiennych stanu

W a ciwo ci operatora ró niczkowego

 





W a ciwo ci operatora ró niczkowego

 





Symetryczno


Symetryczno


Dodatnia

Dodatnia

okre lono



okre lono



 

 

9

Zastosowanie: pr t 1-D



Zastosowanie: pr t 1-D



Równanie ró niczkowe



Równanie ró niczkowe



Geometryczne w.b.

Geometryczne w.b.

Fizyczne w.b.

Fizyczne w.b.

 

 

10

Funkcje wagi

Funkcje wagi

Funkcje 

Funkcje 

próbne

próbne

¹

¹

 

 

0

0

 

 

11

Funkcje wagi

Funkcje wagi

 

 

12

Macierz sztywno ci



Macierz sztywno ci



Wektor wymusze

Wektor wymusze

 

 

13

Dobór funkcji wagowych

Dobór funkcji wagowych

•

 

 

Metoda kolokacji

Metoda kolokacji

•

 

 

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów

•

 

 

Metoda Galerkina

Metoda Galerkina

 

 

14

15

15

Zale no ci podstawowe





Zale no ci podstawowe





T

=

[

XX

YY

ZZ



XY



YZ



ZX

]



T

=

[



XX



YY



ZZ



XY



YZ



ZX

]

U

T

 = [ U   V  W ]

 

e = C U 

s = D (e - e

o

) + 

s

o

 

16

16

Energia, praca

Energia, praca

Energia 

Energia 

kinetyczna

kinetyczna

Energia 

Energia 

potencjalna

potencjalna

Praca si  



Praca si  



zewn trznych



zewn trznych



Ciep o



Ciep o



Dla statycznego stanu 

Dla statycznego stanu 

adiabatycznego

adiabatycznego

17

17

Liniowa

Liniowa

Nieliniowa

Nieliniowa

18

18

Energia odkszta cenia



Energia odkszta cenia



19

19

Energia odkszta cenia i praca 



Energia odkszta cenia i praca 



si  zewn trznych





si  zewn trznych





20

20

Funkcjona  energii 



Funkcjona  energii 



potencjalnej

potencjalnej

21

21

22

22

Równanie równowagi

Równanie równowagi

 

 

23

Galerkin M

Galerkin M

ES

ES

: 1-D 

: 1-D 

Przyk ad

Przyk ad

d

d

( )

( )

2

2

2

1

0

4

9

u

x

u

u

=

=

=

solution

u x

x

( )

(

)

=

- 1

2

1

2

3

4

U

1

=0

2

4

6

8

x

u

U

4

=9

U

3 

=?

U

2

=?

 

 

24

Galerkin M

Galerkin M

ES

ES

: 1-D 

: 1-D 

Przyk ad c.d.

Przyk ad c.d.

1.

1.

Metoda residuów wa onych

Metoda residuów wa onych

 (

 (

sformu owanie „s abe”





sformu owanie „s abe”





)

)

0

x

d

)

(

=

ò

×

-

R

w

f

Lu

2.

2.

Ca kowanie przez cz

ci





Ca kowanie przez cz

ci





 (Green-Gauss 

 (Green-Gauss 

wzór

wzór

)

)

0

x

d

2

4

1

2

2

=

ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

- w

w

dx

u

d

0

x

d

2

4

1

4

1

=

úû

ù

êë

é

+

ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

w

dx

du

w

dx

dw

dx

du

 

 

25

3. Dyskretyzacja 

•

4 globalne parametry w z owe U

 

1

, U

2

, U

3

, U

4

•

3 liniowe elementy ka dy o 2 parametrach u



1

, u

2

.

•

S siaduj ce elementy wspó dziel  globalne 







parametry, e.g., globalny parametr U

2

 jest 

parametrem u

2

 elementu 1 i u

1

 elementu 2.

•

Dwie (liniowe) funkcje kszta tu dla ka dego elementu, 



N

i

(x), i = 1, 2

•

Aproksymacja u w elemencie w postaci:

u(x) = u

1 

N

1

 + u

2 

N

2 

= u

i 

N

i

 

i=1,2

Galerkin M

Galerkin M

ES

ES

: 1-D 

: 1-D 

Przyk ad c.d.

Przyk ad c.d.

 

 

26

0

0.5

1

0

0.5

1

x

f

2

f

1

Funkcje kszta tu

ł

 

 

27

Globalne funkcje kszta tu



Globalne funkcje kszta tu



 

 

28

4. Równania Galerkina dla ka dego elementu

[ ]

0

x

d

2

x

d

2

x

d

2

4

1

4

3

3

2

2

1

=

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

ò

ò

ò

w

dx

du

w

dx

dw

dx

du

w

dx

dw

dx

du

w

dx

dw

dx

du

Dla ka dego elementu



u(x) 

º  u

1 

N

1

 + u

2 

N

2 

= u

i 

N

i 

(x)

i

w(x) 

º  N

i 

(x)

 

 

29

(

)

i

j

j

ij

2

1

2

1

2

2

1

1

f

u

k

d

2

d

d

d

d

d

d

d

=

å

Þ

ò

=

ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

x

x

x

x

u

x

u

i

i

j

j

j

j

4.  Równania Galerkina dla ka dego elementu 

(… c.d.)

