Kinematyka 

Energia 

 

Ruch jednostajnie 
przyspieszony 

at

v

v

⋅

=

0

 

Obrót wokół jednej z osi głównych 

2

2

ω

I

E

k

=

 

Równania ruchu: 

as

v

v

2

2

0

2

⋅

=

 

Ruch obrotowy walca bez poślizgu 

4

2

mV

E

k

=

 

 

2

0

2

1

at

t

v

s

⋅

=

 

Ruch obrotowy kuli bez poślizgu 

5

2

mV

E

k

=

 

 

t

v

v

s

2

0

+

=

 

Energia dla toczącego się dla 
walca 

4

3

2

mV

E

k

=

 

Prędkość liniowa 

t

s

v

=

 

Energia dla toczącej się dla kuli 

10

7

2

mV

E

k

=

 

Prędkość rzeczywista 

t

a

v

⋅

=

 

Energia kinetyczna toczącego się 
ciała: 

(

)

2

2

2

2

2

0

2

0

2

ω

ω

mR

I

I

mV

+

=

+

=

 

Droga 

t

v

s

⋅

=

 

Liniowa prędkość górnego końca 
słupa 

2

2

1

2

ω

I

h

mg

=

 

Droga hamowania 

H

H

a

v

s

2

2

=

 

Spadek swobodny 

 

Przyśpieszenie 

t

v

a

=

 

Przebyta droga 

2

2

gt

h

=

 

 

m

F

a

=

 

Prędkość końcowa 

gh

v

t

2

=

 

Przyśpieszenie ruchu 
jednostajnie opóźniony 

s

v

a

2

2

=

 

Wysokość z jakiej spadło ciało 

2

2

gt

h

=

 

Przyśpieszenie po 
uwzględnieniu tarcia 

sg

v

a

2

2

=

 

Czas swobodnego spadku z 
wysokości h 

g

h

t

w

2

=

 

Składowa normalna 
przyśpieszenia 

R

v

a

n

2

=

 

Rzut do góry 

 

Składowa styczna 
przyśpieszenia 

dt

dv

a

s

=

 

wysokości na jaka wzniesie się 
ciało 

g

v

h

2

2

0

max

=

 

Wartość przyśpieszenia 
całkowitego 

2

2

s

n

a

a

a

+

=

 

Przebyta droga 

2

2

gt

h

=

 

Momenty bezwładności ciał 

Prędkość początkowa 

gh

v

t

2

=

 

Moment bezwładności 
dowolnego ciała

 

2

CML

I

=

 

Max. wysokość rzutu 

g

v

H

2

2

0

=

 

Pręt – gdy oś obrotu 
jest osią symetrii pręta 
(środek) 

2

12

1

ml

I

=

 

Położenie ciała po czasie t 

gt

t

v

y

2

1

0

−

=

 

Pręt – gdy oś obrotu 
jest prostopadła i 
przechodzi przez koniec 
pręta 

2

3

1

ml

I

=

 

t potrzebny do uzyskania Hmax 

g

v

t

H

0

=

 

Walec / Krążek  

2

2

1

mr

I

=

 

Położenie ciało po t rzuconego w 
dół z h 

gt

t

v

h

y

o

2

1

−

−

=

 

Kula 

2

5

2

mr

I

=

 

Grawitacja 

 

Tarcza – dla osi 
prostopadłej do tarczy 

2

2

1

mr

I

=

 

Ciało nigdy nie spadło 

z

gR

v

2

min

0

=

 

Tarcza – dla osi 
równoległej do 
płaszczyzny tarczy 

2

4

1

mr

I

=

 

Promień orbity 

m

FT

r

4

2

4

π

=

 

Pierścień – dla osi 
prostopadłej do 
pierścienia 

2

mr

I

=

 

Masa planety 1 

Gm

Fr

M

r

mM

G

F

P

p

2

2

,

=

=

 

Pierścień – dla osi 
równoległej do 
pierścienia 

2

2

1

mr

I

=

 

Z jaką prędkością wyrzucić ciało, 
aby się wzniosło na h 

gR

v

R

mgR

R

mgR

mv

=

−

=

−

,

2

2

2

2

2

 

Sfera 

2

3

2

mr

I

=

 

 
 

Czas obiegu satelity 

z

GM

r

T

3

2

4

π

=