Element 1 :

[k] = [(k

ij

)] macierz sztywno ci elementu



f = (f

i

) wektor obci

e  w z owych

 

 

 

 

30

x

x

x

x

d

2

f

k

d

 

k

i

i

ji

ij

j

i

ò

=

=

ò

¶

¶

¶

¶

-

=

j

j

j

[k]u = f

gdzie [k] i wektor, f

5. Macierz sztywno ci elementu



1

2

:

1

 

Element

2

1

-

=

-

=

x

x

j

j

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

=

Þ

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

ò

1

1

1

1

d

1

1

1

1

)

1

 

ele

(

2

1

2

1

)

1

 

ele

(

[k]

[k]

x

x

x

x

x

 

 

31

x

d

2

f

i

i

ò

=

j

5. Obci

enia w z owe



 

1

2

:

1

 

Element

2

1

-

=

-

=

x

x

j

j

ú

û

ù

ê

ë

é

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

-

-

-

-

=

Þ

-

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

ò

1

1

)

2

1

(

)

4

4

(

)

1

4

(

)

4

8

(

2

4

d

2

2

2

4

)

1

 

ele

(

2

2

2

1

2

1

)

1

 

ele

(

f

f

x

x

x

x

x

x

x

W rozpatrywanym zadaniu :

[k]

(ele 1)

 = [k]

(ele 2)

 = [k]

(ele 3)

i:

f

(ele 1)

 = f

(ele 2)

 = f

(ele 3)

 

 

 

32

6. Agregacja globalnej macierzy sztywno ci i wektora 



obci

e


 

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

-

-

-

=

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

-

-

-

-

-

=

1

1

0

0

1

2

1

0

0

1

2

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

[K]

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

=

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

+

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

+

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

=

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

F

 

 

33

7. Uwzgl dnienie warunków brzegowych



ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

=

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

-

-

-

=

1

2

2

1

1

1

0

0

1

2

1

0

0

1

2

1

0

0

1

1

4

3

2

1

U

U

U

U

F

[K]U

u

U

u

U

( )

( )

1

0

4

9

1

4

=

=

=

=

Pozostaj  równania



 2 i 3

2

9

2

2

2

0

3

2

3

2

=

+

-

=

+

-

U

U

U

U

 

 

34

8. Rozwi zanie uk adu równa





 (po 

uwzgl dnieniu warunków brzegowych



)

4

1

2

9

2

2

2

0

3

2

3

2

3

2

=

=

Þ

=

+

-

=

+

-

U

U

U

U

U

U

Dok adne



Dok adne



!

!

 

 

35

R

R

ównowag

ównowag

a

a

 elementu

 elementu

Dla opisu stanu równowagi elementu przyjmuje 

Dla opisu stanu równowagi elementu przyjmuje 

si

si





 sko

 sko

czon

czon

 liczb

 liczb





 parametrów, mimo 

 parametrów, mimo 





e w 

e w 

przypadku elementu wyci

przypadku elementu wyci





tego z kontinuum 

tego z kontinuum 

parametrów jest niesko

parametrów jest niesko

czenie wiele. Dlatego te

czenie wiele. Dlatego te





 

 

metoda elementów sko

metoda elementów sko

czonych jest metod

czonych jest metod

 

 

przybli

przybli





on

on

, aproksymacyjn

, aproksymacyjn

. Powstaje pytanie, 

. Powstaje pytanie, 

czy dok

czy dok





adno

adno





 metody jest dostateczna, i od 

 metody jest dostateczna, i od 

czego ona zale

czego ona zale





y?

y?

 

 

 

 

36

D

D

ok

ok





adno

adno





 metody 

 metody 

•

za

za





o

o





one funkcje dok

one funkcje dok





adniej opisuj

adniej opisuj

 

 

rzeczywisty rozk

rzeczywisty rozk





ad pola elementu

ad pola elementu

 

 

•

podzia

podzia





 na elementy jest bardziej g

 na elementy jest bardziej g





sty

sty

Ogólnie mo

Ogólnie mo





na powiedzie

na powiedzie





, 

, 





e dok

e dok





adno

adno





 

 

metody jest tym  wi

metody jest tym  wi





ksza im:

ksza im:

 

 

 

 

37

Spe

Spe





nienie tylko drugiego warunku nie jest 

nienie tylko drugiego warunku nie jest 

wystarczaj

wystarczaj

ce do uzyskania poprawnych 

ce do uzyskania poprawnych 

wyników. Kluczowy jest dobór funkcji 

wyników. Kluczowy jest dobór funkcji 

interpolacyjnych opisuj

interpolacyjnych opisuj

cych stan 

cych stan 

odkszta

odkszta





cenia elementu w zale

cenia elementu w zale





no

no





ci od 

ci od 

warto

warto





ci przemieszcze

ci przemieszcze

 w

 w





z

z





owych. 

owych. 

Funkcje te okre

Funkcje te okre





la si

la si





 w MESie mianem

 w MESie mianem

 

 

funkcji kszta

funkcji kszta

tu

tu

 

 

 

 

38

F

F

unkcje kszta

unkcje kszta





tu

tu

 

 

1.

1.

funkcje opisuj

funkcje opisuj

ce pole funkcji 

ce pole funkcji 

rozwi

rozwi

zuj

zuj

cej powinny gwarantowa

cej powinny gwarantowa





 ich 

 ich 

ci

ci

g

g





o

o





 wewn

 wewn

trz elementu oraz 

trz elementu oraz 

zgodno

zgodno





 (do rz

 (do rz





du o jeden rz

du o jeden rz

d 

d 

mniejszy ni

mniejszy ni





 rz

 rz

d najwy

d najwy





szej pochodnej 

szej pochodnej 

wyst

wyst





puj

puj

cej w równaniu ca

cej w równaniu ca





kowym) na 

kowym) na 

granicy podzia

granicy podzia





u - w elementach 

u - w elementach 

s

s

siednich

siednich

 

 

Przyjmuj c funkcje ksztatu naley d y do 
spenienia nastpuj cych warunków:

 

 

 

39

2.

2.

funkcje musz

funkcje musz

 zapewnia

 zapewnia





 mo

 mo





liwo

liwo





 

 

realizacji sta

realizacji sta





ej warto

ej warto





ci funkcji 

ci funkcji 

rozwi

rozwi

zuj

zuj

cej lub jej pochodnych (do 

cej lub jej pochodnych (do 

rz

rz





du o jeden rz

du o jeden rz

d mniejszy ni

d mniejszy ni





 rz

 rz

d 

d 

najwy

najwy





szej pochodnej wyst

szej pochodnej wyst





puj

puj

cej w 

cej w 

równaniu ca

równaniu ca





kowym) wewn

kowym) wewn

trz 

trz 

elementu, co uwzgl

elementu, co uwzgl





dnia oczywisty fakt, 

dnia oczywisty fakt, 





e wraz ze zmniejszaniem si

e wraz ze zmniejszaniem si





 wymiarów 

 wymiarów 

elementu, warto

elementu, warto





 funkcji rozwi

 funkcji rozwi

zuj

zuj

cej 

cej 

zmierza do pewnej sta

zmierza do pewnej sta





ej warto

ej warto





ci. 

ci. 

 

 

40

F

F

unkcje kszta

unkcje kszta





tu

tu

Spe

Spe





nienie powy

nienie powy





szych warunków zapewnia 

szych warunków zapewnia 

na ogó

na ogó





 monotoniczn

 monotoniczn

 zbie

 zbie





no

no





 

 

poszukiwanego rozwi

poszukiwanego rozwi

zania, do rozwi

zania, do rozwi

zania 

zania 

dok

dok





adnego, w miar

adnego, w miar





 zwi

 zwi





kszania liczby 

kszania liczby 

elementów przy jednoczesnym zmniejszaniu 

elementów przy jednoczesnym zmniejszaniu 

ich obj

ich obj





to

to





ci

ci

W

W





a

a





ciwy dobór funkcji kszta

ciwy dobór funkcji kszta





tu jest 

tu jest 

zagadnieniem o podstawowym znaczeniu w 

zagadnieniem o podstawowym znaczeniu w 

analizie elementu.

analizie elementu.

 

 

 

 

41

Liniowe funkcje kszta tu dla 



Liniowe funkcje kszta tu dla 



elementu trójk tnego

elementu trójk tnego

 

 

42

•

Metoda elementów sko

Metoda elementów sko

czonych dostarcza 

czonych dostarcza 

ogólnego schematu post

ogólnego schematu post





powania w celu 

powania w celu 

konstruowania szukanych funkcji poprzez 

konstruowania szukanych funkcji poprzez 

przyj

przyj





cie postaci aproksymacyjnej

cie postaci aproksymacyjnej

 

 

u

u

N a

Na

» =

=

å



i

i

n

1

gdzie N

i

 s  tzw. funkcjami ksztatu które 

okrelone s  w ukadzie lokalnym elementu lub 
podobszaru, a

i

 s  natomiast parametrami 

wzowymi, w wikszoci nieznanymi. 

 

 

43

Macierz sztywno ci uk adu





Macierz sztywno ci uk adu





•

K

K

 - macierz kwadratowa zwana macierz

 - macierz kwadratowa zwana macierz

 

 

sztywno

sztywno





ci uk

ci uk





adu,

adu,

•

a

a

 - wektor, którego sk

 - wektor, którego sk





adowymi s

adowymi s

 niewiadome 

 niewiadome 

parametry w

parametry w





z

z





owe

owe

•

r

r

 - wektor, którego sk

 - wektor, którego sk





adowymi s

adowymi s

 obci

 obci





enia 

enia 

w

w





z

z





owe.

owe.

 

 

Wymiary 

Wymiary 

K

K

, 

, 

a

a

, 

, 

r

r

 zale

 zale





 od liczby w

 od liczby w





z

z





ów w uk

ów w uk





adzie i 

adzie i 

liczby sk

liczby sk





adowych parametrów w

adowych parametrów w





z

z





owych.

owych.

 

 

Ka

r

=